概率论与数理统计猴博士

概率论第一课一、 无放回类题目例1：盒子中有4红3白共7个球，不用眼瞅，七个球摸起来是同样的，现无放回的摸4次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少？P=C条件一总条件一取C条件二总条件二取C总取P=C42C32C74例2：隔壁山头共有11只母猴儿，其中有5只美猴儿、6只丑猴儿，在大黑天看起来是同样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来5只，问天亮后，发既有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少？P=C条件一总条件一取C条件二总条件二取C总取P=C52C63C115有关 Cnm 的计算：二、 有放回类题目例1：盒子中有5红6白共11个球，不用眼瞅，11个球摸起来是同样的，既有放回的摸5次，那摸出两个红球三个白球的概率是多少？例2：在小弟为我抓回的5只母猴儿中，有2美3丑，每天我都随机挑一只母猴儿来，为她抓虱子。就这样，过去了101天，抓了101次虱子，问这101次中，为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少？三、 需要画图的题目例1：已知0x1，0yy的概率是多少？ 体现已知条件 体现待求概率的条件 找出重叠部分 P(xy)= = 12例2：已知-1x1，-1y1，求x+y1的概率是多少？Px2+y21=S圆S正=124=4四、 条件概率公式：P(B|A)=P(AB)P(A)解释：事件A：掷一次骰子，朝上点数不小于3事件B：掷一次骰子，朝上点数是6P(B|A)：掷一次骰子，已知朝上点数不小于3，朝上点数是6的概率P(AB)：掷一次骰子，朝上点数是6的概率P(A)：掷一次骰子，朝上点数不小于3的概率例1：小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少？事件A：小明得60分以上事件B：小明得80分以上P(B|A)：小明得60分以上时，小明得80分以上的概率P(AB)：小明得80分以上的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=8085=1617例2：某地区今年会发生洪水的概率是80%，今明两年至少有一年会发生洪水的概率是85%，如果今年没有发生洪水，那么来年发生洪水的概率是多少？事件A：今年没有发生洪水事件B：来年发生洪水P(B|A)：今年没有发生洪水的状况下，来年发洪水的概率P(AB)：今年没有发生洪水，来年发生洪水的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=85-801-80=520=14五、 全概率公式公式：A、B等个体均也许发生某事，则P(发生某事)=P(A浮现)P(A发生某事)+P(B浮现)P(B发生某事)例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是一般客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，一般客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障的概率。 P(有客车发生故障)=P(高速车浮现)P(高速车故障)+P(一般车浮现)P(一般车故障)=20%0.002+80%0.01=0.0084例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一种考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，那么抽中的员工通过考核的概率是多少？ P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士浮现)P(猴博士通过)+P(傻狍子浮现)P(傻狍子通过)=50100+501=50.5六、 贝叶斯公式公式：A、B等个体均也许发生某事，则P(已知有个体发生某事时，是A发生的)=P(A浮现)P(A发生某事)P(发生某事)例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是一般客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，一般客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。P(有客车发生故障)=P(高速车浮现)P(高速车故障)+P(一般车浮现)P(一般车故障)=20%0.002+80%0.01=0.0084P(已知有客车发生故障，是高速客车发生的)=P(高速客车浮现)P(高速客车故障)P(有客车故障)=200.0020.0084=121例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一种考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时，被抽中的员工是傻狍子的概率。