CH序列相关性实用学习教案

会计学1CH序列序列(xli)相关性实用相关性实用第一页，共63页。序列序列(xli)(xli)相关性及其产生原因相关性及其产生原因 序列序列(xli)(xli)相关性的影响相关性的影响序列序列(xli)(xli)相关性的检验相关性的检验序列相关的补救序列相关的补救第七章第七章 序列相关性序列相关性第1页/共63页第二页，共63页。第一节第一节 序列序列(xli)(xli)相关性及其产生原因相关性及其产生原因、序列、序列(xli)相关性的含义相关性的含义对于多元对于多元(du yun)线性回归模型线性回归模型 01122 1,2,iiikkiiYXXXin(7-1)在其他假设仍然成立的条件下，随机干扰项序列相关意味着在其他假设仍然成立的条件下，随机干扰项序列相关意味着如果仅存在如果仅存在则称为则称为一阶序列相关或自相关一阶序列相关或自相关（简写为（简写为AR(1)，这是常见的一种序列相关问题。，这是常见的一种序列相关问题。1()0,1,2,.,iiEin （7-3）(,)()0CovEijij （7-2）第2页/共63页第三页，共63页。自相关往往可以写成如下形式：自相关往往可以写成如下形式：（7-4）1,11iii 其中其中称为自协方差系数或一阶自回归系数，称为自协方差系数或一阶自回归系数，i是满足以下标准是满足以下标准OLS假定的随机干扰项：假定的随机干扰项：2()0,(),(,)0(0)iiii sEVarCovs 由于序列由于序列(xli)相关性经常出现在以时间序列相关性经常出现在以时间序列(xli)数据为样本的模型中，因此，数据为样本的模型中，因此，本节下面将代表不同样本点的下表本节下面将代表不同样本点的下表I 用用t 表示。表示。第3页/共63页第四页，共63页。二、序列二、序列(xli)相关的原因相关的原因1 1经济数据经济数据(shj)(shj)序列序列惯性惯性2 2模型模型(mxng)(mxng)设定设定的偏误的偏误3 3滞后效应滞后效应4 4蛛网现象蛛网现象5 5数据的编造数据的编造第4页/共63页第五页，共63页。1 1经济经济(jngj)(jngj)数据序数据序列惯性列惯性 GDP、价格指数、消费等时间序列、价格指数、消费等时间序列(xli)数据通常表现为周期循环。当经数据通常表现为周期循环。当经济衰退的谷底开始复苏时，大多数经济序列济衰退的谷底开始复苏时，大多数经济序列(xli)开始上升，在上升期间，序开始上升，在上升期间，序列在每一时刻的值都高于前一时刻的值。看来有一种内在的动力驱使这列在每一时刻的值都高于前一时刻的值。看来有一种内在的动力驱使这一势头继续下去，直至某些情况出现（如利率或税收提高）才把它拖慢一势头继续下去，直至某些情况出现（如利率或税收提高）才把它拖慢下来。下来。因此，在涉及因此，在涉及(shj)时间序列的回归中，相继的观测值很可能是相互依赖的。时间序列的回归中，相继的观测值很可能是相互依赖的。比如：比如：第5页/共63页第六页，共63页。2 2模型模型(mxng)(mxng)设定的设定的偏误偏误定义定义(dngy)：指所设定的模型指所设定的模型“不正确不正确”，主要表现在模型中丢掉了重要的解释，主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量变量(binling)或模型函数形式有偏误。或模型函数形式有偏误。例例1：本来应该估计的模型为本来应该估计的模型为 0111233tttttYXXX（7-5）但在进行回归时，却把模型设定为如下形式：但在进行回归时，却把模型设定为如下形式：t011t22ttY=+X+X+7-6）（丢掉了重要的解释变量）（丢掉了重要的解释变量）第6页/共63页第七页，共63页。2 2模型模型(mxng)(mxng)设定的设定的偏误偏误定义定义(dngy)：指所设定的模型指所设定的模型(mxng)“不正确不正确”，主要表现在模型，主要表现在模型(mxng)中丢掉了重要的解释中丢掉了重要的解释变量或模型变量或模型(mxng)函数形式有偏误。函数形式有偏误。例例2：（模型函数形式有偏误）（模型函数形式有偏误）（7-7）在成本在成本产出研究中，如果真实的边际成本的模型为：产出研究中，如果真实的边际成本的模型为：0122ttttY=+X+X+其中其中Y代表边际成本，代表边际成本，X代表产出。代表产出。（7-8）01tttYXv但是如果建模时设立了如下回归模型但是如果建模时设立了如下回归模型：第7页/共63页第八页，共63页。3 3滞后效应滞后效应 考虑一个消费支出对收入进行回归的时间序列模型，人们常常发考虑一个消费支出对收入进行回归的时间序列模型，人们常常发现当期的消费支出除了依赖其他当期收入外，还依赖前期的消费支出，现当期的消费支出除了依赖其他当期收入外，还依赖前期的消费支出，即回归模型为：即回归模型为：0131ttttCYC（7-9）其中，其中，C是消费，是消费，Y是收入。是收入。类似（类似（7-9）式的回归模型）式的回归模型(mxng)被称为自回归模型被称为自回归模型(mxng)由于心理上、技术上以及制度上的原因，消费者不会轻易改变其消费由于心理上、技术上以及制度上的原因，消费者不会轻易改变其消费习惯，如果我们忽视（习惯，如果我们忽视（7-9）式中的滞后消费对当前消费的影响，那所带）式中的滞后消费对当前消费的影响，那所带来来的误差的误差(wch)项就会体现出一种系统性的模式。项就会体现出一种系统性的模式。注意注意(zh y)：第8页/共63页第九页，共63页。4 4蛛网蛛网(zhwng)(zhwng)现象现象例如例如(lr)：假定某农产品的供给模型为：假定某农产品的供给模型为：01-1tttSP(7-10)假设t时期的价格Pt低于t-1时期的价格Pt-1，农民就很可能决定在时期t+1生产比t时期更少的东西。