变化率问题导数的概念学习教案

会计学1变化率问题导数变化率问题导数(do sh)的概念的概念第一页，共28页。一它是研究函数增减、变化一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。最一般、最有效的工具。第1页/共28页第二页，共28页。问题(wnt)1 气球膨胀率 在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量(rngling)的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?气球(qqi)的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是.34)(V3rr若将半径 r 表示为体积V的函数,那么.4V3)V(3r当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了),dm(62.0)0()1(rr气球的平均膨胀率为),dm/L(62.001)0()1(rr当空气容量V从1L增加到2 L,气球半径增加了),dm(16.0)1()2(rr气球的平均膨胀率为),dm/L(16.012)1()2(rr 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小第2页/共28页第三页，共28页。2121()()r Vr VVV第3页/共28页第四页，共28页。问题(wnt)2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位(dnwi):m)与起跳后的时间 t(单位(dnwi):s)存在函数关系105.69.4)(2ttth 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述(mio sh)其运动状态,那么:v在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,);m/s(05.405.0)0()5.0(hhv);m/s(2.812)1()2(hhv 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:49650 t探 究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?第4页/共28页第五页，共28页。定义(dngy):平均(pngjn)变化率:式子(sh zi)称为函数 f(x)从x1到 x2的平均变化率.1212)()(xxxfxf令x=x2 x1,y=f(x2)f(x1),则2121()()y f xf xxxx第5页/共28页第六页，共28页。理解(lji)：1，式子中x、y的值可正、可负，但的x值不能为0，y的值可以为02，若函数f(x)为常函数时，y=0 3,变式xxfxxfxxxfxf)()()()(111212第6页/共28页第七页，共28页。121)()f xxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线(zhxin)AB的斜率第7页/共28页第八页，共28页。练习(linx):1.甲用5年时间(shjin)挣到10万元,乙用5个月时间(shjin)挣到2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?2.已知函数(hnsh)f(x)=2 x+1,g(x)=2 x,分别计算在下列区间上 f(x)及 g(x)的平均变化率.(1)3,1;(2)0,5 .第8页/共28页第九页，共28页。Dl2、求y=x2在x=x0附近(fjn)的平均速度。l 2x0+x 第9页/共28页第十页，共28页。yx121)()f xxx2f(xl2.求函数的平均变化率的步骤(bzhu):l(1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1);l(2)计算平均变化率yx121)()f xxx2f(x第10页/共28页第十一页，共28页。一、复习(fx)1.平均(pngjn)变化率:平均变化率的几何意义(yy):割线的斜率)0()()()()(111212 xxxfxxfxxxfxfxyOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y第11页/共28页第十二页，共28页。理解(lji)：1，式子中x、y的值可正、可负，但的x值不能为0，y的值可以为02，若函数f(x)为常函数时，y=0 3,变式xxfxxfxxxfxf)()()()(111212第12页/共28页第十三页，共28页。l求函数的平均(pngjn)变化率的步骤:l(1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1);l(2)计算平均(pngjn)变化率yx121)()f xxx2f(x第13页/共28页第十四页，共28页。时速度时速度.又如何(rh)求瞬时速度呢?第14页/共28页第十五页，共28页。平均变化率近似地刻画(khu)了曲线在某一区间上的变化趋势.l如何精确(jngqu)地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度(pn jn s d)tthththv 9.41.13)2()2(第15页/共28页第十六页，共28页。t0时时,在在2,2+t 这段时这段时间内间内1.139.4tv1.139.4tv051.13v当t=0.01时,149.13v当t=0.01时,0951.13v当t=0.001时,1049.13v当t=0.001时,09951.13v当t=0.0001时,10049.13v当t=0.0001时,099951.13vt=0.00001,100049.13vt=0.00001,0999951.13vt=0.000001,1000049.13vt=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线(qxin)在某一区间上的变化趋势.l如何(rh)精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth第16页/共28页第十七页，共28页。当 t 趋近于0时,即无论(wln)t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.1.13 )2()2(lim0ththt 从物理的角度看,时间间隔|t|无限变小时,平均速度 就无限趋近于 t=2时的瞬时速度.因此,运动员在 t=2 时的瞬时速度是 13.1.v表示“当t=2,t趋近于0时,平均速度 趋近于确定值 13.1”.v从2s到(2+t)s这段时间内平均速度(pn jn s d)tthv9.41.13第17页/共28页第十八页，共28页。探 究:1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样(znyng)表示?2.函数f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率怎样(znyng)表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt第18页/共28页第十九页，共28页。定义(dngy):函数(hnsh)y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 0000()()limlim xxf xxf xyxx 称为函数(hnsh)y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或 ,即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3第19页/共28页第二十页，共28页。定义(dngy):函数(hnsh)y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 0000()()limlim xxf xxf xyxx 称为(chn wi)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或 ,即0|xxy第20页/共28页第二十一页，共28页。由导数的定义(dngy)可知,求函数 y=f(x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值00()();yf xxf x.lim)(00 xfxfx00()();f xxf xyxx口诀(kuju)：一差、二化、三极限第21页/共28页第二十二页，共28页。题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时,原油的温度(单位:)为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C解:在第2h和第6h时,原油(yunyu)温度的瞬时变化率就是)2(f).6(f 和xfxf)2()2(根据导数(do sh)的定义,37)(42xxxxx所以(suy),00(2)limlim(3)3.xxyfxx 同理可得.5)6(f 在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3 /h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.CC第22页/共28页第二十三页，共28页。应用：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时,原油的温度(单位:)为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C 练习:计算第3h和第5h时原油的瞬时(shn sh)变化率,并说明它们的意义.第23页/共28页第二十四页，共28页。练习(linx)：第24页/共28页第二十五页，共28页。2.已知,yxy求解:xxxxxyxxxy,时的值。当0,211xxxxxxxxxxyy第25页/共28页第二十六页，共28页。第26页/共28页第二十七页，共28页。课后思考题：12.函数(hnsh)f(x)=|x|在点x0=0处是否有导数？若有，求出来 若没有，请说明理由.第27页/共28页第二十八页，共28页。