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第三节合情推理与演绎推理A组基础题组1.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=()A.121B.123C.231D.211答案B解法一:由a+b=1,a2+b2=3得ab=-1,则a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123,故选B.解法二:令an=an+bn,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,a5=11,得an+2=an+an+1,从而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故选B.2.某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为()A.21B.34C.52D.55答案D因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三年起每一年树的分枝数都等于前两年的和,所以第10年树的分枝数为21+34=55.3.等差数列an的公差为d,前n项的和为Sn,则数列Snn为等差数列,公差为d2.类似地,若各项均为正数的等比数列bn的公比为q,前n项的积为Tn,则等比数列nTn的公比为()A.q2B.q2C.qD.nq答案C由题设,得Tn=b1b2b3bn=b1b1qb1q2b1qn-1=b1n+q1+2+(n-1)=b1nq(n-1)n2,nTn=b1qn-12,等比数列nTn的公比为q,故选C.4.(2018广东华南师大附中测试)有6名学生参加数学竞赛选拔赛,他们的编号分别是16号,得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名,甲猜:4号、5号、6号都不可能;乙猜:3号不可能;丙猜:不是1号就是2号;丁猜:是4号、5号、6号中的某一个.以上只有一个人猜对,则他应该是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案A若甲猜对,当第一名为3号时,则乙、丙、丁都猜错,符合题意;若乙猜对,由于只有一个猜对,则丙猜错,即1,2,3都不可能,那么丁就猜对了,不符合题意;若丙猜对,则乙也猜对了,不符合题意;若丁猜对,则乙也猜对了,不符合题意.故选A.5.(2018四川南充二模)某市为了缓解交通压力,实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A,B,C,D,E五辆车,保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行,B车昨天限行,从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,E车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是()A.今天是周六B.今天是周四C.A车周三限行D.C车周五限行答案B因为每天至少有四辆车可以上路行驶,E车明天可以上路,E车周四限行,所以今天不是周三;因为B车昨天限行,所以今天不是周一,不是周五,也不是周日;因为A,C两车连续四天都能上路行驶,所以今天不是周二,也不是周六,所以今天是周四,故选B.6.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论:Paha+Pbhb+Pchc=1,把它类比到空间,设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A-BCD四个面上的高,P为三棱锥A-BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd,则三棱锥中的类似结论为.答案Paha+Pbhb+Pchc+Pdhd=1解析由平面三角形的结论可类比空间三棱锥的结论.故可以得出的结论为Paha+Pbhb+Pchc+Pdhd=1.7.如图,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层),第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,以此类推,如果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为.答案8解析由题意知,第1层的点数是1,第2层的点数是6,第3层的点数为26,第4层的点数为36,第5层的点数为46,第n(n2,nN*)层的点数为6(n-1).设一个点阵有n(n2,nN*)层,则共有的点数为1+6+62+6(n-1)=1+6+6(n-1)2(n-1)=3n2-3n+1,由题意得3n2-3n+1=169,即(n+7)(n-8)=0,所以n=8(n=-7舍去),故共有8层.8.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.答案A解析由三人去过同一个城市,且甲没去过B城市、乙没去过C城市知,三人去过的同一城市为A,由甲去过的城市比乙多可判断乙去过的城市为A.9.已知函数f(x)=-aax+a(a0,且a1).(1)证明:函数y=f(x)的图象关于点12,-12对称;(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.解析(1)证明:函数f(x)的定义域为R,任取一点(x,y),它关于点12,-12对称的点的坐标为(1-x,-1-y).由y=-aax+a(a0,且a1),得-1-y=-1+aax+a=-axax+a,f(1-x)=-aa1-x+a=-aaax+a=-aaxa+aax=-axax+a,所以-1-y=f(1-x),即函数y=f(x)的图象关于点12,-12对称.(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.所以f(-2)+f(3)=-1, f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1.故f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.10.已知O是ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长,分别交对边于A,B,C,则OAAA+OBBB+OCCC=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”:OAAA+OBBB+OCCC=SOBCSABC+SOCASABC+SOABSABC=SABCSABC=1.请运用类比思想,对于空间中的四面体A-BCD,存在什么类似的结论,并用“体积法”证明.解析在四面体A-BCD中,任取一点O,连接AO,DO,BO,CO并延长,分别交四个面于E,F,G,H点.则OEAE+OFDF+OGBG+OHCH=1.证明:在四面体O-BCD与A-BCD中,OEAE=h1h=13SBCDh113SBCDh=VO-BCDVA-BCD.同理有OFDF=VO-ABCVD-ABC;OGBG=VO-ACDVB-ACD;OHCH=VO-ABDVC-ABD,OEAE+OFDF+OGBG+OHCH=VO-BCD+VO-ABC+VO-ACD+VO-ABDVA-BCD=VA-BCDVA-BCD=1.B组提升题组1.如图所示,将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来,2在第一个拐弯处,4在第二个拐弯处,7在第三个拐弯处,则在第二十个拐弯处的正整数是()A.210B.211C.212D.213答案B观察题图可知,第一个拐弯处2=1+1,第二个拐弯处4=1+1+2,第三个拐弯处7=1+1+2+3,第四个拐弯处11=1+1+2+3+4,第五个拐弯处16=1+1+2+3+4+5,发现规律:拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1,在第几个拐弯处,就加到第几个正整数,所以第二十个拐弯处的正整数就是1+1+2+3+20=211.2.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,xn,都有f(x1)+f(x2)+f(xn)nfx1+x2+xnn.已知y=sin x在区间(0,)上是凸函数,那么在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是.答案332解析由题意知,凸函数满足f(x1)+f(x2)+f(xn)nfx1+x2+xnn,又y=sin x在区间(0,)上是凸函数,sin A+sin B+sin C3sinA+B+C3=3sin3=332.3.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解析(1)选择式,计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-12sin 30=1-14=34.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=34.证明如下:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+34cos2+32sin cos +14sin2-32sin cos -12sin2=34sin2+34cos2=34.4.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),给出定义:设f (x)是函数f(x)的导函数, f (x)是函数f (x)的导函数,若方程f (x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若f(x)=13x3-12x2+3x-512,请你根据这一发现,(1)求函数f(x)的对称中心;(2)计算f12019+f22019+f32019+f42019+f20182019.解析(1)f (x)=x2-x+3, f (x)=2x-1,由f (x)=0,即2x-1=0,解得x=12.f12=13123-12122+312-512=1.由题中给出的结论,可知函数f(x)=13x3-12x2+3x-512的对称中心为12,1.(2)由(1)知函数f(x)=13x3-12x2+3x-512的对称中心为12,1,所以f12+x+f12-x=2,即f(x)+f(1-x)=2.故f12019+f20182019=2,f22019+f20172019=2,f32019+f20162019=2,f20182019+f12019=2.所以f12019+f22019+f32019+f42019+f20182019=1222 018=2 018.8
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