显然在这种情形中，农民由于在年度t的过量生产很可能在年度t+1消减他们的产量。诸如此类的现象，就不能期望干扰t是随机，从而(cng r)出现蛛网式的序列相关。第9页/共63页第十页，共63页。5 5数据数据(shj)(shj)的的编造编造新生成的数据新生成的数据(shj)与原数据与原数据(shj)间就有了内在的联系，表现出序列相关性。间就有了内在的联系，表现出序列相关性。例如例如(lr)：季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动而引进了数据中的匀滑性，这种匀滑性本身就能使随月数据的波动而引进了数据中的匀滑性，这种匀滑性本身就能使随机干扰项中出现系统性的因素，从而出现序列相关性。机干扰项中出现系统性的因素，从而出现序列相关性。利用数据的内插或外推技术构造的数据也会呈现某种系统性的模式。利用数据的内插或外推技术构造的数据也会呈现某种系统性的模式。一般经验表明，对于采用时间序列数据做样本的计量经济学模型，一般经验表明，对于采用时间序列数据做样本的计量经济学模型，由于在不同样本点上解释变量意外的其他因素在时间上的连续性，由于在不同样本点上解释变量意外的其他因素在时间上的连续性，带来了他们对被解释变量的影响的连续性，所以往往存在序列相关性。带来了他们对被解释变量的影响的连续性，所以往往存在序列相关性。第10页/共63页第十一页，共63页。第二节第二节 序列序列(xli)(xli)相关相关性的影响性的影响1 1参数估计量非有效参数估计量非有效(yuxio)(yuxio)2 2随机误差项方差随机误差项方差(fn ch)(fn ch)估计量是有偏的估计量是有偏的3 3拟合优度检验拟合优度检验R2统计量和方程显著性检验统计量和方程显著性检验F F统计量无效统计量无效4 4变量的显著性检验变量的显著性检验t t检验统计量和相应的参数置信区间估计失去意义检验统计量和相应的参数置信区间估计失去意义5 5模型的预测失效模型的预测失效(,)()0OLSttjttjCovE 如果我们在干扰中通过假定引进自相关，但保留经典模型的全部其他假定，对估计量及其方差来说会出现什么情况呢？第11页/共63页第十二页，共63页。1 1参数估计量非有效参数估计量非有效(yuxio)(yuxio)根据根据OLS估计中关于参数估计量的无偏性和有效性的证明过程可以看出估计中关于参数估计量的无偏性和有效性的证明过程可以看出(kn ch)，当计量经济学模型出现序列相关性时，其，当计量经济学模型出现序列相关性时，其OLS参数估计量仍然具有线性无偏性，但不具有有效性。因为在有效性证明中我们利用了参数估计量仍然具有线性无偏性，但不具有有效性。因为在有效性证明中我们利用了2()E I（7-11）即同方差和相互独立性条件。而且在大样本情况下，参数估计量虽然即同方差和相互独立性条件。而且在大样本情况下，参数估计量虽然具有具有(jyu)一致性，但仍然不具有一致性，但仍然不具有(jyu)渐近有效性。渐近有效性。第12页/共63页第十三页，共63页。为了具体说明这一点，我们回到简单为了具体说明这一点，我们回到简单(jindn)的一元回归模的一元回归模型型（7-12）01iiiYX为方便我们不妨为方便我们不妨(bfng)假定干扰项为假定干扰项为(7-4)所示的一阶序列相所示的一阶序列相关：关：1ttt (7-13)12tttx yx (7-14)对于干扰项为一阶序列相关的一元回归模型采用对于干扰项为一阶序列相关的一元回归模型采用OLS估计，如以前估计，如以前(yqin)一样，一样，1的的OLS估计量为：估计量为：第13页/共63页第十四页，共63页。但给定干扰项为一阶序列相关时，但给定干扰项为一阶序列相关时，1 的方差估计量现在为：的方差估计量现在为：11()ARVar1式中式中为一阶序列相关时为一阶序列相关时的方差。的方差。212()tVarx（7-16）把该式与没有干扰项自相关把该式与没有干扰项自相关(xinggun)情形的通常公式情形的通常公式11212212211111222221112()nnntttttnntttARnnnttttttttx xx xx xVarxxxxx（7-15）X相比，可以看出前者等于后者加上另一与自相关系数相比，可以看出前者等于后者加上另一与自相关系数和各期和各期的样本协方差有关的项。的样本协方差有关的项。第14页/共63页第十五页，共63页。2 2随机误差项方差随机误差项方差(fn ch)(fn ch)估计估计量是有偏的量是有偏的 在存在干扰项序列相关的情况下，在存在干扰项序列相关的情况下，随机误差的随机误差的OLS方差估计量偏离方差估计量偏离了真实的随机误差项的方差了真实的随机误差项的方差2。以一元回归模型为例，在经以一元回归模型为例，在经典假设情况典假设情况(qngkung)下，干扰项的下，干扰项的OLS方差估计量方差估计量2212ntten222()E是真实的是真实的的无偏估计，即有的无偏估计，即有。但若随机误差项存在一阶序列相关但若随机误差项存在一阶序列相关 则可以则可以(ky)证明：证明：222/(1)2()2nrEn式中式中1221nt ttnttx xxr为为X的相继观测值之间的样本相关系数。的相继观测值之间的样本相关系数。第15页/共63页第十六页，共63页。3 3拟合拟合(n h)(n h)优度检验优度检验R2R2统计量和方程显著性检验统计量和方程显著性检验F F统计量无效统计量无效 由于在序列相关时由于在序列相关时OLS对随机误差方差估计有偏，结果基于对随机误差方差估计有偏，结果基于OLS残差平方和计算出来的拟合残差平方和计算出来的拟合(n h)优度检验统计量优度检验统计量R2也失去意义，也失去意义，相应的方程显著性检验统计量相应的方程显著性检验统计量F统计量也无效。