资源描述
概率论第一课一、 无放回类题目例1:盒子中有4红3白共7个球,不用眼瞅,七个球摸起来是同样的,现无放回的摸4次,那摸出两个红球两个白球的概率是多少?P=C条件一总条件一取C条件二总条件二取C总取P=C42C32C74例2:隔壁山头共有11只母猴儿,其中有5只美猴儿、6只丑猴儿,在大黑天看起来是同样的。今儿月黑风高,我小弟冒死为我掳来5只,问天亮后,发既有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少?P=C条件一总条件一取C条件二总条件二取C总取P=C52C63C115有关 Cnm 的计算:二、 有放回类题目例1:盒子中有5红6白共11个球,不用眼瞅,11个球摸起来是同样的,既有放回的摸5次,那摸出两个红球三个白球的概率是多少?例2:在小弟为我抓回的5只母猴儿中,有2美3丑,每天我都随机挑一只母猴儿来,为她抓虱子。就这样,过去了101天,抓了101次虱子,问这101次中,为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少?三、 需要画图的题目例1:已知0x1,0yy的概率是多少? 体现已知条件 体现待求概率的条件 找出重叠部分 P(xy)= = 12例2:已知-1x1,-1y1,求x+y1的概率是多少?Px2+y21=S圆S正=124=4四、 条件概率公式:P(B|A)=P(AB)P(A)解释:事件A:掷一次骰子,朝上点数不小于3事件B:掷一次骰子,朝上点数是6P(B|A):掷一次骰子,已知朝上点数不小于3,朝上点数是6的概率P(AB):掷一次骰子,朝上点数是6的概率P(A):掷一次骰子,朝上点数不小于3的概率例1:小明概率论考试得80分以上的概率是80%,得60分以上的概率是85%,已知这次考试小明概率论没挂,那么小明得80分以上的概率是多少?事件A:小明得60分以上事件B:小明得80分以上P(B|A):小明得60分以上时,小明得80分以上的概率P(AB):小明得80分以上的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=8085=1617例2:某地区今年会发生洪水的概率是80%,今明两年至少有一年会发生洪水的概率是85%,如果今年没有发生洪水,那么来年发生洪水的概率是多少?事件A:今年没有发生洪水事件B:来年发生洪水P(B|A):今年没有发生洪水的状况下,来年发洪水的概率P(AB):今年没有发生洪水,来年发生洪水的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=85-801-80=520=14五、 全概率公式公式:A、B等个体均也许发生某事,则P(发生某事)=P(A浮现)P(A发生某事)+P(B浮现)P(B发生某事)例1:某高速公路上客车中有20%是高速客车,80%是一般客车,假设高速客车发生故障的概率是0.002,一般客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障的概率。 P(有客车发生故障)=P(高速车浮现)P(高速车故障)+P(一般车浮现)P(一般车故障)=20%0.002+80%0.01=0.0084例2:猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工,老板要抽其中一种考核,抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%,猴博士考核通过的概率是100%,傻狍子考核通过的概率是1%,那么抽中的员工通过考核的概率是多少? P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士浮现)P(猴博士通过)+P(傻狍子浮现)P(傻狍子通过)=50100+501=50.5六、 贝叶斯公式公式:A、B等个体均也许发生某事,则P(已知有个体发生某事时,是A发生的)=P(A浮现)P(A发生某事)P(发生某事)例1:某高速公路上客车中有20%是高速客车,80%是一般客车,假设高速客车发生故障的概率是0.002,一般客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障时,故障的是高速客车的概率。P(有客车发生故障)=P(高速车浮现)P(高速车故障)+P(一般车浮现)P(一般车故障)=20%0.002+80%0.01=0.0084P(已知有客车发生故障,是高速客车发生的)=P(高速客车浮现)P(高速客车故障)P(有客车故障)=200.0020.0084=121例2:猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工,老板要抽其中一种考核,抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%,猴博士考核通过的概率是100%,傻狍子考核通过的概率是1%,求抽中的员工通过考核时,被抽中的员工是傻狍子的概率。