§7 高斯公式与斯托克斯公式

第七节 Gauss 公式与 Stokes 公式一 Gauss 公式Green 公式建立了沿平面封闭曲线的线积分与二重积分的关系 . 类似地,沿空间闭曲面 的第二类曲面积分和三重积分之间也有类似的关系.下面的Gauss公式建立了这种关系.定理133(Gauss公式)设空间区域0由分片光滑的双侧封闭曲面工所围成.若函数P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在0上连续，且有一阶连续偏导数，则B!(生+学+ -)dv = JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy dx dy dz口JJJ(兰 + 翌 + 竺)dv = JJ (P cos a + Q cos B + R cos y)dS dxdydz口其中工是整个边界曲面的外侧,cos a ,cos B ,cos y是工上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦.y图 13-19证明 设闭曲面0在面xoy上的投影区域为D . xy工由S1,込,S 3三部分组成3： z二zZ，y)，s : z = z (x, y), S :是以D的边界曲线为准线而 223xy母线平行于z轴的驻面上的一部分，取外侧. 根据三重积分的计算法可得0dv = JJJ z2( x,y) dzdxdyz】(x, y) zD1xyJJRx,y,z(x,y)-Rx,y,z(x,y)dxdy.21Dxy根据曲面积分的计算法(S取下侧，S取上侧，S取外侧)可得123JJR(x,y,z)dxdy=-JJRx,y,z(x,y)dxdy,1S1Dxy1xyJJR(x,y,z)dxdy=JJRx,y,z(x,y)dxdy,252 Dxy2xyJJ R(x, y,z)dxdy = 0.于是53J!R(x, y, z)dxdy = JJ Rx, y, z (x, y) - Rx, y, z (x, y)dxdy,21工D因此BJ 竺 dvR (x, y, z) dxdy.。比a同理JJJdPdv =JJ P(x, y, z)dydz, 0 dxQJJJdQQ (x, y, z )dzdx,0 dy口合并以上三式可得JJJ (竺 + 匹 + 竺)dv JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy. dx dydz口由两类曲面积分之间的关系可知JJJ (些 + 翌 + 雲)dv =JJ (P cos a + Q cos P + R cos y) dS.证毕.dx dy dzgGauss 公式的实质: 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间 的关系.若Gauss公式中P = x,Q y,R = z,则有JJJ (1+1 + 1)dxdydz xdydz + ydzdx + zdxdy.。Q于是得到应用第二类曲面积分计算空间区域。的体积公式Q 的体积=丄 xdydz + ydzdx + zdxdy.3口例13.21计算曲面积分J!(x- y)dxdy + (y-z)xdydz,其中Y为柱面x2 + y2 1及平 Q面z 0, z 3所围成的空间闭区域0的整个边界曲面的外侧.解 对应于Gauss公式p = (y-z)x, Q = 0, R = x y,于是兰y - z,聖-0,dR - 0,dxdydz(x - y )dxdy + (y - z) xdydz = JJJ (y - z )dxdydzQ0JJJ (r sin 0 z) rdrd0 dz 罟0其中利用了柱面坐标变换. 例 13.22 计算JJ y(x - z)dydz + x2dzdx + (y2 + xz)dxdy,Q其中S是一顶点在坐标原点、侧面平行坐标面位于第一卦限的边长为a的正立方体表面并取 外侧.解 应用 Gauss 公式可得JJ y(x- z)dydz + x2dzdx + (y2 + xz)dxdyQddd(y(x - z) + 丁 (x2) + = (y2 + xz) dxdydz dxdydz訓 比L(y + z) dxdydz = JadzJadyJa(y+ x)dx000Q(1)a Ja ay + a 2 dy = a 2.0 V2丿例13.23设函数u(x, y,z)和v(x, y,z)在闭区域。上具有一阶及二阶连续偏导数，证明(du dv du dv du dv +V dx dx dy dy dz dz 丿QdvJJJ u Avdxdydz = JJ u dS - JJJ QQdndxdydz ,其中S是闭区域Q的整个边界曲面，为函数v(x, y, z)沿s的外法线方向的方向导数,dnd 2d 2d 2符号A =+,称为Laplace (拉普拉斯)算子.这个公式叫做Green第一公式.dx2 dy2dz 2证明 因为方向导数dv dvdvdv= cos a + cos p + cos y,dn dxdydz其中cos a、cos卩、cos丫是工在点(x,y,z)处的外法线向量的方向余弦。