统计量也无效。第16页/共63页第十七页，共63页。4 4变量的显著性检验变量的显著性检验t t 检验统计检验统计(tngj)(tngj)量和相应的参数置量和相应的参数置 信区间估计失去意义信区间估计失去意义 用用OLS法估计序列相关的模型得到的随机误差项的方差不仅是有偏的，而且法估计序列相关的模型得到的随机误差项的方差不仅是有偏的，而且这一偏误也将传递到用这一偏误也将传递到用OLS方法得到的参数估计量的方差中来，从而使得方法得到的参数估计量的方差中来，从而使得(sh de)建立在建立在OLS参数估计量方差基础上的变量显著性检验失去意义。参数估计量方差基础上的变量显著性检验失去意义。212()tVarx没有被低估，通常没有被低估，通常OLS参数估计量的方差式（参数估计量的方差式（7-16）2即使随机误差的方差即使随机误差的方差也是存在一阶序列相关时参数估计量方差的偏误估计量。也是存在一阶序列相关时参数估计量方差的偏误估计量。以一元回归模型为例，以一元回归模型为例，01iiiYX第17页/共63页第十八页，共63页。5 5模型的预测模型的预测(yc)(yc)失效失效 在存在在存在(cnzi)序列相关时序列相关时OLS估计的随机误差项方差有偏，参数估计量方估计的随机误差项方差有偏，参数估计量方差非有效，这样回归模型的被解释变量的预测值及预测区间就不准确，差非有效，这样回归模型的被解释变量的预测值及预测区间就不准确，预测精度降低。预测精度降低。被解释变量预测值区间与模型(mxng)参数和随机误差的估计量的方差有关。所以，当模型出现序列相关时，它的预测功能失效。所以，当模型出现序列相关时，它的预测功能失效。第18页/共63页第十九页，共63页。第三节第三节 序列序列(xli)(xli)相关性的检验相关性的检验这些不同的检验方法的共同这些不同的检验方法的共同(gngtng)思路是什么呢？思路是什么呢？问题问题(wnt)(wnt)：序列相关性的检验方法有多种，如冯诺曼比检验法、回归检验法、序列相关性的检验方法有多种，如冯诺曼比检验法、回归检验法、D.W.检验法等。检验法等。tttolseYY 首先采用普通最小二乘法估计模型，首先采用普通最小二乘法估计模型，以得到随机干扰项的近似估以得到随机干扰项的近似估计量，我们用计量，我们用ie表示表示近似估计量：近似估计量：（7-19）然后通过分析这些近似估计量之间的相关性以达到判断随机干扰然后通过分析这些近似估计量之间的相关性以达到判断随机干扰项是否具有序列相关性的目的。项是否具有序列相关性的目的。第19页/共63页第二十页，共63页。序列相关性的检验序列相关性的检验(jinyn)方法方法一、图示法一、图示法二、回归二、回归(hugu)检验法检验法三、杜宾三、杜宾沃森检验沃森检验(jinyn)四、拉格朗日乘子检验四、拉格朗日乘子检验第20页/共63页第二十一页，共63页。一、图示法一、图示法tetttete 由于残差由于残差 可以作为随机误差可以作为随机误差 的估计，因此，如果的估计，因此，如果 存在序列相关性，存在序列相关性，反映出来，因此可以利用反映出来，因此可以利用 的变化来判断随机干扰项的序列的变化来判断随机干扰项的序列必然会由残差项必然会由残差项相关性，如图相关性，如图71所示。所示。第21页/共63页第二十二页，共63页。二、回归二、回归(hugu)(hugu)检验法检验法，1 2,.,ttteetn（7-20）1122 3,.,tttteeetn（7-21）等为解释变量，等为解释变量，te1te2te2te 以以 为解释变量，以各种可能的相关变量，诸如为解释变量，以各种可能的相关变量，诸如，建立建立(jinl)各种方程：各种方程：对方程对方程(fngchng)进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知道了相关的形式，而且它一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知道了相关的形式，而且它适用于任何类型的序列相关性问题的检验。适用于任何类型的序列相关性问题的检验。优点：优点：第22页/共63页第二十三页，共63页。三、杜宾三、杜宾沃森检验沃森检验(jinyn)(jinyn)D-W检验是杜宾（检验是杜宾（J.Durbin）和沃森（）和沃森（G.S.Watson）于）于1951年提出年提出的一种的一种(y zhn)检验序列自相关的方法。虽然该方法很常用，但它有一些基本假定：检验序列自相关的方法。虽然该方法很常用，但它有一些基本假定：（1）回归）回归(hugu)含有截距项。含有截距项。（2）解释变量）解释变量X是非随机的，或者在重复抽样中被固定的。是非随机的，或者在重复抽样中被固定的。t1ttt（3）随机干扰项）随机干扰项为一阶自回归形式：为一阶自回归形式：。（4）回归模型中不应把滞后应变量作为解释变量之一，即不应出现如下形式模型：）回归模型中不应把滞后应变量作为解释变量之一，即不应出现如下形式模型：011221 tttkktttYXXXY（5）没有缺失数据。）没有缺失数据。第23页/共63页第二十四页，共63页。0:0Ht杜宾杜宾沃森针对原假设沃森针对原假设，即，即不存在一阶自相关，构造如下统计量：不存在一阶自相关，构造如下统计量：21221().ntttntteeDWe （7-22）tete因为因为D.W.值要从值要从中算出，而中算出，而又依赖于给定的又依赖于给定的X的值。的值。2UdLd检验，它没有唯一的临界值可以导出拒绝或检验，它没有唯一的临界值可以导出拒绝或和下限和下限，且这些上下限只与，且这些上下限只与因此因此D-W检验不同于检验不同于t、F或或接受原假设。但他们成功导出了临界值的上限接受原假设。