P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士浮现)P(猴博士通过)+P(傻狍子浮现)P(傻狍子通过)=50100+501=50.5 P(已知有员工通过考核,是傻狍子通过的)=P(傻狍子浮现)P(傻狍子通过)P(抽中的员工通过考核)=50150.5=1101概率论第二课七、 已知 FX(x)与 fX(x)中的一项,求另一项公式:fX(x)=FX(x) FX(x)=-xfX(x)dx例1:设X的分布函数 FX(x)=0,x1 lnx,1xe1,xe ,求X的密度函数 fX(x)。fX(x)=FX(x)=0,x1 (lnx),1xe1,xe 0,x1 1x,1xe0,xe 1x,1x2时,FX(x)=-xfX(x)dx=1当0x2时,FX(x)=-xfX(x)dx=-x24+x当x0时,FX(x)=-xfX(x)dx=-x0dx=0FX(x)=0,x2 八、 已知 FX(x)与 fX(x)中的一种,求P公式:P(aXb)=FX(b)-FX(a)=abfX(x)dx例1:设X的分布函数FX(x)= 0,x1 lnx,1xe1,xe ,求概率Px24P(x24)=P(-2x2) =FX(2)-FX(-2) =ln2-0 =ln2例2:设X的密度函数fX(x)=-12x+1,0x20,其她 ,求概率P(-1x2)P(-1x0(0),求a和b。 FX(+)=1 a+be-(+)=1 a+be-=1 a+be+=1 a=1 F上(0)=F下(0) 0=a+be-(0) 0=a+be0 a+b=0 a=1 a+b=0 a=1 b=-1例2:设X的密度函数 fX(x)=ax+1,0x20,其她 ,求常数a。 -+fX(x)dx=1 -0fX(x)dx+02fX(x)dx+2+fX(x)dx=1 -00dx+02ax+1dx+2+0dx=1 0+2a+2+0=1 解得 a=-12十、 求分布律例1:从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只,用X表达从中取出的最大号码,求其分布律。X也许的取值为3,4,5,6P(X=3)=C22C11C30C63=120P(X=4)=C32C11C20C63=320P(X=5)=C42C11C10C63=310P(X=6)=C52C11C63=12分布列:十一、 已知具有未知数的分布列,求未知数例1:已知分布列如下,求k的值。 120+320+310+k=1解得 k=12概率论第三课十二、 已知X分布列,求Y分布列例1:已知X的分布列,求Y=X2+1的分布列。X-202P0.40.30.3根据X的所有取值,计算Y的所有取值 Y=-22+1=5 Y=02+1=1 Y=22+1=5将表格里X那一列相应换成YY515P0.40.30.3化简一下:Y15P0.30.7例2:已知X的分布列,求Y=2X-1的分布列。X3456P12032031012根据X的所有取值,计算Y的所有取值 Y=23-1=5 Y=24-1=7 Y=25-1=9 Y=26-1=11将表格里X那一列相应换成YX57911P12032031012也可以表达到:Y1012十三、 已知 FXx,求 FYy例1:设X的分布函数为 FXx=0,x0 x2,0x11,x1 ,求Y=2X的分布函数。 写出X=?YY=2X X=Y2 用?y替代FXx中的x,成果为 FX(?y) FXy2=0,y20 y22,0y211,y21 判断?y中与否有负号若无,则 FY(y)= FX(?y)若有,则 FY(y)=1- FX(?y) FY(y)=FXy2=0,y0 y24,0y21,y2 例2:设X的分布函数为 FXx=0,x0 x2,0x11,x1 ,求Y=-X的分布函数。写出X=?Y Y=-X X=-Y 用?y替代FXx中的x,成果为 FX(?y) FX(-y)=0,-y0 (-y)2,0-y11,-y1 判断?y中与否有负号若无,则 FY(y)= FX(?y)若有,则 FY(y)=1- FX(?y) FY(y)=1-FX(-y)=1,y0 1-y2,-1y00,y-1 十四、 已知 fXx,求 fYy例1:设X的密度函数为 fXx=1,0x10,其她 ,求Y=2X的密度函数。写出X=?Y Y=2X X=Y2 用?y替代 fXx中的x,成果为 fX?yfXy2=1,0y20,其她 令 fY=(?y)fX(?y)fY=y2fXy2=12fXy2=12,0y20,其她 判断?y中与否有负号若无,则 fY(y)=fY若有,则 fY(y)=-fYfY(y)=fY=12,0y00,x0 Pa1Xa2=a1a2f(x)dxPXa=a+fxdx 例1:某种电子元件的使用寿命X (单位:小时)服从=1 的指数分布。求:(1)一种元件能正常使用1000小时以上的概率; (2)一种元件能正常使用1000小时到小时之间的概率。X的密度函数为f(x)=1e-x,x00,x0 (1)P(X1000)=1000+f(x)dx=1000+1e-x dx=e-0.5(2)P(1000X)=1000f(x)dx=10001e-x dx =-e-1+e-0.5十九、 符合正态分布,求概率公式:PaXb=b-a-PXb=1-b- 例1:设随机变量X服从正态分布N(1.5,4),求:(1)P(1.5X3.5);(2)P(X3.5)。