第一章函数的连续性学习教案

会计学1第一章函数的连续性第一章函数的连续性第一页，编辑于星期二：十二点 五十七分。.010110 uuuuuuuuuuu，即的改变量，记作又叫做的增量，就叫做变量终值与初值之差，则变到终值从它的初值设变量关于增量有如下定义：理解增量概念时要注意三点:.,010101是零时是负的，当时当是正的，时还可以是零。即当以是负的，增量可以是正的，也可uuuuuuuuu第1页/共45页第二页，编辑于星期二：十二点 五十七分。.u 0101为函数的改变量，则称如果是为自变量的改变量；，则称如果是，也可以是函数量可以是自变量是一个完整的记号。变yyyyxxxxyxuyyyxxx0101 ，记有时为了方便，第2页/共45页第三页，编辑于星期二：十二点 五十七分。xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y)(xfy 其几何意义如下图所示)()f(xy )(0000 xfxyxxxxxfy的相应改变量则为时，函数处有一改变量在点内有定义，当自变量的某个领域在如果函数第3页/共45页第四页，编辑于星期二：十二点 五十七分。2.连续的定义第4页/共45页第五页，编辑于星期二：十二点 五十七分。.35 102处连续在给定点用定义证明例xxy)()f(xy 00 xfx 证353)(5 2020 xxx20510 x xx.35 02处连续在给定点所以xxy200 x0 x510 xlim lim xxy0第5页/共45页第六页，编辑于星期二：十二点 五十七分。例2.),(sin内连续在区间函数证明xy证),(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx,1)2cos(xx.2sin2xy则 sin 又因为,2sin2xxy故.0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy这是三角函数和差化积第6页/共45页第七页，编辑于星期二：十二点 五十七分。第7页/共45页第八页，编辑于星期二：十二点 五十七分。例证由定义2知第8页/共45页第九页，编辑于星期二：十二点 五十七分。v 前者在点x0可以没有定义，后者必须有定义.v 设xx0时，f(x)A，后者必须满足 A=f(x0)比较极限和连续的定义，两者有什么区别思考题：第9页/共45页第十页，编辑于星期二：十二点 五十七分。这个等式的成立意味着在函数连续的前提下,极限符号与函数符号可以互相交换.这一结论给我们求极限带来很大方便.处连续时，有在点当函数 )(0 xxfy(1.6.3)lim()()(lim000 xxxfxfxfxx第10页/共45页第十一页，编辑于星期二：十二点 五十七分。xxcoslim 30求极限例 解)limcos(coslim 00 xxxx10cos第11页/共45页第十二页，编辑于星期二：十二点 五十七分。4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.第12页/共45页第十三页，编辑于星期二：十二点 五十七分。初等函数的连续性一、四则运算的连续性定理1例如,第13页/共45页第十四页，编辑于星期二：十二点 五十七分。二、复合函数的连续性定理3意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，第14页/共45页第十五页，编辑于星期二：十二点 五十七分。注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续例1解第15页/共45页第十六页，编辑于星期二：十二点 五十七分。v 基本初等函数在其定义域内都是连续的.v 由基本初等函数经过四则运算以及复合步骤所构成的初等函数在其定义域内都是连续的.v 求初等函数的连续区间就是求其定义域.v 求初等函数在其定义域内某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值即可.我们不加证明地指出如下重要事实第16页/共45页第十七页，编辑于星期二：十二点 五十七分。求下列极限：例 53)4cos(lim (2);5lim (1)4x22xxxexx，而为是初等函数，其定义域因为5,52 ,5,55 2x解(1)所以1255lim 222xx第17页/共45页第十八页，编辑于星期二：十二点 五十七分。求下列极限：例 53)4cos(lim (2);5lim (1)4x22xxxexx是初等函数，因为）（解 3)4cos(2 xxex，,99,其定义域为320cos3)4cos(lim 44xexxex所以)1(4e,99,而 4-第18页/共45页第十九页，编辑于星期二：十二点 五十七分。第19页/共45页第二十页，编辑于星期二：十二点 五十七分。课堂练习解答：第20页/共45页第二十一页，编辑于星期二：十二点 五十七分。:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim )3(00 xfxfxx 上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数f(x)在点 x0 处不连续（或间断），并称点x0为f(x)的不连续点（或间断点）.