但他们成功导出了临界值的上限样本容量样本容量n和解释变量的个数有关，而与解释变量的取值无关。和解释变量的个数有关，而与解释变量的取值无关。杜宾杜宾沃森证明该统计量的分布与出现在给定样本中的沃森证明该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系，值有复杂的关系，其准确的抽样或概率分布很难得到；其准确的抽样或概率分布很难得到；第24页/共63页第二十五页，共63页。LdUd 因此，在运用因此，在运用D-W检验时，只须计算该统计量的值，再根据样本容量检验时，只须计算该统计量的值，再根据样本容量n 和和 ，然后按下列准则，然后按下列准则考察考察 和解释变量数目和解释变量数目k查查D.W.分布表，得到临界值分布表，得到临界值 计算得到的计算得到的D.W.值，以判断模型的自相关状态：值，以判断模型的自相关状态：若若0.LDWd ，则存在正自相关；，则存在正自相关；若若.LUdDWd ，则不确定；，则不确定；若若.4ULdDWd ，则无自相关；，则无自相关；若若4.4ULdDWd ，则不确定；，则不确定；若若4.4LdDW ，则存在负自相关。，则存在负自相关。也就是说，当也就是说，当D.W.值在值在2附近附近(fjn)时，模型不存在一阶自相关。时，模型不存在一阶自相关。第25页/共63页第二十六页，共63页。例例7-1 7-1 给定一个含有给定一个含有50个观测值的样本和个观测值的样本和4个解释变量个解释变量（含常数（含常数(chngsh)项），如果（项），如果（a）D.W.=1.05，（，（b）D.W.=1.40，（c）D.W.=2.50，（，（d）D.W.=3.97你能对自相关你能对自相关(xinggun)的问题说些什么？的问题说些什么？第26页/共63页第二十七页，共63页。解：解：根据根据D-W检验检验(jinyn)判断准则可知判断准则可知（b）D.W.=1.40Ld，随机误差项存在一阶正自相关；，随机误差项存在一阶正自相关；（d）4 Ld =2.58 D.W.=3.97，随机误差项存在负一阶自相关。，随机误差项存在负一阶自相关。LdUd查查D.W.分布表可知，当样本数为分布表可知，当样本数为n=50，解释变量数，解释变量数k=4时，在时，在5%的的为为1.42，为为1.67。显著性水平下显著性水平下D.W.统计量临界值的下界统计量临界值的下界（a）D.W.=1.05 D.W.=2.504=2.33，不能确定随机误差项是否，不能确定随机误差项是否存在一阶自相关；存在一阶自相关；第27页/共63页第二十八页，共63页。在许多情况下，人们发现上限在许多情况下，人们发现上限Ud 差不多就是真实的显著性界限，因而，差不多就是真实的显著性界限，因而，如果如果D.W.的估计值落入不能确定的区域，人们可以使用以下修正的的估计值落入不能确定的区域，人们可以使用以下修正的D-W 检验程序。给定显著性水平检验程序。给定显著性水平：0:0H1:0H （2）原假设为）原假设为，备择假设为，备择假设为0:0H1:0H （1）原假设为）原假设为 ，备择假设为，备择假设为.UDWd 如果有如果有 ，则在显著性水平，则在显著性水平上拒绝原假设上拒绝原假设H0，接受，接受备择假设备择假设H1，也就是存在统计上显著的正相关。，也就是存在统计上显著的正相关。4.UDWd 如果有如果有 ，则在显著性水平，则在显著性水平上拒绝原假设上拒绝原假设H0，接受，接受备择假设备择假设H1，也就是存在统计上显著的负相关。，也就是存在统计上显著的负相关。第28页/共63页第二十九页，共63页。在许多情况下，人们发现上限在许多情况下，人们发现上限Ud 差不多就是真实的显著性界限，因而，差不多就是真实的显著性界限，因而，如果如果D.W.的估计值落入不能确定的区域，人们可以使用以下修正的的估计值落入不能确定的区域，人们可以使用以下修正的D-W 检验程序。给定显著性水平检验程序。给定显著性水平：0:0H1:0H （3）原假设为）原假设为 ，备择假设为，备择假设为.UDWd4.UDWd 如果有如果有 或者或者则在显著性水平则在显著性水平上拒绝原假设上拒绝原假设H0，接受备择假设，接受备择假设H1，也就是存在统计上显著的自相关。也就是存在统计上显著的自相关。第29页/共63页第三十页，共63页。四、拉格朗日乘子检验四、拉格朗日乘子检验(jinyn)(jinyn)拉格朗日乘子检验克服了拉格朗日乘子检验克服了D-W检验的缺陷，适合于高阶序列相关检验的缺陷，适合于高阶序列相关(xinggun)及模型中存在滞后被解释变量的情形。它是由布劳殊（及模型中存在滞后被解释变量的情形。它是由布劳殊（Breusch）与）与戈弗雷（戈弗雷（Godfrey）于）于1978年提出的，也称为年提出的，也称为GB检验。检验。对于模型对于模型01122tttkkttYXXX（7-24）如果要检验随机误差项是否存在如果要检验随机误差项是否存在(cnzi)p阶序列相关：阶序列相关：（7-25）1212.ttttptp 那么检验如下受约束回归方程就是拉格朗日乘子检验：那么检验如下受约束回归方程就是拉格朗日乘子检验：011221212.tttkkttttptpYXXX （7-26）第30页/共63页第三十一页，共63页。约束条件为约束条件为（7-27）012:0pH 如果约束条件为真，则如果约束条件为真，则LM统计量服从大样本下自由度为统计量服从大样本下自由度为p的渐近的渐近2分布：分布：22()pLMn p R（7-28）其中其中n p和和2R分别为如下辅助回归方程的样本容量和可决系数：分别为如下辅助回归方程的样本容量和可决系数：（7-29）01 111ttkkttp t pteXXee (7-29)中的被解释变量中的被解释变量te是对原模型（是对原模型（7-24）进行）进行OLS回归后得到的残差。