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考前强化练7解答题组合练C1.(2019河北枣强中学高三模拟,文17)已知函数f(x)=32sin 2x-cos2x-12.(1)求f(x)的最小正周期;(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值.2.已知数列an中,a1=1,其前n项的和为Sn,且满足an=2Sn22Sn-1(n2).(1)求证:数列1Sn是等差数列;(2)证明:当n2时,S1+12S2+13S3+1nSn0,不等式f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D1,32在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.6.(2019四川泸州高三二模,文20)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点P(1,a)在此抛物线上,|PF|=2,不过原点的直线l与抛物线C交于A,B两点,以AB为直径的圆M过坐标原点.(1)求抛物线C的方程;(2)证明:直线l恒过定点;(3)若线段AB中点的纵坐标为2,求此时直线l和圆M的方程.参考答案考前强化练7解答题组合练C1.解(1)f(x)=32sin2x-cos2x-12=32sin2x-1+cos2x2-12=32sin2x-12cos2x-1=sin2x-6-1.所以函数f(x)的最小正周期为.(2)由f(C)=0,得sin2C-6=1.因为0C,所以-62C-6116,所以2C-6=2,C=3.又sinB=2sinA,由正弦定理得ba=2.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos3,即a2+b2-ab=3.由解得a=1,b=2.2.解(1)当n2时,Sn-Sn-1=2Sn22Sn-1,Sn-1-Sn=2SnSn-1,1Sn-1Sn-1=2,从而1Sn构成以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,1Sn=1S1+(n-1)2=2n-1,Sn=12n-1,当n2时,1nSn=1n(2n-1)1n(2n-2)=121n-1-1n,从而S1+12S2+13S3+1nSn1+121-12+12-13+1n-1-1n=32-12n0),令f(x)=0,即x2+ax+1=0,=a2-4.当a2-40时,即-2a2时,x2+ax+10恒成立,即f(x)0,此时f(x)在(0,+)单调递增,无极值点.当a2-40时,即a2,若a-2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x10,x1x2=10,故x10,x20,此时x(0,x1),f(x)0,f(x)单调递增,x(x1,x2),f(x)0,f(x)单调递增,故x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点,因此a2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1x2,由韦达定理x1+x2=-a0,故x10,x20,此时f(x)无极值点.综上:当a-2时,f(x)有两个极值点,当a-2时,f(x)无极值点.(2)f(x)g(x)等价于lnx+12x2+axex+32x2,即ex-lnx+x2ax,因此aex-lnx+x2x.设h(x)=ex-lnx+x2x,h(x)=(ex-1x+2x)x-ex+lnx-x2x2=ex(x-1)+lnx+x2-1x2,当x(0,1)时,ex(x-1)+lnx+x2-10,即h(x)0,即h(x)0,h(x)单调递增.因此x=1为h(x)的极小值点,即h(x)h(1)=e+1,故ae+1.5.解(1)由题意得b=3c,1a2+94b2=1,a2=b2+c2,解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)假设存在这样的直线l:y=kx+m,M(0,m),N-mk,0,|PM|=|MN|,Pmk,2m,Qmk,-2m,直线QM的方程为y=-3kx+m.设A(x1,y1),由y=kx+m,x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0,x1+mk=-8km3+4k2,x1=-3m(1+4k2)k(3+4k2).设B(x2,y2),由y=-3kx+m,x24+y23=1,得(3+36k2)x2-24kmx+4(m2-3)=0,x2+mk=8km1+12k2,x2=-m(1+4k2)k(1+12k2).点N平分线段A1B1,x1+x2=-2mk,-3m(1+4k2)k(3+4k2)-m(1+4k2)k(1+12k2)=-2mk,k=12,P(2m,2m),4m24+4m23=1,解得m=217,|m|=2170,符合题意,直线l的方程为y=12x217.6.(1)解抛物线C:y2=2px(p0),其准线方程为x=-p2,点P(1,a)在此抛物线上,|PF|=2,点P到准线的距离等于|PF|,即1+p2=2,得p=2,所求抛物线方程为y2=4x.(2)证明当直线l斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,易知k0,m0.联立方程组得y2=4x,y=kx+m,从而可得方程k2x2+(2km-4)x+m2=0,由题意可知=(2km-4)2-4k2m20,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=4-2kmk2,x1x2=m2k2,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=4mk.因为以AB为直径的圆M过坐标原点,所以OAOB=0,即x1x2+y1y2=0,所以m2k2+4mk=0,所以m=-4k.所以直线l的方程为y=kx-4k,即y=k(x-4),所以直线l恒过定点(4,0).当直线l的斜率不存在时,易求得点A,B坐标分别为(4,4),(4,-4),直线l也过点(4,0).综合可知,直线l恒过定点(4,0).(3)解由题意可知直线l斜率存在,设线段AB中点坐标为(x0,2),由(2)中所得x1+x2=4-2kmk2,x1x2=m2k2,则y1+y2=k(x1-4)+k(x2-4)=k(x1+x2)-8k=4k,所以2+4k2k2=x0,2k=2,解得k=1,x0=6,所以直线l的方程为y=x-4.因为线段AB中点坐标为(6,2),即为圆M的圆心坐标.设圆M:(x-6)2+(y-2)2=r2.将点(0,0)代入,得r2=40,所以圆M的方程为(x-6)2+(y-2)2=40.12
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