随机变量的概念与离散型随机变量学习教案

会计学1随机变量随机变量(su j bin lin)的概念与离散的概念与离散型随机变量型随机变量(su j bin lin)第一页，共61页。Random Variable and Distribution第2页/共61页第二页，共61页。出现出现1点点出现出现2点点出现出现3点点出现出现4点点出现出现5点点出现出现6点点X123456P616161616161如何如何(rh)(rh)引入随机变量引入随机变量n基本基本(jbn)(jbn)思想思想将样本空间数量化将样本空间数量化,即用即用数值数值来表示试验的结果来表示试验的结果第3页/共61页第三页，共61页。又如：又如：1.某个某个(mu)灯泡的使用寿命为灯泡的使用寿命为X。X 的可能的可能(knng)取值为取值为 0,+)2.某电话总机在一分钟内收到的某电话总机在一分钟内收到的 呼叫呼叫(h jio)次数为次数为Y.Y 的可能取值为的可能取值为 0，1，2，3，.,设箱中有设箱中有10个球，其中有个球，其中有2个红球，个红球，8个白个白 球；球；从中任意抽取从中任意抽取2个个,观察抽球结果。观察抽球结果。X表示取得表示取得的的红球数红球数第4页/共61页第四页，共61页。未中未中中了中了赢了赢了输了输了不发生不发生发生发生不合格不合格合格合格不健康不健康健康健康不好不好好好 AAAn 有些有些(yuxi)(yuxi)随机试验的结果不是用数量来表示，随机试验的结果不是用数量来表示，n 但可数量化但可数量化实验所有实验所有结果结果XA10第5页/共61页第五页，共61页。定义定义(dngy)2.1.1设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为，如果对于每一，如果对于每一个样本点个样本点 ，均有唯一的实数，均有唯一的实数 与与之对应，称之对应，称 为样本空间为样本空间上上的随机变量的随机变量（Random Variable）。()X()XX 1 2 3 xX=X(1)0 0X=X(2)第6页/共61页第六页，共61页。.第7页/共61页第七页，共61页。第8页/共61页第八页，共61页。通过引进通过引进(y(ynjn)njn)随机变量的概念，能够把不随机变量的概念，能够把不同的样本空间抽象化为一些定量的实数，由此就同的样本空间抽象化为一些定量的实数，由此就可以利用高等数学的有关方法来研究随机现象。可以利用高等数学的有关方法来研究随机现象。第9页/共61页第九页，共61页。例例1 1：在掷骰子试验：在掷骰子试验(shyn)(shyn)中，中，例例2 2 观察一个观察一个(y(y)电话交换台在一段时间（电话交换台在一段时间（0 0，T T）内接到的呼叫次数。）内接到的呼叫次数。用随机变量表示用随机变量表示(biosh)(biosh)事件事件X表示出现的点数表示出现的点数用随机变量用随机变量X表示事件表示事件出现偶数点出现偶数点出现的点数小于出现的点数小于4X=2 X=4 X=6X 4或或X 3X表示呼叫次数表示呼叫次数用随机变量用随机变量X表示事件表示事件接到的呼叫次数接到的呼叫次数k次次收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫(0,1,2,)Xkk 1X 第10页/共61页第十页，共61页。一般一般(ybn)地，随机变量地，随机变量X取值的概取值的概率率称为该随机变量称为该随机变量X的概率分布的概率分布第11页/共61页第十一页，共61页。X表示取得表示取得的的红球数红球数0P,1210C21028CC,82210C 第12页/共61页第十二页，共61页。3.使我们用分析使我们用分析(fnx)的方法来研究随机试验成为可能的方法来研究随机试验成为可能随机变量是研究随机试验的有效工具随机变量是研究随机试验的有效工具引入随机变量引入随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)的意义的意义 1.随机事件随机事件(shjin)的发生可以用随机变量的取值表示的发生可以用随机变量的取值表示2.可以用随机变量取值的概率来研究随机事件发生的概率，从而将随机事件概率的研究转化为随机变量取值概率的研究可以用随机变量取值的概率来研究随机事件发生的概率，从而将随机事件概率的研究转化为随机变量取值概率的研究.第13页/共61页第十三页，共61页。随即变量随即变量(binling)的取值有无穷多个，且不可列的取值有无穷多个，且不可列其中其中(qzhng)(qzhng)连续型随机变量是一种重要类型连续型随机变量是一种重要类型 离散型离散型非离散型非离散型随机变量的所有取值是随机变量的所有取值是有限个或可列个有限个或可列个第14页/共61页第十四页，共61页。