回归后得到的残差。第31页/共63页第三十二页，共63页。p值即滞后的长度无法预先给定，因此值即滞后的长度无法预先给定，因此(ync)实践操作中可从实践操作中可从1阶、阶、2阶阶逐次相更高阶检验，并用辅助回归方程（逐次相更高阶检验，并用辅助回归方程（7-29）式中各个残差项前面的）式中各个残差项前面的参数的显著性来帮助判断序列相关的阶数。参数的显著性来帮助判断序列相关的阶数。（7-29）01 111ttkkttp t pteXXee LM检验的一个检验的一个(y)缺陷缺陷第32页/共63页第三十三页，共63页。例例7-2 7-2 假定假定(jidng)用用32个样本做个样本做Y对对X(包含截距包含截距)的回归的回归而这样的而这样的2数值对应的概率数值对应的概率p为为0.0003，这是一个很低的概率。，这是一个很低的概率。因此我们可以拒绝辅助回归方程中原始回归残差序列的全部因此我们可以拒绝辅助回归方程中原始回归残差序列的全部1到到5阶滞后阶滞后序列系数均为零的假设，至少序列系数均为零的假设，至少(zhsho)有一个滞后残差序列的系数不为零。有一个滞后残差序列的系数不为零。这表明原始回归的残差中至少存在这表明原始回归的残差中至少存在1到到5阶中的某一滞后的自相关，当然阶中的某一滞后的自相关，当然要确定到底要确定到底(do d)是几阶序列相关还必须进一步进行是几阶序列相关还必须进一步进行4阶、阶、3阶阶等不同阶数的拉格等不同阶数的拉格朗日乘子检验。朗日乘子检验。如果我们怀疑回归残差序列有如果我们怀疑回归残差序列有5阶滞后相关，那么辅助回归方程中我们阶滞后相关，那么辅助回归方程中我们可以用可以用Y对对X以及残差序列的以及残差序列的1到到5阶滞后序列进行回归，假定从辅助回归方阶滞后序列进行回归，假定从辅助回归方程中回归得到的拟合优度程中回归得到的拟合优度R2为为0.8860。由于原始回归中有由于原始回归中有32个样本，而辅助回归中用了个样本，而辅助回归中用了5个滞后值，这样辅助个滞后值，这样辅助2()np R等于等于(32-5)0.886即等于即等于23.382。回归方程中仅有回归方程中仅有27个样本，因此个样本，因此第33页/共63页第三十四页，共63页。第四节第四节 序列序列(xli)(xli)相关的补救相关的补救 由于序列相关出现时由于序列相关出现时OLS估计量是非有效的，因此如果回归模型被证明估计量是非有效的，因此如果回归模型被证明存在序列相关性，则应该发展新的方法来估计模型。类似于处理异方差存在序列相关性，则应该发展新的方法来估计模型。类似于处理异方差(fn ch)的情的情况，在大样本下我们也可以用与异方差况，在大样本下我们也可以用与异方差(fn ch)和自相关相一致的和自相关相一致的OLS回归残差的方回归残差的方差协方差差协方差(fn ch)矩阵来处理随机误差项的异方差矩阵来处理随机误差项的异方差(fn ch)和自相关情况，这样和自相关情况，这样OLS估计也仍估计也仍然是有效的，只是我们需要报告相应的异方差然是有效的，只是我们需要报告相应的异方差(fn ch)自相关稳健标准差和相应的统自相关稳健标准差和相应的统计量，其处理方法完全类似于异方差计量，其处理方法完全类似于异方差(fn ch)稳健推断，这里我们不再对异方差稳健推断，这里我们不再对异方差(fn ch)自相自相关稳健推断详细论述，我们详细介绍一般情况下处理序列相关最常用的广义关稳健推断详细论述，我们详细介绍一般情况下处理序列相关最常用的广义最小二乘法（最小二乘法（GLS）和广义差分法。）和广义差分法。第34页/共63页第三十五页，共63页。一、广义一、广义(gungy)最小二乘法最小二乘法定义定义(dngy):(dngy):最具有最具有(jyu)普遍意义的最小二乘法普遍意义的最小二乘法.普通最小二乘法普通最小二乘法和和加权最小二乘法加权最小二乘法是它的特例。是它的特例。一般情况下，对于模型一般情况下，对于模型（7-30）Y=X+如果存在序列相关性，同时存在异方差，即有如果存在序列相关性，同时存在异方差，即有21121222122212()(,)nnnnnCovE 第35页/共63页第三十六页，共63页。显然，显然，是一对称矩阵，因此存在一可逆矩阵，使得是一对称矩阵，因此存在一可逆矩阵，使得DD 用用1D左乘（左乘（7-30）式两边，得到一个新的模型）式两边，得到一个新的模型111D YD XD（7-31）即即 YX该模型具有同方差性和随机干扰该模型具有同方差性和随机干扰(gnro)项相互独立性。因为项相互独立性。因为11111211212(,)(,)(,)EEE DDDDDDDDD DI 第36页/共63页第三十七页，共63页。则则111111111 ()()()X XX YX DD XX DD YXXXY这就是原模型（这就是原模型（7-30）式的广义）式的广义(gungy)最小二乘估计量，它是无偏有效的估计量。最小二乘估计量，它是无偏有效的估计量。于是，可以用普通最小二乘法估计模型（于是，可以用普通最小二乘法估计模型（7-31）式，记参数估计量为）式，记参数估计量为，2由上面的推导过程可知，只要知道随机干扰项的方差由上面的推导过程可知，只要知道随机干扰项的方差-协方差矩阵协方差矩阵，就可以采用广义最小二乘法得到参数的最佳线性无偏估计量。就可以采用广义最小二乘法得到参数的最佳线性无偏估计量。j(1)/2n n 然而若只有然而若只有n个样本点，要对包括各个个样本点，要对包括各个 在内的在内的进行估计是困难的，在实践操作中，往往通过广义差分法来实现广义最小二乘估计。进行估计是困难的，在实践操作中，往往通过广义差分法来实现广义最小二乘估计。+k+1个未知参数个未知参数第37页/共63页第三十八页，共63页。