多元函数微分学78805学习教案

会计学1多元函数微分学多元函数微分学78805第一页，编辑于星期一：十五点 四十九分。一、主要内容平面点集和区域多元函数概念多元函数的极限极 限 运 算多元函数连续的概念多元连续函数的性质第1页/共37页第二页，编辑于星期一：十五点 四十九分。全微分概念偏导数概念方向导数全微分的应用复合函数求导法则全微分形式的不变性高阶偏导数隐函数求导法则微分法在几何上的应用多元函数的极值第2页/共37页第三页，编辑于星期一：十五点 四十九分。1、多元函数的极限说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似存在性定义，夹逼定理不存在特殊路径、两种方式求法运算法则、定义验证、夹逼定理 消去致零因子、化成一元极限等2、多元函数的连续性第3页/共37页第四页，编辑于星期一：十五点 四十九分。3、偏导数概念定义、求法偏导数存在与连续的关系高阶偏导数纯偏导、混合偏导4、全微分概念定义可微的必要条件可微的充分条件利用定义验证不可微第4页/共37页第五页，编辑于星期一：十五点 四十九分。多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导第5页/共37页第六页，编辑于星期一：十五点 四十九分。5、复合函数求导法则“分道相加，连线相乘”法则的推广任意多个中间变量，任意多 个自变量如何求二阶偏导数第6页/共37页第七页，编辑于星期一：十五点 四十九分。6、全微分形式不变性 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.7、隐函数的求导法则第7页/共37页第八页，编辑于星期一：十五点 四十九分。公式法直接法全微分法8、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面()曲面的切平面与法线求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）曲线：参数式，一般式给出曲面：隐式、显式给出求隐函数偏导数的方法第8页/共37页第九页，编辑于星期一：十五点 四十九分。10、多元函数的极值9、方向导数与梯度定义计算公式（注意使用公式的条件）梯度的概念向量梯度与方向导数的关系极值、驻点、必要条件充分条件第9页/共37页第十页，编辑于星期一：十五点 四十九分。最值条件极值，目标函数、约束条件 构造 Lagrange 函数第10页/共37页第十一页，编辑于星期一：十五点 四十九分。二、典型例题例1解第11页/共37页第十二页，编辑于星期一：十五点 四十九分。例2 已知求解例3 已知 求第12页/共37页第十三页，编辑于星期一：十五点 四十九分。解第13页/共37页第十四页，编辑于星期一：十五点 四十九分。例4解第14页/共37页第十五页，编辑于星期一：十五点 四十九分。第15页/共37页第十六页，编辑于星期一：十五点 四十九分。例5解于是可得,第16页/共37页第十七页，编辑于星期一：十五点 四十九分。求解一 记则解二 方程两边对 x 求偏导 例6 设 第17页/共37页第十八页，编辑于星期一：十五点 四十九分。由轮换对称性两边取全微分 即解三 第18页/共37页第十九页，编辑于星期一：十五点 四十九分。设有方程组求解两边对 x 求导这是一个以 为未知量的三元一次方程组若系数行列式 （Vandermond行列式）例7 第19页/共37页第二十页，编辑于星期一：十五点 四十九分。则有 在半径为R的圆的一切内接三角形中，求其面积最大者解如图若以 x,y,z 表示三角形的三边所对的圆心角，则三角形的面积例8 第20页/共37页第二十一页，编辑于星期一：十五点 四十九分。问题就是求A在条件下的最大值 xyz记第21页/共37页第二十二页，编辑于星期一：十五点 四十九分。例9 已知 满足方程 试选择参数 通过变换使原方程变形所得新方程中没有 v 对 x,y 的一阶偏导数解第22页/共37页第二十三页，编辑于星期一：十五点 四十九分。代入方程消去令解得因 故变换后的方程为 第23页/共37页第二十四页，编辑于星期一：十五点 四十九分。例10解第24页/共37页第二十五页，编辑于星期一：十五点 四十九分。第25页/共37页第二十六页，编辑于星期一：十五点 四十九分。第26页/共37页第二十七页，编辑于星期一：十五点 四十九分。例11解分析:第27页/共37页第二十八页，编辑于星期一：十五点 四十九分。得第28页/共37页第二十九页，编辑于星期一：十五点 四十九分。第29页/共37页第三十页，编辑于星期一：十五点 四十九分。试求曲面 xyz=1上任一点 处的法线方程和切平面方程并证明切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积是一个常量证设法线切平面即例12 第30页/共37页第三十一页，编辑于星期一：十五点 四十九分。切平面在三个坐标轴上的截距分别为故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为是一个常量第31页/共37页第三十二页，编辑于星期一：十五点 四十九分。例13 设 y=f(x,t)而 t 是由 F(x,y,t)确定的 x,y 的函数 ，试证明证一方程组确定了两个一元隐函数 y=y(x),t=t(x)两边分别对 x 求导得第32页/共37页第三十三页，编辑于星期一：十五点 四十九分。解得证二本题主要是弄清楚函数关系，具体求导则很简单，初看起来似乎 y 是 x 的显函数y=f(x,t)，但由F(x,y,t)=0 可得 t=t(x,y)，代入y=f(x,t)得 y=f x,t(x,y)这是y=y(x)的隐函数表示形式 按题意t=t(x,y)满足F(x,y,t)=0 故第33页/共37页第三十四页，编辑于星期一：十五点 四十九分。由t=t(x,y)得又t=t(x,y)满足y=f(x,t)，故从而解得证三两边取全微分并移项得第34页/共37页第三十五页，编辑于星期一：十五点 四十九分。消去 dt 得解得证四曲面 F(x,y,t)=0 及 y=f(x,t)在（x,t,y)空间中的法向量分别为是两曲面的交线 L 的切向量L 的方程为第35页/共37页第三十六页，编辑于星期一：十五点 四十九分。故L 的切向量为即解得第36页/共37页第三十七页，编辑于星期一：十五点 四十九分。