P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士浮现)P(猴博士通过)+P(傻狍子浮现)P(傻狍子通过)=50100+501=50.5 P(已知有员工通过考核，是傻狍子通过的)=P(傻狍子浮现)P(傻狍子通过)P(抽中的员工通过考核)=50150.5=1101概率论第二课七、 已知 FX(x)与 fX(x)中的一项，求另一项公式：fX(x)=FX(x) FX(x)=-xfX(x)dx例1：设X的分布函数 FX(x)=0，x1 lnx，1xe1，xe ，求X的密度函数 fX(x)。fX(x)=FX(x)=0，x1 (lnx)，1xe1，xe 0，x1 1x，1xe0，xe 1x，1x2时，FX(x)=-xfX(x)dx=1当0x2时，FX(x)=-xfX(x)dx=-x24+x当x0时，FX(x)=-xfX(x)dx=-x0dx=0FX(x)=0，x2 八、 已知 FX(x)与 fX(x)中的一种，求P公式：P(aXb)=FX(b)-FX(a)=abfX(x)dx例1：设X的分布函数FX(x)= 0，x1 lnx，1xe1，xe ，求概率Px24P(x24)=P(-2x2) =FX(2)-FX(-2) =ln2-0 =ln2例2：设X的密度函数fX(x)=-12x+1，0x20，其她 ，求概率P(-1x2)P(-1x0(0)，求a和b。 FX(+)=1 a+be-(+)=1 a+be-=1 a+be+=1 a=1 F上(0)=F下(0) 0=a+be-(0) 0=a+be0 a+b=0 a=1 a+b=0 a=1 b=-1例2：设X的密度函数 fX(x)=ax+1，0x20，其她 ，求常数a。 -+fX(x)dx=1 -0fX(x)dx+02fX(x)dx+2+fX(x)dx=1 -00dx+02ax+1dx+2+0dx=1 0+2a+2+0=1 解得 a=-12十、 求分布律例1：从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表达从中取出的最大号码，求其分布律。X也许的取值为3，4，5，6P(X=3)=C22C11C30C63=120P(X=4)=C32C11C20C63=320P(X=5)=C42C11C10C63=310P(X=6)=C52C11C63=12分布列：十一、 已知具有未知数的分布列，求未知数例1：已知分布列如下，求k的值。 120+320+310+k=1解得 k=12概率论第三课十二、 已知X分布列，求Y分布列例1：已知X的分布列，求Y=X2+1的分布列。X-202P0.40.30.3根据X的所有取值，计算Y的所有取值 Y=-22+1=5 Y=02+1=1 Y=22+1=5将表格里X那一列相应换成YY515P0.40.30.3化简一下：Y15P0.30.7例2：已知X的分布列，求Y=2X-1的分布列。X3456P12032031012根据X的所有取值，计算Y的所有取值 Y=23-1=5 Y=24-1=7 Y=25-1=9 Y=26-1=11将表格里X那一列相应换成YX57911P12032031012也可以表达到：Y1012十三、 已知 FXx，求 FYy例1：设X的分布函数为 FXx=0，x0 x2，0x11，x1 ，求Y=2X的分布函数。 写出X=?YY=2X X=Y2 用?y替代FXx中的x，成果为 FX(?y) FXy2=0，y20 y22，0y211，y21 判断?y中与否有负号若无，则 FY(y)= FX(?y)若有，则 FY(y)=1- FX(?y) FY(y)=FXy2=0，y0 y24，0y21，y2 例2：设X的分布函数为 FXx=0，x0 x2，0x11，x1 ，求Y=-X的分布函数。写出X=?Y Y=-X X=-Y 用?y替代FXx中的x，成果为 FX(?y) FX(-y)=0，-y0 (-y)2，0-y11，-y1 判断?y中与否有负号若无，则 FY(y)= FX(?y)若有，则 FY(y)=1- FX(?y) FY(y)=1-FX(-y)=1，y0 1-y2，-1y00，y-1 十四、 已知 fXx，求 fYy例1：设X的密度函数为 fXx=1，0x10，其她 ，求Y=2X的密度函数。写出X=?Y Y=2X X=Y2 用?y替代 fXx中的x，成果为 fX?yfXy2=1，0y20，其她 令 fY=(?y)fX(?y)fY=y2fXy2=12fXy2=12，0y20，其她 判断?y中与否有负号若无，则 fY(y)=fY若有，则 fY(y)=-fYfY(y)=fY=12，0y00，x0 Pa1Xa2=a1a2f(x)dxPXa=a+fxdx 例1：某种电子元件的使用寿命X (单位:小时)服从=1 的指数分布。求：(1)一种元件能正常使用1000小时以上的概率； (2)一种元件能正常使用1000小时到小时之间的概率。X的密度函数为f(x)=1e-x，x00，x0 (1)P(X1000)=1000+f(x)dx=1000+1e-x dx=e-0.5(2)P(1000X)=1000f(x)dx=10001e-x dx =-e-1+e-0.5十九、 符合正态分布，求概率公式：PaXb=b-a-PXb=1-b- 例1：设随机变量X服从正态分布N(1.5,4)，求：(1)P(1.5X3.5)；(2)P(X3.5)。