二、广义二、广义(gungy)差分法差分法 广义差分法需要广义差分法需要(xyo)对随机干扰项自相关系数事先给出必要的假设，对随机干扰项自相关系数事先给出必要的假设，可区分为两种情形：自相关系数已知和未知。可区分为两种情形：自相关系数已知和未知。1）自相关系数已知时）自相关系数已知时t 由于干扰项由于干扰项 是不可观测的，关于序列相关的性质往往是一种猜测是不可观测的，关于序列相关的性质往往是一种猜测 遵循形如遵循形如(7-4)式那样的一阶自回归方式，式那样的一阶自回归方式，t 或实际体验。实践中，常假定或实际体验。实践中，常假定1ttt （7-32）即：即：（7-32）式中自回归系数和随机干扰项满足）式中自回归系数和随机干扰项满足(7-4)的假定。若假定的假定。若假定(7-32)是是为已知时，序列相关问题就可以圆满解决。为已知时，序列相关问题就可以圆满解决。真实的，当自相关系数真实的，当自相关系数第38页/共63页第三十九页，共63页。为说明这一点，考虑以下多元回归模型为例：为说明这一点，考虑以下多元回归模型为例：101.ttktktYXX（7-33）如果（如果（7-33）在时刻）在时刻t成立成立(chngl)，则在时刻，则在时刻t-1也成立也成立(chngl)，因此有：，因此有：1101111.tktkttYXX（7-34）用用乘（乘（7-34）两边，得到：）两边，得到：1011111.ttkkttYXX（7-35）第39页/共63页第四十页，共63页。011ttkkttYXX （7-37）其中，其中，0011(1),1,2,tttitititYYYXXXik,由于由于t 满足全部满足全部OLS假定，故可以直接对方程（假定，故可以直接对方程（7-37）进行）进行OLS回归回归得到具有得到具有BLUE性质的估计量。性质的估计量。将（将（7-36）式简写）式简写(jinxi)为为用（用（7-33）减去（）减去（7-35）得到）得到1111011111011(1).(1)().()ttttktktktttttktkttkYYXXXXXXXX（7-36）第40页/共63页第四十一页，共63页。更一般地如果多元回归模型更一般地如果多元回归模型01122tttkkttYXXX （7-38）中的随机干扰项存在中的随机干扰项存在p阶序列相关：阶序列相关：1122.ttttptp （7-39）那么那么(n me)可以将原模型（可以将原模型（7-38）式变换为）式变换为110111111111.(1.)(.).(.)ttptppttptpkktktpktptYYYXXXXXX 1,2,.,tppn （7-40）（7-40）式即为多元回归形式）式即为多元回归形式(xngsh)的广义差分模型，该模型不存在序列相关性。的广义差分模型，该模型不存在序列相关性。第41页/共63页第四十二页，共63页。采用采用OLS法估计法估计(gj)该模型得到的参数估计该模型得到的参数估计(gj)量即为原模型参数的无偏有效量即为原模型参数的无偏有效估计估计(gj)量，这样处理序列相关的方法就是广义差分法。量，这样处理序列相关的方法就是广义差分法。广义差分法就是前面广义差分法就是前面(qin mian)我们讨论过的广义最小二乘法（我们讨论过的广义最小二乘法（GLS），但应注），但应注意滞后的观测值被排除了。意滞后的观测值被排除了。为看清这一点，我们仍然为看清这一点，我们仍然(rngrn)考虑前面的一阶序列相关的情况考虑前面的一阶序列相关的情况我们用矩阵形式把上述估计过程重写一遍。对于一阶序列相关的随机误差项我们用矩阵形式把上述估计过程重写一遍。对于一阶序列相关的随机误差项 1ttt 我们可以证明该随机干我们可以证明该随机干扰项的方差和协方差分别为扰项的方差和协方差分别为22222221()11(,)1tssttVarCov 第42页/共63页第四十三页，共63页。用矩阵用矩阵(j zhn)表示为表示为1222212()()1.1.1.1nnnnCovE 根据根据(gnj)线性代数易知线性代数易知22122210.0001.00001.0001.1000.10000.1000.01 第43页/共63页第四十四页，共63页。从而从而(cng r)有有2-1100.00010.00001.000.000.100000.10000.01D用用1D左乘矩阵形式的多元回归模型左乘矩阵形式的多元回归模型 Y=X+,得到得到 111D YD XD （7-41）第44页/共63页第四十五页，共63页。1111011111011(1).(1)().()ttttktktktttttktkttkYYXXXXXXXX 然后展开然后展开(zhn ki)（7-41）式中所有矩阵乘积，去掉展开）式中所有矩阵乘积，去掉展开(zhn ki)式的第一行就得到（式的第一行就得到（7-36）一样的结果。一样的结果。111D YD XD （7-41）第45页/共63页第四十六页，共63页。类似地对具有类似地对具有p阶序列相关的多元回归模型的广义差分法估计也等同于广义最小二乘估计，但我们损失阶序列相关的多元回归模型的广义差分法估计也等同于广义最小二乘估计，但我们损失(snsh)了前面了前面p个样本观测值，这一点可以从广义差分模型（个样本观测值，这一点可以从广义差分模型（7-40）式看出来。在样本规模较大而误差序列相关阶数较小时，广义差分法与广义最小二乘法的估计结果很接近。但在小样本或误差呈现较大的高阶序列相关时，观测值的损失）式看出来。在样本规模较大而误差序列相关阶数较小时，广义差分法与广义最小二乘法的估计结果很接近。但在小样本或误差呈现较大的高阶序列相关时，观测值的损失(snsh)可能会对估计结果有影响。因此在广义差分变换中，有时需弥补这一损失可能会对估计结果有影响。因此在广义差分变换中，有时需弥补这一损失(snsh)。