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综合能力训练综合能力训练第63页第卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设集合A=x|x2-2x0,则AB=()A.(-,1)B.(2,+)C.RD.(1,2)答案:D解析:A=x|x2-2x0=x|0x0=x|x-10=(1,+),AB=(1,2).故选D.2.已知直线x+y=1与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点.若OAOB,则OAB的面积为()A.1B.52C.5D.2答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+p2+2p,x1=1+p-p2+2p,y2=-p-p2+2p,x2=1+p+p2+2p.由OAOB得,x1x2+y1y2=0,即(1+p)2-(p2+2p)+p2-(p2+2p)=0,化简得2p=1,从而A3-52,-1+52,B3+52,-1-52,|OA|2=x12+y12=5-25,|OB|2=x22+y22=5+25,OAB的面积S=12|OA|OB|=52.故选B.3.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bc0时,f(x)0,f(x)0.当x0时,g(x)=f(x)+xf(x)0恒成立,g(x)在区间(0,+)内单调递增.2log25.13,120.82,20.8log25.13.结合函数g(x)的性质得ba0)在区间0,上的值域为-12,1,则的最小值为()A.23B.34C.43D.32答案:A解析:0x,-6x-6-6.f(x)在区间0,上的值域为-12,1,f(0)=sin-6=-12,2k+2-62k+56,kZ,整理得2k+230,最小值为23,故选A.5.某地实行“3+2+1”模式,即“3”指语文、数学、外语三门必考科目,“1”指从物理、历史两门科目中必选一门,“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科,则一名学生的不同选科组合有()A.8种B.12种C.16种D.20种答案:C解析:若这名学生只选物理和历史中的一门,则有C21C42=12种组合;若这名学生物理和历史都选,则有C41=4种组合;因此共有12+4=16种组合.故选C.6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率是()A.52B.62C.103D.2答案:A解析:设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2).由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=1,b2a2=14,e2=1+b2a2=54.e=52.故选A.7.已知函数f(x)=sin(x2),-1x0,b0)的左焦点为F,A,B分别是双曲线C的左、右顶点,P为C上一点,且PFx轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E,直线BM与y轴交于点N.若OE=2NO(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为.答案:3解析:因为PFx轴,所以设M(-c,t).因为A(-a,0),B(a,0),所以AE的斜率k=ta-c,则AE的方程为y=ta-c(x+a),令x=0,得y=taa-c,即E0,taa-c.因为BN的斜率为-ta+c,所以BN的方程为y=-ta+c(x-a).令x=0,则y=taa+c,即N0,taa+c,因为|OE|=2|ON|,所以2taa+c=taa-c,即2(c-a)=c+a,即c=3a,则离心率e=ca=3.故答案为3.14.已知a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;直线AB与a所成角的最小值为45;直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是.(填序号)答案:解析:由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由ACa,ACb,得AC圆锥底面,在底面内可以过点B,作BDa,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DEBD,DEb.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=2,当直线AB与a成60角时,ABD=60,故BD=2.又在RtBDE中,BE=2,DE=2,过点B作BFDE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=2,ABF为等边三角形,ABF=60,即AB与b成60角,正确,错误.由最小角定理可知正确;很明显,可以满足直线a平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90,错误.故正确的说法为.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=23,且(23+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)求ABC的面积的最大值.解:(1)a=23,且(23+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,利用正弦定理,得a2-b2=c2-bc,即cosA=b2+c2-a22bc=12.0A,A=3.(2)由于a=23,A=3,a2=b2+c2-2bccosA,即12=b2+c2-bc2bc-bc=bc,当且仅当b=c时,等号成立.SABC=12bcsinA121232=33.当且仅当b=c时,ABC的面积取最大值33.16.(13分)设an是等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是等比数列,a1=-3,S5=5,b1=a4,b1+b3=3(b2+1).(1)求数列an和数列bn的通项公式;(2)设cn=anbn,记Tn=c1+c2+c3+cn,求Tn.解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知得S5=5a1+542d=5,即a1+2d=1.又a1=-3,所以d=2.所以an=2n-5.因为b1=a4=3,b1+b3=3(b2+1),所以3(1+q2)=3(3q+1),即q=3(q=0不符合题意,舍去).所以bn=33n-1=3n.所以an和bn的通项公式分别为an=2n-5,bn=3n.(2)由(1)知,cn=2n-53n,所以Tn=-33+-132+133+2n-53n,13Tn=-332+-133+2n-73n+2n-53n+1,上述两式相减,得23Tn=-33+232+23n-2n-53n+1=-1+2132-13n+11-13-2n-53n+1=-1+13-13n-2n-53n+1=-23-2n-23n+1.故Tn=-1-n-13n.17.(13分)(2019天津和平区第二次质量调查)如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,ADCD,ABCD,AB=AD=12CD=1,点M在线段EC上.(1)若点M为EC的中点,求证:BM平面ADEF;(2)求证:平面BDE平面BEC;(3)当平面BDM与平面ABF所成二面角的余弦值为66时,求AM的长.