二、函数的间断点第21页/共45页第二十二页，编辑于星期二：十二点 五十七分。.)()(00的一个间断点为称点不连续，则在点如果函数xfxxxfy 定义1.19的一个间断点：是则点，处有下列三种情况之一在点知，如果函数点连续的三个条件可对照前面所述函数在一)()(00 xfxxxf没有定义；处，在点）（)(10 xfx不存在；）（)(lim 20 xxxf).()(lim)(lim 30 xxxx00 xfxfxf存在，但虽然）（第22页/共45页第二十三页，编辑于星期二：十二点 五十七分。第23页/共45页第二十四页，编辑于星期二：十二点 五十七分。.111)(6处的连续性在点考察函数例xxxfyyxo-11x1y ,111)(没有定义在因为xxxf解,11)(1的一个间断点是xxfx所以.如图所示11lim ,11lim -1x-1xxx因为所以点 x=-1 称为 f(x)的无穷间断点.第24页/共45页第二十五页，编辑于星期二：十二点 五十七分。1.跳跃间断点例5解oxy第25页/共45页第二十六页，编辑于星期二：十二点 五十七分。.0 0 x1,x0 x ,00 x1,-x f(x)y 7 处的连续性在点考察函数例x有处但是在,0 x,0)0(,)(0fxfx且有定义处虽然在点解1)1(lim)(lim_oxoxxxf1)1(lim)(lim oxoxxxfxyo1xy1 xy.0)(处左、右极限不相等在即xxf.,1.1 可知由定理f(x)在 x=0 处极限不存在，所以 x=0 是 f(x)的一个间断点.如图所示，这样的间断点称为跳跃间断点.第26页/共45页第二十七页，编辑于星期二：十二点 五十七分。2.可去间断点例6oxy112第27页/共45页第二十八页，编辑于星期二：十二点 五十七分。解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.第28页/共45页第二十九页，编辑于星期二：十二点 五十七分。如例6中,oxy112跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点第29页/共45页第三十页，编辑于星期二：十二点 五十七分。.2-2 x ,4-2 x,24f(x)y 8 2处的连续性在点考察函数例xxx解4,f(-2),)(2 有定义处虽然在点xfx,2处函数的极限存在且在x.4)2(lim 24lim )(lim 2-x22-x2-xxxxxf即,但是)2()(lim -2xfxf第30页/共45页第三十一页，编辑于星期二：十二点 五十七分。从图中可以看出如图所示 .只要在点x=-2改变定义或补充定义,就可以使f(x)在该点连续.yo-4242xxy-22x4 因此,称x-2时函数极限存在的点x=-2为 可去间断点.)(2的一个间断点是所以xfx第31页/共45页第三十二页，编辑于星期二：十二点 五十七分。例 9 已知函数0 x,b2x0 x,1)(2xxf在点 x=0 处连续，求 b 的值.解1)1(lim)(lim200 xxfxxbbxxfxx)2(lim)(lim00因为 f(x)在 x=0 处连续,)(lim 0 x存在则xf等价于)(lim)(lim00 xfxfxx即b=1第32页/共45页第三十三页，编辑于星期二：十二点 五十七分。3.第二类间断点例7解,0)00(foxy第33页/共45页第三十四页，编辑于星期二：十二点 五十七分。例8解xy1sin 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第34页/共45页第三十五页，编辑于星期二：十二点 五十七分。在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:o1x2x3xyx xfy 第35页/共45页第三十六页，编辑于星期二：十二点 五十七分。可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x第36页/共45页第三十七页，编辑于星期二：十二点 五十七分。例9解第37页/共45页第三十八页，编辑于星期二：十二点 五十七分。例10 讨论若有间断点判别其类型，并作出图形解第38页/共45页第三十九页，编辑于星期二：十二点 五十七分。第39页/共45页第四十页，编辑于星期二：十二点 五十七分。三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别;间断点第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.(见下图)第40页/共45页第四十一页，编辑于星期二：十二点 五十七分。第一类间断点oyx0 x可去型oyx0 x跳跃型第二类间断点oyx0 x无穷型oyx振荡型第41页/共45页第四十二页，编辑于星期二：十二点 五十七分。思考题第42页/共45页第四十三页，编辑于星期二：十二点 五十七分。思考题解答)()()()(000 xfxfxfxf 且第43页/共45页第四十四页，编辑于星期二：十二点 五十七分。但反之不成立.例 0,10,1)(xxxf但|)(|xf、)(2xf在在00 x连连续续第44页/共45页第四十五页，编辑于星期二：十二点 五十七分。