2211,1,(1,2,.,)tjtjtYY XXjk这样广义差分法的估计这样广义差分法的估计(gj)结果就完全等同于广义最小二乘估计结果就完全等同于广义最小二乘估计(gj)量。量。例如，在一阶序列相关例如，在一阶序列相关(xinggun)情况下，对损失的第一次观测值可进行如下的情况下，对损失的第一次观测值可进行如下的 普莱斯普莱斯-温斯特（温斯特（Prais-Winsten）变换：）变换：第46页/共63页第四十七页，共63页。2 2）自相关系数未知时的处理）自相关系数未知时的处理(chl)(chl)尽管广义差分回归直接明了，但通常情况下我们并不知道总体模型尽管广义差分回归直接明了，但通常情况下我们并不知道总体模型(mxng)中随机干扰项的真实自回归系数中随机干扰项的真实自回归系数是多少，故广义差分法一般难以实现。是多少，故广义差分法一般难以实现。（1 1）一次差分法）一次差分法（2 2）根据）根据(gnj)D.W.(gnj)D.W.统计量来估计统计量来估计（3 3）科克伦）科克伦-奥科特（奥科特（Cochrane-OrcuttCochrane-Orcutt）迭代法）迭代法（4 4）杜宾两步法）杜宾两步法因此我们需要另想办法来处理序列相关问题，我们介绍几种常用的方法。因此我们需要另想办法来处理序列相关问题，我们介绍几种常用的方法。第47页/共63页第四十八页，共63页。（1 1）一次差分法）一次差分法 因为自回归系数因为自回归系数介于（介于（-1，1）之间，我们考虑极端的序列）之间，我们考虑极端的序列(xli)相关情况，相关情况，即完全的正相关或负相关，此时即完全的正相关或负相关，此时等于等于1或或1。考虑简单的一元回归模型：考虑简单的一元回归模型：（7-42）01tttYX假定该模型中随机干扰项为完全一阶正相关，即有假定该模型中随机干扰项为完全一阶正相关，即有1ttt（7-43）第48页/共63页第四十九页，共63页。对（对（7-42）进行）进行(jnxng)一次差分得到一次差分得到111111()()()tttttttttYYXXXX即即 （7-44）1tttYX10（7-44）的差分回归方程没有截距，随机干扰项没有序列自相关，因此可以）的差分回归方程没有截距，随机干扰项没有序列自相关，因此可以 对它采取过原点对它采取过原点OLS回归得到回归得到的的BLUE估计量，注意此时原模型中的截距估计量，注意此时原模型中的截距就不能估计出来了（它可能是任意常数）。就不能估计出来了（它可能是任意常数）。第49页/共63页第五十页，共63页。如果原模型为包含时间如果原模型为包含时间(shjin)趋势的模型：趋势的模型：0112tttYXt（7-45）那么对它进行一次差分那么对它进行一次差分(ch fn)后得到后得到（7-46）12tttYX 该差分模型中含有一截距，因此含有截距的一次差分模型意味着在原模型该差分模型中含有一截距，因此含有截距的一次差分模型意味着在原模型中存在一线性时间趋势项，而且一次差分模型中的截距就是原模型中时间趋势中存在一线性时间趋势项，而且一次差分模型中的截距就是原模型中时间趋势项的系数。如果项的系数。如果2是正的话，这表明原模型中是正的话，这表明原模型中Y除了受除了受X的影响外还有一上升的影响外还有一上升的趋势。的趋势。第50页/共63页第五十一页，共63页。如果原模型中随机干扰项是完全一阶负相关的，那么一次差分处理(chl)的方法就是相反了。思考思考(sko):(sko):析析:要注意它是以假定要注意它是以假定=1为前提的，如果随机干扰项不是完全一阶为前提的，如果随机干扰项不是完全一阶正相关，就不能进行这样正相关，就不能进行这样(zhyng)的一次差分变换。的一次差分变换。第51页/共63页第五十二页，共63页。怎样知道怎样知道(zh do)假定假定=1是否合理呢？是否合理呢？为检验假设为检验假设(jish)=1，贝伦布鲁特，贝伦布鲁特韦布推出如下韦布推出如下g检验统计量：检验统计量：2221nttntteg（7-47）用贝伦布鲁特用贝伦布鲁特-韦布韦布(wi b)（Belenblutt-Webbtest）统计量来检验。）统计量来检验。ttetYjtX其中其中是原始模型的是原始模型的OLS残差，而残差，而是被解释变量是被解释变量Y的一阶差分的一阶差分各个解释变量各个解释变量X的一阶差分的一阶差分OLS回归得到的残差（注意无截距项）。回归得到的残差（注意无截距项）。对对进行进行第52页/共63页第五十三页，共63页。例例7-3 7-3 假定用假定用32个样本做个样本做Y对对X的的OLS回归得到回归得到(d do)的残差平方和的残差平方和RSS1=204.2934，再做再做Y对对X的的OLS回归（注意在此回归中没有截距）得到回归（注意在此回归中没有截距）得到(d do)残差平方和残差平方和RSS2=28.1938。g=28.1938/204.2934=0.1377 查查D.W.分布表发现分布表发现5%的显著性水平的显著性水平(shupng)下下31个样本和个样本和1个解释变量的个解释变量的D.W.值下界为值下界为1.363，上界为，上界为1.496。因此因此(ync)这样计算的这样计算的g的数值小于的数值小于D.W.统计量的下界，我们不能拒绝统计量的下界，我们不能拒绝 基于这一结果，对原模型进行一次差分后再用基于这一结果，对原模型进行一次差分后再用OLS估计是合理的。估计是合理的。=1的原假设。的原假设。第53页/共63页第五十四页，共63页。（2 2）根据）根据(gnj)D.W.(gnj)D.W.统计量来估计统计量来估计回想回想(huxing)我们前面的我们前面的D.W.统计量统计量1221.2 12(1)2(1)ntttntteeDWde根据该式我们可以得到根据该式我们可以得到的计算表达式：的计算表达式：12d （7-48）这是从所估计的这是从所估计的D.W.