于是曲面积分u 注=JJu(竺 cos a +竺 cos p +竺 cos ysdnQ V dxdydz丿Q利用 Gauss 公式，即得 dv)u cos a + u cosV金丿V dy 丿cosy dS.J! u dvdS 口 dndx(du)u + u + uV dx 丿dyV dy 丿dz( dvdzdxdydzJuAvdxdydz + M理空 + 竺竺 + 竺竺 Idxdydz ,(dx dx dy dy dz dz 丿QQ将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式.二 通量与散度 下面来解释 Gauss 公式的物理意义.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1 )的速度场由A( x, y, z) = P (x, y, z )i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z )k给出，其中P, Q, R假定具有一阶连续偏导数,工是速度场中一片有向曲面，又n = cos ai + cos 卩 j + cos y k是工在点(x,y,z)处的单位法向量，由第13.5节可知，单位时间内流体经过工流向指定侧的 流体总质量可用曲面积分来表示=JJ Pdydz + Qdzdx+Rdxdy=ff A - ndS = JJA dS,n其中A = A n = Pcosa + Qcos卩+ Rcosy表示流体的速度向量v在有向曲面E的法向 n量上的投影.如果E是Gauss公式出(竺*翌*竺)dvdxdy dzQJJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy a闭区域Q的边界曲面的外侧，那么Gauss公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域Q的 流体的总质量.另一方面 假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开Q的同 时，Q内部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体来进行补充，因此Gauss公式左端 可解释为分布在Q内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量.由于A(x，y,z)是Q上的向量函数，对Q上每一点(x，y,z)，定义数量函数D (x, y, z)耳 + 导 + dR,dx dy dz称为向量函数A(x，y,z)在(x，y,z)处的散度(divergence),且记作D(x, y,z) = div A(x, y,z) .把 Gauss 公式改写成JJJdiv Adv=JJ AdS. 口 n以闭区域Q的体积V除上式两端可得-div Adv 二丄AdSV。V 口 n在q中任取一点(g,n,G,对上式中的三重积分应用中值定理，得(dP dQ dR 1 仃人*+上+=-H AdS ,(Qx dy dz 丿忆皿)V g n令Q缩到一点M(x, y, z),取上式的极限，得竺+匹+ QR =応丄J AdS.Qx Qy Qz qt m V n这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.divA(x,y,z)可以看作稳定流体的不可压缩 流体在点M(x, y, z)的源头强度，即在单位时间单位体积内所产生的流体质量.若divA(x,y,z) 0,说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点，则称这一点为源.相反，若divA(x, y, z) 0，说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇.若在向量场A中每一点皆 有divA = 0,则称 A 为无源场.例13.24 求向量场 A=(x2 + yz)i+(y2 +xz)j+(z2 +xy)k 的散度.解 P = x2 + yz, Q = y2 + xz, R = -z2 + xy, _QP QQ QRdzvA =+= 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z).Qx Qy Qz例13.25设u(x, y, z), v(x, y, z)是两个定义在闭区域Q上的具有二阶连续偏导数的函数，依次表示u(x,y,z),v(x,y,z)沿工的外法线方向的方向导数.证明BJ(u Av - vAu )dxdydz = JJQ口Qn QnQvQuu-vdS.QnQn 丿其中工是空间闭区域Q的整个边界曲面.这个公式叫做Green第二公式.