其中：(0)=0.5，(0.75)=0.7734，(1)=0.8413，(2.25)=0.9878=1.5，=4=2(1)P(1.5X3.5)=(3.5-1.52)-(1.5-1.52)=(1)-(0)=0.3413 (2)P(X3.5)=(3.5-1.52)=(1)=0.8413二十、 正态分布图像公式： 图像有关对称 面积表达概率，总面积为1 越小，图像越陡例1：例2：常用分布的其她表达措施均匀分布 Ua,b二项分布 Bn,p指数分布 E()正态分布 N,2例： X在2,5上服从均匀分布，求X的取值不小于3的概率。即 XU2,5，求X的取值不小于3的概率。 某种电子元件的使用寿X(单位:小时)服从=1的指数分布即 某种电子元件的使用寿命X(单位:小时)服从 XE(1)概率论第五课二十一、 已知二维离散型分布律，求?例1：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：求：(1)P(X=0)，P(Y=2)(2)P(X1，Y2)(3)P(X+Y=2)(4)X，Y的分布律(5)Z=X+Y的分布律解：(1)P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4P(Y=2)=0.1+0.2=0.3 (2)P(X1，Y2)=0.2+0.1=0.3 (3)P(X+Y=2)=0.1+0.3=0.4(4)(5)P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3 P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1二十二、 已知二维离散型分布律，判断独立性公式：如果任意 xi，yi 均满足P(X=xi，Y=yi)=P(X=xi)P(Y=yi)那么X、Y互相独立否则X、Y不互相独立例1：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：请判断X、Y的独立性。例2：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：X、Y是互相独立的，求、的值。 16+19+118+13+29+19=1二十三、 已知F(x,y)，求f(x,y)公式：f(x,y)=2Fx,yxy例1：二十四、 已知f(x,y)，求F(x,y)例1：已知二维随机变量的联合密度函数f(x,y)=214x2y，x2y10，其她 求F(x,y)。例2：已知二维随机变量的联合密度函数为：f(x,y)=x+y，0x1，0y10，其她，求F(x,y)。二十五、 已知F(x,y)，求P公式：P(Xx0，Yy0)=F(x0，y0)例1：二十六、 已知f(x,y)，求P例1：例2：二十七、 求F(x,y)或f(x,y)中具有的未知数公式：F(+ , +)=1，F(- , -)=0， F(x , -)=0，F(- , y)=0 -+-+f(x,y)dxdy=1例1：例2：二十八、 求均匀分布的f(x,y)与P公式：例1：概率论第六课二十九、 求边沿分布函数公式：FX(x)=F(x,+)，FY(y)=F(+,y)例1：三十、 求边沿密度函数三十一、 判断持续型二维变量的独立性公式：例1：三十二、 已知f(x,y)，Z=X+Y，求fZ(z)公式：fZ(z)=-+f(x,z-x)dx例1：三十三、 已知f(x,y)，Z=XY，求 fZ(z)公式：fZ(z)=-+f(yz,y)|y|dy三十四、 已知f(x,y)，且X,Y互相独立，Z=max(X,Y)，求FZ(z)公式：FZ(z)=FX(z)FY(z)例1：设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为x3+2x，求Z=max(X,Y)的分布函数。三十五、 已知f(x,y)，且X,Y互相独立，Z=min(X,Y)，求FZ(z)公式：FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)例1：设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为 x3+2x，求Z=minX,Y的分布函数。概率论第七课三十六、 求离散型的盼望E(X)公式：EX=xipi例1：已知一种工厂一周获利10万元的概率为0.2，获利5万元的概率为0.3，亏损2万元的概率为0.5，该工厂一周内利润的盼望是多少？X105-2P0.20.30.5EX=xipi=100.2+50.3+(-2)0.5=2.5（万元） 三十七、 求持续型的盼望 E(X)公式：EX=-+xfxdx 例1：三十八、 已知 Y=gx，求 E(Y)公式：离散型EY=gxipi，持续型EY=-+gxfxdx 例1：例2：三十九、 求方差 D(X)公式：DX=xi-EX2pi 离散型 DX=EX2-E2X 持续型/离散型例1：例2：DX=EX2-E2X=23-452=275四十、 根据 EX、DX 的性质进行复杂运算公式：例1：四十一、 EX、DX 与多种分布的综合题公式：例1：例2：概率论第八课四十二、 Cov、XY、D有关类题目公式：例1：已知A=2X+Y，B=2X-Y，X与Y互相独立，D(X)=D(Y)=1，试求 Cov(A,B)。例2：已知D(X)=1，D(Y)=4，XY=-0.5，试求D(X+Y)。四十三、 运用切比雪夫不等式求概率公式：P|X-E(X)|D(X)2 ( 为任意正数)例1：四十四、 多项独立同分布，求总和如何的概率公式：例1：例2：