统计量获得统计量获得的一个估计值的简易的一个估计值的简易(jiny)方法。方法。第54页/共63页第五十五页，共63页。12d （7-48）由（由（7-48）可见，仅当）可见，仅当 d 等于或接近于等于或接近于0时，一次差分法中假定时，一次差分法中假定1才是对的才是对的01 此外当此外当d=2时时，d=4时，时，因此因此D.W.统计量为我们提供了一个估计统计量为我们提供了一个估计的现成方法。的现成方法。但要注意的是，（但要注意的是，（7-48）仅提供了一个估计）仅提供了一个估计的近似式，在小样本下的近似式，在小样本下未必可靠，仅在大样本下才具有最优性质。未必可靠，仅在大样本下才具有最优性质。第55页/共63页第五十六页，共63页。一旦从（一旦从（7-48）估计出）估计出，我们就可以对原模型进行广义差分变换，我们就可以对原模型进行广义差分变换，然后对广义差分后的模型进行然后对广义差分后的模型进行OLS估计。估计。同样需要注意的是，由于广义差分法中用的是真实的同样需要注意的是，由于广义差分法中用的是真实的，而我们是用，而我们是用来代替真实的来代替真实的，因此就会出现一个问题：，因此就会出现一个问题：估计的估计的这样估计的回归系数是否有经典回归模型中所说这样估计的回归系数是否有经典回归模型中所说(su shu)的最优性质呢？的最优性质呢？当用一个估计的量去代替真值时，当用一个估计的量去代替真值时，OLS估计得到的回归系数仅是渐近有估计得到的回归系数仅是渐近有效的，就是说仅在大样本情况效的，就是说仅在大样本情况(qngkung)下才是最优的，而且通常的假设检验统计量也下才是最优的，而且通常的假设检验统计量也仅是渐近有效的。仅是渐近有效的。一个一个(y)一般性的原则：一般性的原则：第56页/共63页第五十七页，共63页。（3 3）科克伦）科克伦-奥科特（奥科特（Cochrane-OrcuttCochrane-Orcutt）迭代法）迭代法利用估计的残差去获得关于未知的利用估计的残差去获得关于未知的的信息。的信息。考虑一元回归模型：考虑一元回归模型：01tttYX （7-49）假定随机干扰项为一阶自相关，即假定随机干扰项为一阶自相关，即（7-50）1ttt 第57页/共63页第五十八页，共63页。按如下步骤来估计自回归系数按如下步骤来估计自回归系数 1对（对（7-49）进行）进行OLS回归得到回归残差回归得到回归残差tete1ttteev 2利用回归残差利用回归残差做如下做如下OLS回归：回归：（7-51）3.用（用（7-51）回归得到的）回归得到的，对（，对（7-49）做广义差分方程：）做广义差分方程：01tttYX （7-52）010011(1),对此式进行对此式进行OLS回归即可得到回归即可得到和和的估计值，然后注意到的估计值，然后注意到01,就可以得到原模型（就可以得到原模型（7-49）中系数）中系数的估计值。的估计值。第58页/共63页第五十九页，共63页。01,te 4.将第三步得到的将第三步得到的 的估计值重新代入原模型（的估计值重新代入原模型（7-49）并计算得到新）并计算得到新 。的残差的残差1tttee 5.现在估计回归方程：现在估计回归方程：（7-53）的第二次估计值。的第二次估计值。这样得到这样得到 按如下步骤来估计自回归系数按如下步骤来估计自回归系数如果如果的第二次估计值仍然不能够令人满意，我们可以进行的第二次估计值仍然不能够令人满意，我们可以进行第四次第四次估计，一直到估计，一直到的估计值达到令人满意的精度为止。的估计值达到令人满意的精度为止。的第三次、的第三次、第59页/共63页第六十页，共63页。（4 4）杜宾两步法）杜宾两步法以上面以上面(shng min)的一元回归模型为例的一元回归模型为例（7-54)0111(1)()tttttYXXYv 把广义差分方程把广义差分方程 改写为：改写为：01tttYX以下两步以下两步程序程序来估计来估计：1tY 1对（对（7-54）进行）进行OLS回归，并把对回归，并把对 的回归系数的估计值的回归系数的估计值 看作对看作对 的一个估计。虽然这个估计值有偏误，但它却是的一个估计。虽然这个估计值有偏误，但它却是 的一个一致估计。的一个一致估计。第60页/共63页第六十一页，共63页。2求得求得 后，把它代入差分方程（后，把它代入差分方程（7-52），即代入下面的方程），即代入下面的方程10111(1)()()ttttttYYXX该方程该方程(fngchng)改写为改写为（7-55）01tttYX 对（对（7-55）进行）进行OLS回归回归(hugu)得到参数的估计值。得到参数的估计值。由此可见，杜宾两步法的第一步是要得到由此可见，杜宾两步法的第一步是要得到的一个估计值，的一个估计值，第二步是要得到回归的参数值。第二步是要得到回归的参数值。第61页/共63页第六十二页，共63页。还有一些其他的估计还有一些其他的估计的方法，这里不再一一介绍。的方法，这里不再一一介绍。其他其他(qt)方法的基本上都是两步法：方法的基本上都是两步法：的一个估计值；的一个估计值；第一步，我们获得未知的第一步，我们获得未知的 第二步，用这个估计值对变量第二步，用这个估计值对变量(binling)做变换，以估计广义差分方程，这基本做变换，以估计广义差分方程，这基本 上就是上就是GLS。因此这些方法在文献中因此这些方法在文献中 而不是真实的而不是真实的，但因为我们使用的是估计值但因为我们使用的是估计值都称为都称为可行的可行的（feasible）或）或估计的广义最小二乘法估计的广义最小二乘法（estimated generalizedleast-squares,简称简称EGLS）。）。第62页/共63页第六十三页，共63页。