证明 由第一 Green公式(例13.23)知屮(Q 2 v Q 2 v Q 2 v ) 7 7 7JJJ u + dxdydz( Qx2Qy2 Qz 2 丿dv1 dudvdu dvdu dv |,u dS I +dxdydz,dnV dxdxdy dydz dz 丿QHIdxdydzV2u d2Ud2U +dx2 dy2dz2 丿=JJ v 竺dS-JJJ口 dnQ将上面两个式子相减, 即得厂 d 2 v d 2 v d 2 v +V dx2dy2 dz 2 丿du dv du dv du dv V ,+Idxdydz, V dx dx dy dy dz dz 丿IIId 2 v d 2 vd 2 v 11dx2 dy 2dz 2 丿dxdydzf dv duu 一 V V dn dn 丿利用Gauss公式计算S所受的压力可得F = JJ (-p z cos a )dS = JJJ 0dv = 0, 3 (-p z cos 卩)dS =dS.=JJQ例13.26利用Gauss公式推证阿基米德原理：浸没在液体中的物体所受液体的压力的合 力(即浮力)的方向铅直向上, 其大小等于这物体所排开的液体的重力.证明 取液面为xoy面，z轴沿铅直向下，设液体的密度为p ,在物体表面S上取元素dS上一点，并设S在点(x, y, z)处的外法线的方向余弦为cos a ,cos卩,cos y ,则dS所受液 体的压力在坐标轴x, y,x上的分量分别为-p z cos a dS, 一 p z cos 卩,一 p z cos y ,UI 0dv = 0,SprF = JJ (-p z cos y )dS = JJJ (-p )dv = -p IQ I,z Qp其中I QI为物体的体积.因此在液体中的物体所受液体的压力的合力，其方向铅直向下，大小等于这物体排开液体的所受的重力, 即阿基米德原理得证.三 Stokes (斯托克斯)公式右手规则：设r是分段光滑的空间有向闭曲线,s是以r为边界的分片光滑的有向曲面, 当右手除拇指外的四指依r的绕行方向时，拇指所指的方向与s上法向量的指向相同.这 时称r是有向曲面s的正向边界曲线.Stokes公式是Green公式的推广.Green公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲 线上的曲线积分间的关系，而Stokes公式则把曲面S上的曲面积分与沿着S的边界曲线的 曲线积分联系起来. 下面的公式就叙述这种关系.定理13.4设r为分段光滑的空间有向闭曲线,s是以r为边界的分片光滑的有向曲面,r的正向与S的侧符合右手规则，函数P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在包含曲面S在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式JJ QRQQQPQRQQQP()dydz + () dzdx + () dxdyQyQzQzQxQxQys=J Pdx + Qdy + Rdz 0上式叫做Stokes公式.证明设工与平行于z轴的直线相交不多于一点， 并取上侧，有向曲线C为的正向边界曲线r在xoy的投影.且所围区域D .如右图.xy证 明 的 思 路 是 : 设 法 把 曲 面 积 分 JJQPdzdx QPdxdy化为闭区域D上的二重积分，然QxQyxys后通过Green公式使它与曲线积分相联系.根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系,有JJQPdzdx -巴 dxdy = JJ (QPdzdyQPcos P cos Y)dSQzQys(x, y) e D时，有向曲面工的法向量的方向余弦为 xyCOS a =,COSP =因此cos卩=-f cosY ,于是yJJQPdzdx QPdxdy = JJ(QP + QPf )cosydsQzQyQyQz yssJJ竺dzdx-竺dxdy = -JJ(+ QPf )dxdyQzQyQy Qz yss上式右端的曲面积分化为二重积分时，把P(x, y, z)中的z用f (x, y)来代替.因为由复合函数的微分法,有ddPQP-P x, y, f (x, y)=亍 + -fQyQyQzy所以, 我们得到(13-7-1)JJ dzdx dxdy = JJP x, y, f (x, y) dxdyQzQyQysDxy根据Green公式上式右端的二重积分可化为沿闭区域Dxy的边界C的曲线积分:-JJPx, y, f (x, y)dxdy = J Px, y, f (x, y)dxddyDDxy于是立即可得dPdPdzdx - dxdy =P x, y, f (x, y )dxs dzdy口因为函数PX, y,f (x, y)在曲线C上点(x,y)处的值与函数P(x, y,z)在曲线r上对应点(x, y, z)处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在x轴上的投影也一样,根据曲线积分的定义，上式右端的曲线积分等于曲线r上的曲线积分J P(x,y,z)dx.因此JJ%x 护 dxr(13-7-2)dxdy = J P(x, y, z)dx. 彷 Q同理可证dQdydz 二J Q(x, y, z)dy, n和z dzdx=于是立即可得dQ) dydz + (dP - dR )dzdx + (dQdzdz dxdx竺)dxdy = J Pdx + Qdy + Rdz. dygdy证毕.