（名师导学）2020版高考数学总复习 第三章 导数及其应用 第19讲 定积分与微积分基本定理练习 理（含解析）新人教A版

第19讲定积分与微积分基本定理夯实基础【p41】【学习目标】1了解定积分的实际背景、基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义【基础检测】1.(2x3x2)dx0，则k()A1 B0C0或1 D以上都不对【解析】由题设可得k2k30k2(k1)0，则k0或k1.【答案】C2直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2B4C2 D4【解析】如图，y4x与yx3的交点为A(2，8)，图中阴影部分的面积即为所求图形的面积S阴(4xx3)dx|8244.【答案】D3一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止刹车后汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825lnC425ln 5 D450ln 2【解析】令v(t)0得t4或t(舍去)，汽车行驶距离sdt|282425ln 5425ln 5.【答案】C4. dx_【解析】根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线y和x轴所围成的图形的面积，显然是半个单位圆，其面积是，故dx.【答案】5设函数f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)，当0x时，f(x)cos x1，则2x2时，f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为()A48 B24C2 D36【解析】由题设f(x)f(x)f(x2)f(x)，则函数yf(x)是周期为2的奇函数，画出函数yf(x)，x0，2的图象，结合函数的图象可知：只要求出该函数yf(x)，x的图象与x轴所围成的面积即可容易算得函数yf(x)，x的图象与x轴所围成的面积是S00(cos x1)dx1，故借助函数图象的对称性求得函数yf(x)，x2，2的图象与x轴所围成的面积是8S48.【答案】A【知识要点】1定积分的定义及相关概念设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1，2，n)，作和式f(i)当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxf(i)这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式2定积分的性质(1)kf(x)dx_kf(x)dx_(k为常数)；(2)f(x)g(x)dx_f(x)dxg(x)dx_；(3)f(x)dx_f(x)dxf(x)dx_(其中acb)3微积分基本定理一般地，如果F(x)f(x)，且f(x)在a，b上可积，那么f(x)dx_F(b)F(a)_这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数为了方便，我们常把F(b)F(a)记作_F(x)|_，即f(x)dx_F(x)|F(b)F(a)_典例剖析【p41】考点1定积分的计算(1)计算(3x22x)dx_(2)计算(ex2x)dx_(3)计算dx_(4)计算(x2sin x)dx_(5)设f(x)，则f(x)dx_(6)定积分|x1|dx_【解析】(1)原式(x3x2)|12210.(2)原式exdx2xdxex|x2|e11e.(3)原式dxdxx|ln x|ln 4ln 1ln 4.(4)(x2sin x)dxx2dxsin xdx2x2dx2|.(5)f(x)dxx2dx(2x)dxx3|.(6)|x1|dx|x1|dx|x1|dx(1x)dx(x1)dx|1.【答案】(1)10(2)e(3)ln 4(4)(5)(6)1【点评】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分考点2定积分的几何意义及应用(1)如图所示，正弦曲线ysin x，余弦曲线ycos x与两直线x0, x所围成的阴影部分的面积为()A1 B. C2 D2【解析】0dx(sin xcos x)dx(sin xcos x)|0(cos xsin x)|112.【答案】D(2)曲线yx34x与x轴所围成的封闭图形的面积是_【解析】由x34x0得x0或x2，函数图象如图所示，则曲线yx34x与x轴所围成的封闭图形的面积SS1S2，其中S1(x34x)dx，S2(x34x)dx.根据微积分基本定理和定积分的性质知，S1(x34x)dx|2x2|484，S2(x34x)dx(48)4，所以S448.【答案】8(3)抛物线y24x与直线y2x4围成的平面图形的面积是_【解析】画出图形，如图所示，直线和曲线的交点坐标为(1，2)和(4，4)若选用x为积分变量，则要分成两部分加以计算故面积S2(2)dx(22x4)dx4x|2x|x2|4x|(161)(164)9.【答案】9(4)如图，函数解析式yax2，点A的坐标为(1，0)，函数y过点C(2，4)，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_【解析】由函数y的图象经过点C(2，4)，有44a，a1 ，所以函数yx2，故曲边梯形EABC面积为S1x2dx|，阴影部分面积为S24S14，所以概率P .【答案】(5)计算(2x)dx()A24 B4Cln 24 Dln 22【解析】由定积分的几何意义知：()dx表示y，x0，2的面积，即半径为2的圆的，故()dx22，(2x)dxx2|4，所以(2x)dx4.【答案】B【点评】(1)根据定积分的几何意义可计算定积分；(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤：画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；计算定积分，写出答案考点3定积分在物理中的应用(1)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴的正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_【解析】变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx|342，即变力F(x)对质点M所做的功为342.