称此式为称此式为X的分布的分布(fnb)律（列）或概率分布律（列）或概率分布(fnb)（Probability distribution)设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而取值，而取值 的概率为的概率为12,nxxxkxkp即即 如果如果(rgu)随机变量随机变量X的所有取值是有限个或可列个的所有取值是有限个或可列个,则称则称X为离散型随机变量。为离散型随机变量。定义定义2.1.2,2,1,kpxXPkk第15页/共61页第十五页，共61页。要研究离散型随机变量要研究离散型随机变量X的分布律，的分布律，就要就要(ji yo)完成如下两件事：完成如下两件事：1随机变量随机变量(su j bin lin)的取值及其范围是什么？的取值及其范围是什么？2它取每个值或在某个它取每个值或在某个(mu)范围内取值的概率是多少？范围内取值的概率是多少？第16页/共61页第十六页，共61页。p1，p2 ，p K P x1，x2 ，xk X离散离散(lsn)随机变量分布律的表示随机变量分布律的表示法法1.公式公式(gngsh)法法 kkP Xxp 2.表格法表格法随机变量随机变量X的的概率分布特征：概率分布特征：第17页/共61页第十七页，共61页。12)1kkp ,2,1,00)1 kpk第18页/共61页第十八页，共61页。第19页/共61页第十九页，共61页。.一袋中有一袋中有5只乒乓球，编号为只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取在其中同时取3只，以只，以X表示取出的表示取出的3只球中的最大号码，只球中的最大号码，写出随机变量写出随机变量(su j bin lin)X的分布律的分布律.X345P0.10.30.6例例1 求分布求分布(fnb)律律【解解】P(X=3)P(X=4)P(X=5)1.0135 C3.0335 C6.03524 CCX=3、4、5第20页/共61页第二十页，共61页。设随机变量设随机变量(su j bin lin(su j bin lin)X)X的分布律为的分布律为 2(),1,2,3,3kP Xkbk试确定试确定(qudng)(qudng)常数常数b.b.解解11223()()2313kkkbP Xkb 例例2232113bb1.2b 第21页/共61页第二十一页，共61页。设设X的分布的分布(fnb)律为律为求求 P(0X2)P(0X2)例例3：由分布：由分布(fnb)律确律确定概率定概率解解 =1/2+1/6=2/3=P（X=1）+P（X=2）第22页/共61页第二十二页，共61页。例例4 某系统有两台机器相互独立某系统有两台机器相互独立(dl)地运转。设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为地运转。设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以，以X表示系统中发生故障的机器数，求表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律的分布律 2,1 iiAi台台机机器器发发生生故故障障”，表表示示事事件件“第第设设解解故所求概率分布为：故所求概率分布为：X210kp02.026.072.0X=0、1、2PX=0=PX=1=PX=2=)(21AAP 8.09.0 2.09.08.01.0 )()(2121AAPAAP)(21AAP2.01.0 第23页/共61页第二十三页，共61页。X的可能的可能(knng)取值为取值为 0，1，2解解PX=0PX=1PX=2217220CC 11317220C CC 23220CC 故故 X X的分布的分布(fnb)(fnb)律为律为kp190136190511903第24页/共61页第二十四页，共61页。kp190136190511903P“至少至少(zhsho)抽得一件次品抽得一件次品”=513542719019019095=PX=1+PX=2PX1第25页/共61页第二十五页，共61页。X的所有的所有(suyu)可能取值为可能取值为 1，2，3，,k,)(121kkAAAAPX=k=121kkA AAA 例例6第26页/共61页第二十六页，共61页。pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3 解：设解：设Ai=第第i个灯为红灯个灯为红灯，则则P(Ai)=p，i=1,2,3 且且A1,A2,A3相互相互(xingh)独立。独立。PX=0=PX=1=PX=2=PX=3=pAP 1 ppAAP 121 ppAAAP23211 33211pAAAP 第27页/共61页第二十七页，共61页。