注：1.如果s取下侧，r也相应地改成相反的方向，那么(13-7-2)式两端同时改变符号, 因此(13-7-2)式仍成立.2. 如果曲面与平行于 z 轴的直线的交点多于一个, 则可作辅助曲线把曲面分成几部分, 然后应用公式(13-7-2)并相加. 因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消, 所以对于这一类曲面公式(13-7-2)也成立.3. 为了便于记忆，把Stokes公式写成dydz dzdx dxdyJJsddxPddyQddzJ Pdx + Qdy + Rdz or另一种形式cos adxPcos卩QQyQcosyddzRds = J Pdx + Qdy + Rdz D图 13-21于是图 13-22其中 n = cosa,cos 卩,cos y.4. Stokes 公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间 的关系.5. 当是xoy面的平面闭区域时,Stokes公式就变成Green公式.因此，格林公式是 Stokes 公式的一个特殊情形.例13.27计算曲线积分J zdx + xdy + ydz ,其中厂是平面x + y + z二1被三坐标面所截 成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量 之间符合右手规则.解 根据 Stokes 公式, 有J zdx + xdy + ydz = JJ dydz + dzdx + dxdy由于E的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知：13dx1不ddyz2 - x21羽ddzdsJJ (x + y + z )ds 3因为在工上x + y + z = 3,所以I = 。JJds = 2/3 JJ 囂 3dxdy =-.73 22zDxy例 13.29 利用 Stokes 公式计算 J ydx + zdy + xdz ,其中 r 为圆周 x2 + y2 + z2 = a2, orx + y + z = o,若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向.解 设工为平面x + y + z = 0上r所围成的部分，则工上侧的单位法向量为n = (cosa ,cos P ,cos y) = |,U3苗,于是J ydx + zdy + xdz = JJ13dx13冠zdS二- JJ dS 二/3k a 2 3这其中用到JJ dS表示工的面积，工是半径为a的圆.四 空间曲线与路径的无关性B.定理13.5设Ou3为空间单连通区域.若函数P, Q,R在Q上连续，且有一阶连续偏导数, 则以下四个条件是等价的:(1)对于O内任意按段光滑的圭寸闭曲线L有J Pdx + Qdy + Rdz = 0；(2) 对于对于。内任意按段光滑的封闭曲线1有J Pdx + Qdy + Rdzl与路径无关;(3) Pdx + Qdy + Rdz是O内某一函数u的全微分，即du = Pdx + Qdy + Rdz ；(4)dPdQdQdRdRdP=,=，= 在内处处成立.dydxczdydxcz该定理证明类似于定理的证明， 故略去. 例 13.30 验证曲线积分J (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dzL与路径无关，并求被积表达式的原函数U(x,y,z).解 由于p = y + z,Q = z + x,R = x + y,Cz 1,cP cQ cQ cR cR cPcycxczcycxu(x, y, z) = Jx (y + z )dx + Jy (z + x)dy + Jz (x + y)dz0 0 0x0y0z0二(y + z ) x (y + z ) x + (z + x) y0 0 0 0 0 0(z +x)y +(x+y)z(x+y)z0 0 0=xy + xz + yz + c ,其中C = xy xz yz是一个常数.若取M为原点，则0 0 0 0 0 0 0u(x, y, z) = xy + xz + yz .五 环流量与旋度环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) = P( x, y, z )i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z )k则沿场A中某一封闭的有界曲线C上的曲线积分一r = f A - ds = f Pdx + Qdy + RdzCDC称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.