(1)证明正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD为交线,ED平面ABCD,由已知得DA,DE,DC两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,可得D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,0,1),F(1,0,1).由M为EC的中点,知M0,1,12,故BM=-1,0,12.易知平面ADEF的法向量为DC=(0,2,0).BMDC=0,BMDC.BM平面ADEF,BM平面ADEF.(2)证明由(1)知BE=(-1,-1,1),BC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0).设平面BDE的法向量为m=(x1,y1,z1),平面BEC的法向量为n=(x2,y2,z2),由mBE=-x1-y1+z1=0,mBD=-x1-y1=0,得z1=0.令x1=1,得m=(1,-1,0).由nBE=-x2-y2+z2=0,nBC=-x2+y2=0,令x2=1,得n=(1,1,2).mn=1-1+0=0,故平面BDE平面BEC.(3)解设EM=EC,0,1,设M(x,y,z),计算可得M(0,2,1-),则BM=(-1,2-1,1-),BD=(-1,-1,0),设平面BDM的法向量为p=(x3,y3,z3).由pBD=-x3-y3=0,pBM=-x3+(2-1)y3+(1-)z3=0,令x3=1,得p=1,-1,21-.易知平面ABF的法向量为DA=(1,0,0),由已知得|cos|=|pDA|p|DA|=12+21-21=66,解得=12,此时M0,1,12.AM=-1,1,12,|AM|=1+1+14=32,即AM的长为32.18.(13分)(2019湖南师大附中模拟)在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中,有6位参赛选手(1号至6号)登台演出,由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手,各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人,其中甲同学是1号选手的同班同学,必选1号,另在2号至6号选手中随机选2名;乙同学不欣赏2号选手,必不选2号,在其他5位选手中随机选出3名;丙同学对6位选手的演唱没有偏爱,因此在1号至6号选手中随机选出3名.(1)求同学甲选中3号选手且同学乙未选中3号选手的概率;(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X,求X的分布列和数学期望.解:设A表示事件“甲同学选中3号选手”,B表示事件“乙同学选中3号选手”,C表示事件“丙同学选中3号选手”.(1)因为P(A)=C41C52=25,P(B)=C42C53=35,所以P(AB)=P(A)P(B)=251-35=425.(2)因为P(C)=C52C63=12,所以X可能的取值为0,1,2,3,P(X=0)=P(ABC)=1-251-351-12=352512=325,P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=252512+353512+352512=1950,P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=253512+252512+353512=1950,P(X=3)=P(ABC)=253512=325.所以X的分布列为X0123P32519501950325X的数学期望E(X)=0325+11950+21950+3325=32.19.(14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:|NF1|MF1|为定值.(1)解2c=a=4,c=2,b=23.椭圆C的标准方程为x216+y212=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为x0x16+y0y12=1,直线F1P的斜率kF1P=y0x0+2,则直线MF1的斜率kMF1=-x0+2y0,直线MF1的方程为y=-x0+2y0(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2),联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,yM),N(-2,yN),点N在切线MP上,由式得yN=3(x0+8)2y0,点M在直线MF1上,由式得yM=6(x0+2)y0,|NF1|2=yN2=9(x0+8)24y02,|MF1|2=(-2)-(-8)2+yM2=36y02+(x0+2)2y02,故|NF1|2|MF1|2=9(x0+8)24y02y0236y02+(x0+2)2=116(x0+8)2y02+(x0+2)2,注意到点P在椭圆C上,即x0216+y0212=1,于是y02=48-3x024,代入式并整理得|NF1|2|MF1|2=14,故|NF1|MF1|的值为定值12.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+a2x2-x(a0).(1)若f(x)0对x(0,+)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:nN*,e1+1n21+2n21+nn2e.(1)解f(x)=ln(1+x)+a2x2-x,其定义域为(-1,+),f(x)=11+x+ax-1=x(ax+a-1)1+x.当a=0时,f(x)=-x1+x,当x(0,+)时,f(x)0,则f(x)在区间(0,+)内单调递减,此时,f(x)f(0)=0,不符合题意.当0a0,当x0,1-aa时,f(x)0,则f(x)在区间0,1-aa内单调递减,此时,f(x)0,则f(x)在区间(0,+)内单调递增,此时,f(x)f(0)=0,符合题意.当a1时,令f(x)=0,得x1=0,x2=1-aa0,则f(x)在区间(0,+)内单调递增,此时,f(x)f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为1,+).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)0对x(0,+)都成立,即ln(1+x)x对x(0,+)都成立,ln1+1n2+ln1+2n2+ln1+nn21n2+2n2+nn2,即ln1+1n21+2n21+nn21+2+nn2=n+12n.由于nN*,则n+12n=12+12n12+121=1.ln1+1n21+2n21+nn21.1+1n21+2n21+nn20对x(0,+)都成立,即x-12x2ln(1+x)对x(0,+)都成立,1n2+2n2+nn2-1212n4+22n4+n2n4ln1+1n2+ln1+2n2+ln1+nn2,即n(n+1)2n2-12n(n+1)(2n+1)6n4ln1+1n21+2n21+nn2,得6n3+4n2-3n-112n3ln1+1n21+2n21+nn2.由于nN*,则6n3+4n2-3n-112n3=6n3+(3n2-3n)+(n2-1)12n36n312n3=12.12ln1+1n21+2n21+nn2.e1+1n21+2n21+nn2.e1+1n21+2n21+nn2e.14
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