其中:(0)=0.5,(0.75)=0.7734,(1)=0.8413,(2.25)=0.9878=1.5,=4=2(1)P(1.5X3.5)=(3.5-1.52)-(1.5-1.52)=(1)-(0)=0.3413 (2)P(X3.5)=(3.5-1.52)=(1)=0.8413二十、 正态分布图像公式: 图像有关对称 面积表达概率,总面积为1 越小,图像越陡例1:例2:常用分布的其她表达措施均匀分布 Ua,b二项分布 Bn,p指数分布 E()正态分布 N,2例: X在2,5上服从均匀分布,求X的取值不小于3的概率。即 XU2,5,求X的取值不小于3的概率。 某种电子元件的使用寿X(单位:小时)服从=1的指数分布即 某种电子元件的使用寿命X(单位:小时)服从 XE(1)概率论第五课二十一、 已知二维离散型分布律,求?例1:已知二维随机变量X,Y的分布律如下表:求:(1)P(X=0),P(Y=2)(2)P(X1,Y2)(3)P(X+Y=2)(4)X,Y的分布律(5)Z=X+Y的分布律解:(1)P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4P(Y=2)=0.1+0.2=0.3 (2)P(X1,Y2)=0.2+0.1=0.3 (3)P(X+Y=2)=0.1+0.3=0.4(4)(5)P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3 P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1二十二、 已知二维离散型分布律,判断独立性公式:如果任意 xi,yi 均满足P(X=xi,Y=yi)=P(X=xi)P(Y=yi)那么X、Y互相独立否则X、Y不互相独立例1:已知二维随机变量X,Y的分布律如下表:请判断X、Y的独立性。例2:已知二维随机变量X,Y的分布律如下表:X、Y是互相独立的,求、的值。 16+19+118+13+29+19=1二十三、 已知F(x,y),求f(x,y)公式:f(x,y)=2Fx,yxy例1:二十四、 已知f(x,y),求F(x,y)例1:已知二维随机变量的联合密度函数f(x,y)=214x2y,x2y10,其她 求F(x,y)。例2:已知二维随机变量的联合密度函数为:f(x,y)=x+y,0x1,0y10,其她,求F(x,y)。二十五、 已知F(x,y),求P公式:P(Xx0,Yy0)=F(x0,y0)例1:二十六、 已知f(x,y),求P例1:例2:二十七、 求F(x,y)或f(x,y)中具有的未知数公式:F(+ , +)=1,F(- , -)=0, F(x , -)=0,F(- , y)=0 -+-+f(x,y)dxdy=1例1:例2:二十八、 求均匀分布的f(x,y)与P公式:例1:概率论第六课二十九、 求边沿分布函数公式:FX(x)=F(x,+),FY(y)=F(+,y)例1:三十、 求边沿密度函数三十一、 判断持续型二维变量的独立性公式:例1:三十二、 已知f(x,y),Z=X+Y,求fZ(z)公式:fZ(z)=-+f(x,z-x)dx例1:三十三、 已知f(x,y),Z=XY,求 fZ(z)公式:fZ(z)=-+f(yz,y)|y|dy三十四、 已知f(x,y),且X,Y互相独立,Z=max(X,Y),求FZ(z)公式:FZ(z)=FX(z)FY(z)例1:设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为x3+2x,求Z=max(X,Y)的分布函数。三十五、 已知f(x,y),且X,Y互相独立,Z=min(X,Y),求FZ(z)公式:FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)例1:设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为 x3+2x,求Z=minX,Y的分布函数。概率论第七课三十六、 求离散型的盼望E(X)公式:EX=xipi例1:已知一种工厂一周获利10万元的概率为0.2,获利5万元的概率为0.3,亏损2万元的概率为0.5,该工厂一周内利润的盼望是多少?X105-2P0.20.30.5EX=xipi=100.2+50.3+(-2)0.5=2.5(万元) 三十七、 求持续型的盼望 E(X)公式:EX=-+xfxdx 例1:三十八、 已知 Y=gx,求 E(Y)公式:离散型EY=gxipi,持续型EY=-+gxfxdx 例1:例2:三十九、 求方差 D(X)公式:DX=xi-EX2pi 离散型 DX=EX2-E2X 持续型/离散型例1:例2:DX=EX2-E2X=23-452=275四十、 根据 EX、DX 的性质进行复杂运算公式:例1:四十一、 EX、DX 与多种分布的综合题公式:例1:例2:概率论第八课四十二、 Cov、XY、D有关类题目公式:例1:已知A=2X+Y,B=2X-Y,X与Y互相独立,D(X)=D(Y)=1,试求 Cov(A,B)。例2:已知D(X)=1,D(Y)=4,XY=-0.5,试求D(X+Y)。四十三、 运用切比雪夫不等式求概率公式:P|X-E(X)|D(X)2 ( 为任意正数)例1:四十四、 多项独立同分布,求总和如何的概率公式:例1:例2:
展开阅读全文