【答案】342(2)已知做变速直线运动的质点的速度方程是v(t)(单位：m/s)(i)求该质点从t10 s到t30 s时所走过的路程；(ii)求该质点从开始运动到运动结束共走过的路程【解析】(i)s1v(t)dttdt20dt350(m)(ii)s2v(t)dttdt20dt(100t)dt1 600(m)【点评】定积分在物理中的两个应用：(1)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx.(2)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt.考点4定积分的综合应用已知函数f(x)ln|x|(x0)，函数g(x)af(x)(x0)(1)当x0时，求函数yg(x)的表达式；(2)若a0，函数yg(x)在(0，)上的最小值是2，求a的值；(3)在(2)的条件下，求直线yx与函数yg(x)的图象所围成图形的面积【解析】(1)因为f(x)ln|x|，所以当x0时，f(x)ln x，f(x)，当x0，x0时，g(x)2，当且仅当x时取等号所以函数yg(x)在(0，)上的最小值是2，所以依题意得22，所以a1.(3)由解得所以直线yx与函数yg(x)的图象所围成图形的面积S2dxdxln 32ln 2.方法总结【p42】1定积分计算的关键是通过逆向思维获知被积函数的原函数，即导数运算的逆运算2定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理3利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)将曲边梯形面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案走进高考【p42】1(2011全国卷)由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A. B4 C. D6【解析】y与yx2以及y轴所围成的图形为如图所示的阴影部分，联立得交点坐标为(4，2)，故所求面积为Sdx|.【答案】C考点集训【p197】A组题1由直线x，x2，曲线y及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.ln 2 B2ln 21 C2ln 2 Dln【解析】根据题意可知面积为：S2dxln 2ln2ln 2.【答案】C2定积分dx()A10ln 3 B8ln 3C.D.【解析】由题意得dx(x2ln x)|(32ln 3)(12ln 1)8ln 3.【答案】B3已知S1xdx，S2exdx，S3x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3BS1S3S2CS3S2S1CS2S30，(x)在1，2上单调递增，(x)e20，(x)在1，2上单调递增，(x)e10，(x)0g(x)h(x)，当x1，2时，exx2x，S2S3S1.【答案】B4已知f(x)ax33x6sin x (a，b为常数)，则f(x)dx()A恒为0 B恒为正C恒为负D取值不定【解析】由题知ax33x6sin xdx|0.【答案】A5若0(sin xacos x)dx，则实数a等于()A1 B.C1 D【解析】由题意可知：0(sin xacos x)dx0(sin x)dxa0(cos x)dx1a, 结合题意有： 1a，解得： a.【答案】B6若f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_【解析】f(x)dxf(x)dxf(x)dx，f(x)dxf(x)dxf(x)dx112.【答案】27一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在s6 s间的运动路程为_m.【解析】由图可知，v(t)由变速直线运动的路程公式，可得s6v(t)dt12tdt2dtdtt2|12t|(m)所以物体在s6 s间的运动路程是m.【答案】8已知函数f(x)x3ax2bxc的图象如图，直线y0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为.(1)求f(x)的解析式；(2)若常数m0，求函数f(x)在区间m，m上的最大值【解析】(1)由f(0)0得c0.f(x)3x22axb，由f(0)0得b0，f(x)x3ax2x2(xa)，则易知图中所围成的区域(阴影)面积为f(x)dx，从而得a3，f(x)x33x2.(2)由(1)知f(x)3x26x3x(x2)当x变化时，f(x)，f(x)的取值变化情况如下：x(，0)0(0，2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增极大值f(0)0单调递减极小值f(2)4单调递增又f(3)0，所以当03时，f(x)maxf(m)m33m2.综上可知：当03时，f(x)maxf(m)m33m2.B组题1对于任意实数a，b，定义maxa，b若f(x)max1，x2，则f(x)dx_【解析】f(x)dxx2dx1dxx2dx|x|.【答案】2如图，在边长为1的正方形OABC内，阴影部分是由两曲线y，yx2(0x1)围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a，则函数f(x)的值域为_【解析】设阴影部分的面积为S，则S(x2)dx|，又正方形面积为1，a，f(x)f(x)的值域为1，).【答案】1，)3我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等如图所示，在空间直角坐标系Oxyz平面内，若函数f(x)的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图1，现有一个与之等高的圆柱如图2，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为_【解析】由题可得：底面面积为SS圆0cos xdx1，所以圆柱的体积为：44.【答案】44已知二次函数f(x)ax2bxc，直线l1：x2，直线l2：yt28t(其中0t2，t为常数)若直线l1，l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形以及l2，y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示(1)求a、b、c的值；(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式【解析】(1)由图形可知二次函数的图象过点(0，0)，(8，0)，并且f(x)的最大值为16，则解得函数f(x)的解析式为f(x)x28x，(2)由得x28xt(t8)0，x1t，x28t，0t2，直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t，t28t)，由定积分的几何意义知：S(t)dxdx|t310t216t.18