1p p P 0 1 X 则称则称X服从参数服从参数(cnsh)为为p 的二点分布或的二点分布或(0-1)分布分布,若随机变量若随机变量X X的分布律为的分布律为:第28页/共61页第二十八页，共61页。(1)0,1,2.,;kkn knP XknkC pp 其中其中0 p 0,则称则称X服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布XP()n定义定义(dngy)2.1.5(dngy)2.1.5),2,1,0(,!kekkXPk 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为:记为记为第37页/共61页第三十七页，共61页。泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)的图形的图形第38页/共61页第三十八页，共61页。泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)的图形的图形第39页/共61页第三十九页，共61页。泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)的图形的图形第40页/共61页第四十页，共61页。泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)的图形的图形第41页/共61页第四十一页，共61页。第42页/共61页第四十二页，共61页。泊松分布的背景泊松分布的背景(bijng)及应用及应用二十世纪初二十世纪初罗瑟福罗瑟福和和盖克盖克两位科学家在观察两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时,他们做了他们做了2608 次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5 秒秒)发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子其放射的粒子数数X 服从服从泊松分布泊松分布.第43页/共61页第四十三页，共61页。体积相对体积相对(xingdu)(xingdu)小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数其参数 可以由观测值的平均值求出。可以由观测值的平均值求出。实际问题中若干实际问题中若干(rugn)随机变量服随机变量服从或近似服从从或近似服从 Poisson分布的情形分布的情形：第44页/共61页第四十四页，共61页。),2,1,0(0.1 kkXP 1.2000 kkkkkeekekekXP ！第45页/共61页第四十五页，共61页。例例1 1：设随机变量设随机变量X X的分布律为的分布律为其中其中k=0，1，2，0为常数，试确定常数为常数，试确定常数a.！kakXPk 【解】由分布【解】由分布(fnb)律的性质知律的性质知 001kkkaekakXP ！ea故故第46页/共61页第四十六页，共61页。例例:已知某已知某电话电话交交换换台每分台每分钟钟接到的呼接到的呼唤唤(h(h hun)hun)次次数数X X服服从从=4=4的泊松分布，分的泊松分布，分别别 求求（1 1）每分）每分钟内钟内恰好接到恰好接到3 3次呼次呼唤唤(h(h hun)hun)的的概概率；率；（2 2）每分）每分钟钟不超不超过过4 4次的次的概概率率解解 ！kekXPk 3,4 k 432104)2(XPXPXPXPXPXP344(1)33!eP X 第47页/共61页第四十七页，共61页。(1)!kkkn knC ppek 二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似(jn s)The Poisson Approximation to the Binomial Distributionnp 第48页/共61页第四十八页，共61页。二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 第49页/共61页第四十九页，共61页。例例 某人某人(mu rn)骑摩托车上街骑摩托车上街,出事故率为出事故率为0.02，独立重复上街，独立重复上街400次，求出事故至少两次的概率次，求出事故至少两次的概率.解解结果表明，随着实验次数的增多，结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！小概率事件总会发生的！4004000.020.98kkkP xkC )02.0,400(BX802.0400 np 第50页/共61页第五十页，共61页。