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思想方法训练3数形结合思想思想方法训练第6页一、能力突破训练1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数z1+i对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:由题图知,z=2+i,则z1+i=2+i1+i=2+i1+i1-i1-i=32-12i,所以复数z1+i对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.方程sinx-4=14x的实数解的个数是()A.2B.3C.4D.1答案:B解析:在同一平面直角坐标系内作出y=sinx-4与y=14x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.3.若xx|log2x=2-x,则()A.x2x1B.x21xC.1x2xD.x1x2答案:A解析:设y1=log2x,y2=2-x,在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,如图.由图可知,交点的横坐标1xx1.4.已知函数f(x)=1+lnx,01,若关于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为()A.(-,0)B.(0,+)C.(1,+)D.(0,1)答案:D解析:f2(x)-(1+a)f(x)+a=0可变形为f(x)-af(x)-1=0,解得f(x)=a或f(x)=1.由题可知函数f(x)的定义域为(0,+),当x(0,1时,函数f(x)单调递增;当x(1,+)时,函数f(x)单调递减,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.当且仅当x=1时,f(x)=1.因为关于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三个不同的实数根,所以f(x)=a恰有两个不同的实数根,即y=f(x),y=a的图象有两个交点.由图可知当0a1时,y=f(x),y=a的图象有两个交点,所以实数a的取值范围为(0,1),故选D.5.已知函数f(x)=|lgx|,010.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)答案:C解析:作出f(x)的大致图象.由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设abc,则-lga=lgb=-12c+6.lga+lgb=0,ab=1,abc=c.由图可知10c2,(-2)3+t-2,解得-6t6.7.“a0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:当a=0时,f(x)=|x|,f(x)在区间(0,+)内单调递增;当a0时,f(x)=(-ax+1)x=-ax-1ax,结合二次函数的图象(图略)可知f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+)内单调递增;当a0时,函数f(x)=|(ax-1)x|的图象大致如图.函数f(x)在区间(0,+)内有增有减,从而“a0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+)内单调递增”的充要条件,故选C.8.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案:-12解析:在同一平面直角坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-12.9.函数f(x)=2sin xsinx+2-x2的零点个数为.答案:2解析:f(x)=2sinxsinx+2-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=x2的图象,当x0时,两图象有两个交点,当x0时,两图象无交点,综上,两图象有两个交点,即函数的零点个数为2.10.若不等式9-x2k(x+2)-2的解集为区间a,b,且b-a=2,则k=.答案:2解析:令y1=9-x2,y2=k(x+2)-2,在同一平面直角坐标系中作出其图象,如图.9-x2k(x+2)-2的解集为a,b,且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,22),k=22+21+2=2.11.已知R,函数f(x)=x-4,x,x2-4x+3,x.当=2时,不等式f(x)0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是.答案:(1,4)(1,3(4,+)解析:当=2时,f(x)=x-4,x2,x2-4x+3,x2.当x2时,f(x)=x-40,解得x4,2x4.当x2时,f(x)=x2-4x+30,解得1x3,1x2.综上可知,1x4,即f(x)0的解集为(1,4).分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图.由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知14.故的取值范围为(1,3(4,+).12.已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,02的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=fx-122,求函数g(x)在区间-6,3上的最大值,并确定此时x的值.解:(1)由题图知A=2,T4=3,则2=43,得=32.f-6=2sin32-6+=2sin-4+=0,sin-4=0.02,-4-44,-4=0,即=4,f(x)的解析式为f(x)=2sin32x+4.(2)由(1)可得fx-12=2sin32x-12+4=2sin32x+8,g(x)=fx-122=41-cos3x+42=2-2cos3x+4.x-6,3,-43x+454,当3x+4=,即x=4时,g(x)max=4.二、思维提升训练13.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=0,01.若关于x的方程f(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是()A.0,ln 2B.(-2-ln 2,0C.(-2-ln 2,0)D.0,2+ln 2答案:B解析:设h(x)=f(x)+m,则h(x)的图象可由f(x)的图象沿着直线x=1上下平移得到.当x=1时,h(1)=f(1)+m=ln1+m=m,所以直线x=1与函数h(x)的图象的交点坐标为(1,m).当x=1时,g(1)=0,当x=2时,g(2)=-2,所以直线x=2与函数g(x)的图象的交点为(2,-2).当x=2时,h(2)=ln2+m,所以直线x=2与函数h(x)的图象的交点为(2,ln2+m),要使方程f(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解,则等价为h(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,则满足h(1)g(1),h(2)g(2),即m0,m+ln2-2,得m0,m-2-ln2,即-2-ln2m0,即实数m的取值范围是(-2-ln2,0,故选B.14.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()A.-32e,1B.-32e,34C.32e,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0即为g(x)h(x).因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),当x-12时,g(x)-12时,g(x)0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g-12.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D12,0.取点C-1,-3e.由图可知,不等式g(x)h(x)只有一个整数解时,须满足kPCakPA.而kPC=0-3e1-(-1)=32e,kPA=0-(-1)1-0=1,所以32ea1.故选D.15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),f(x)=-x2+1,-1x1,-|x-2|+1,10,32+3(a-8)+150,52+5(a-8)+150,38-a25,解得0a1,a16.综上可得,16akOC1kOC3,故p1,p2,p3中最大的是p2.17.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,bR),已知它们的图象在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)=f(x),x0,g(x),x0,且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.解:函数g(x)=bx2-lnx的定义域为(0,+).(1)f(x)=3ax2-3af(1)=0.因为g(x)=2bx-1x,所以g(1)=2b-1.依题意2b-1=0,得b=12.(2)当x(0,1)时,g(x)=x-1x0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=12.当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,当x(-1,0)时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则12a22a,所以实数a的取值范围是22,2.图图11
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