利用 Stokes 公式,有r = f a - dsDi=ffdxPkddzR-ds旋度的定义: 设向量场A( x, y, z) = P( x, y, z )i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z )k 在坐标轴上的投影为dRdQdpdRdQdPdydzdzdxdxdy的向量叫做向量场A的旋度，记作rot A,即前A =俘晋* + j dy dz 丿(dp dR).j j dz dx )dQ_ dP、 j dx dy 丿于是，可以写出Stokes公式的又一种形式-dRdQdPdRdQdPff ( )cos a + ( )cos 卩 + ( )cos ydS艺 dydzdzdxdxdy=f (P cos 九 + Q cos p + R cow)dsQ其中工的单位法向量为n = cos a i + cos卩j + cos y k , r的单位切向量为t = cos九i + cos卩j + cosv k .这样我们又可得Stokes公式的向量形式ff rotA - ndS = f A - tds 或 ff (rotA) dS = f Ads Ir z 口 t其中 (rotA) = rotA n =(竺-聖)cos a + (竺竺)cos 卩+ (匹-竺)cos 丫 , nQyQzQzQxQxQyA = An = Pcos久匚Qcos卩 + Rcosv . 所以tr = U rotA ds = f Ads口 t现在,Stokes公式可叙述为：向量场A沿有向闭曲线r的环流量等于向量场A的旋度场 通过r所张的曲面的通量.（r的正向与X的侧符合右手法则）习题 13.71. 利用 Gauss 公式计算下列曲面积分:(1) JJ x2dydz + y2dzdx + z2dxdy.其中 X 为平面x = 0, y = 0, z = 0,x = a, y = a, z = a a所围的立体的表面的外侧.(2) JJ xz 2 dydz + (x 2 y - z 3)dzdx + (2 xy + y 2 z )dxdy . 其中 X 为上 半球体 Q2 x2 - y2的表面外侧.x2 + y 2 a2 ,0 z (3) x3dydz + y3dzdx + z3dxdy .其中 X 是单位球面x2 + y2 + z2 = 1 的外侧. 才yzdydz + zxdzdx + xydxdy.其中X是单位球面x2 + y2 + z2 = 1的外侧.(5) R x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy .其中X是锥面x2 + y2 = z2与平面z = h所围成的空间 区域(0 z h)的表面，方向取外侧.x2y2 z 22-利用Gauss公式计算椭球面怎+b2+石=1所围区域的体积.3.设某种流体的速度为v = xi + yj + zk ,求单位时间内流体流过曲面X: y = x2 + z2 (0 y 0, y 0, 0 z 1与x2 + y2 1所确定的空间区域.(x 2 + y 2 + z 2)3/25-计算右泄-其中X为一封闭曲面的外侧（曲面不经过坐标原点）.6. 应用 Stokes 公式计算下列积分:f (2y + z)dx + (x- z)dy + (y - x)dz .其中工为平面x + y + z = 1与各坐标面的交线, Q取逆时针方向为正向. f (y2 + z 2)dx + (x2 + z 2)dy + (x2 + y2)dz,其中 L 为 x + y + z = 1 与三个坐标面的交 线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧. f (z- y)dx + (x-z)dy + (y-z)dz .其中 L 为以 A(a,0,0) ,B(0,a,0) , C(0,0, a)为顶 Q点的三角形沿ABCA的方向.I x 2 + y 2 = a 2J x2y3dx + dy + zdz .其中L为圆：，且从z轴正向看去取逆时针方向.口I z = 0I x 2 + y 2 = 4 y(5) yzdx + 3哋-g .其中L是曲线3 y - z + 1 = O且从z轴正向看去取逆时针方向.7. 证明沿曲线AB的曲线积分f (3x2 - y + z2)dx + (-x + 4y3)dy + 2xzdz与路径无关，只AB与起点A和终点B有关.并求原函数.8. 计算 f(x2- y 3 d(2 y-x znd y- z). x其中 zL为由点A(a, 0 ,0至点LhB ( a, o, /的螺线 x = a cos p , y = a sin 申,z = 申(0 2 兀). 2兀9.证明：由曲面工所围成的立体V的体积等于V = - JJ (x cos a + y cos 卩 + z cos y )dS其中cos a ,cos卩,cosy为曲面工的外法线方向余弦.1. (1). 3a42(2).兀 a5参考答案(3). a4 (4). 0 (5)2.兀abc33兀h 43. 24.11245.当曲面工不包围含坐标原点时，积分0 ;当曲面工包围坐标原点时，积分为4兀6. (1). 2(2). 0(3). 3a2(4) -兀a6(5)8兀7. u(x,y,z)= x3 -xy+ y4 +xz2 +C18.提示：此积分与路径无关，积分值为3 h3