若某人若某人(m(mu rn)u rn)做某事的成功率为做某事的成功率为1%1%，他重复努力，他重复努力400400次，次，成功成功(chnggng)(chnggng)次数服从二项概率次数服从二项概率 有百分之一的希望，就要有百分之一的希望，就要(ji yo)(ji yo)做百分做百分之百的努力之百的努力 )01.0,400(B011 XPXP40099.01 则至少成功一次的概率为则至少成功一次的概率为982.0 第51页/共61页第五十一页，共61页。例例2.1.8 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率设每辆车在一天的某时段出事故的概率(gil)为为0.0001,在在某天的该时段内有某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故辆汽车通过，问出事故的次数的次数不小于不小于2的概率的概率(gil)是多少（利用泊松定理是多少（利用泊松定理）？）？【解法一】设【解法一】设X表示出事故表示出事故(shg)的次数，的次数，则则XB（1000，0.0001）004678801011010.ee1012 XPXPXP10000101000.np 999999110009999099990000101.C第52页/共61页第五十二页，共61页。2XP查泊松表：查泊松表：P196解法解法(ji f)二：二：0046788.0 21010kkke！.第53页/共61页第五十三页，共61页。例例2.1.9 有有2500名同一年龄和同社会阶层的人名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡在一年中每个人死亡的概率为的概率为0.002，每个参加保险的人在，每个参加保险的人在1月月1日须交日须交12元元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金元赔偿金.求：（求：（1）保险公司亏本保险公司亏本(ku bn)的概率的概率;（2）保险公司获利分别不少于保险公司获利分别不少于10000元的概元的概率率.（1 1）保险公司）保险公司(b(bo xio xin n nn s)s)总收入为总收入为2500250012=3000012=30000元元.【解】以【解】以“年年”为单位为单位(dnwi)(dnwi)来考虑来考虑.设设1年中死亡人数为年中死亡人数为X，则，则XB(2500,0.002)，则则保险公司亏本的保险公司亏本的概率为概率为15300002000 XPXP第54页/共61页第五十四页，共61页。由于由于(yuy)n很大，很大，p很小，很小，=np=5，故用泊松近似，有，故用泊松近似，有(2)P(保险公司保险公司(bo xin n s)获利不少于获利不少于10000)即保险公司即保险公司(bo xin n s)获利不少于获利不少于10000元的概率在元的概率在98%以上以上1010000200030000 XPXP986305.0!55100 ekkk保险公司亏本的概率很小保险公司亏本的概率很小51405115 ekXPkk!)(000069.0 第55页/共61页第五十五页，共61页。5432115,)(kkkXP设随机变量设随机变量(su j bin lin)X的分布列为的分布列为，则，则P(X5)=P(X3)=P(2X3)=P(1/2X5/2)()(32 XPXP)()(5151 XPXP)()(21 XPXP)()(121 XPXP32311 541521511 31153152 51152151 第56页/共61页第五十六页，共61页。ee!2!12 4 XP 一电话一电话(dinhu)交换机每分钟呼唤的次数交换机每分钟呼唤的次数X服从参数服从参数为为的泊松分布，且已知的泊松分布，且已知PX=1=PX=2,求每分钟恰有求每分钟恰有4次呼唤的概率。次呼唤的概率。每分钟恰有每分钟恰有4次呼唤次呼唤(h hun)的概率为：的概率为：【解解】：已知已知PX=1=PX=2,22243242 ee!第57页/共61页第五十七页，共61页。.)(pXP951解解：由由313521 pp舍去，舍去，)()(111 YPYP95111122002 )()(pppC)()(111 XPXP300311)(ppC 的值的值求求若若已知已知,),3(),2(pBYpBX95)1(XP)1(YP31)(01 XP27193212 )()(01 YP第58页/共61页第五十八页，共61页。第59页/共61页第五十九页，共61页。第60页/共61页第六十页，共61页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第61页/共61页第六十一页，共61页。