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考点规范练33直线、平面平行的判定与性质一、基础巩固1.对于空间的两条直线m,n和一个平面,下列命题中的真命题是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,n,则mnD.若m,n,则mn2.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形的序号是()A.B.C.D.3.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AEEB=CFFB=12,则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定4.平面平面的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a,aB.存在一条直线a,a,aC.存在两条平行直线a,b,a,b,a,bD.存在两条异面直线a,b,a,b,a,b5.已知平面和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是()A.如果m,n,m,n是异面直线,那么nB.如果m,n与相交,那么m,n是异面直线C.如果m,n,m,n共面,那么mnD.如果m,nm,那么n6.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若ml,且m,则l;若=l,=m,=n,则lmn;若=m,=l,=n,且n,则lm.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.47.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.8.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,设D是A1C1上的点,且A1B平面B1CD,则A1DDC1的值为.9.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件时,有平面D1BQ平面PAO.10.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证:MA平面BDE.(2)若平面ADM平面BDE=l,平面ABM平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:在AC上是否存在点F,满足EF平面A1ABB1?若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.二、能力提升12.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.1313.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:没有水的部分始终呈棱柱形;水面EFGH所在四边形的面积为定值;棱A1D1始终与水面所在平面平行;当容器倾斜如图所示时,BEBF是定值.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.414.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BCAC,BAC=3,AC=4,M为AA1的中点,点P为BM的中点,Q在线段CA1上,且A1Q=3QC,则PQ的长度为.15.如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD, PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.三、高考预测16.如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD, PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.考点规范练33直线、平面平行的判定与性质1.D解析对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.2.C解析对于图形,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB平面MNP;对于图形,ABPN,即可得到AB平面MNP;图形无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.3.A解析如图,由AEEB=CFFB,得ACEF.又因为EF平面DEF,AC平面DEF,所以AC平面DEF.4.D解析若=l,al,a,a,则a,a,故排除A.若=l,a,al,则a,故排除B.若=l,a,al,b,bl,则a,b,故排除C.选D.5.C解析如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;如图(3),m,n是内的任意直线,都有nm,故D错.n,n与无公共点,m,n与m无公共点,又m,n共面,mn,故选C.6.B解析对,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故正确;对,直线l可能在平面内,故错误;对,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故错误;对,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上正确.故选B.7.6解析过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.8.1解析设BC1B1C=O,连接OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CD=OD,A1BOD.四边形BCC1B1是菱形,O为BC1的中点,D为A1C1的中点,则A1DDC1=1.9.Q为CC1的中点解析如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QBPA.连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1BPO.又D1B平面PAO,QB平面PAO,所以D1B平面PAO,QB平面PAO.又D1BQB=B,所以平面D1BQ平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ平面PAO.10. (1)证明如图,记AC与BD的交点为O,连接OE.因为O,M分别是AC,EF的中点,四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形,所以AMOE.又因为OE平面BDE,AM平面BDE,所以AM平面BDE.(2)解lm.证明如下:由(1)知AM平面BDE,又AM平面ADM,平面ADM平面BDE=l,所以lAM.同理,AM平面BDE,又AM平面ABM,平面ABM平面BDE=m,所以mAM,所以lm.11.解法一当AF=3FC时,FE平面A1ABB1.证明如下:在平面A1B1C1内过点E作EGA1C1交A1B1于点G,连接AG.因为B1E=3EC1,所以EG=34A1C1.又因为AFA1C1,且AF=34A1C1,所以AFEG,所以四边形AFEG为平行四边形,所以EFAG.又因为EF平面A1ABB1,AG平面A1ABB1,所以EF平面A1ABB1.解法二当AF=3FC时,EF平面A1ABB1.证明如下:在平面BCC1B1内过点E作EGBB1交BC于点G,因为EGBB1,EG平面A1ABB1,BB1平面A1ABB1,所以EG平面A1ABB1.因为B1E=3EC1,所以BG=3GC,所以FGAB.又因为AB平面A1ABB1,FG平面A1ABB1,所以FG平面A1ABB1.又因为EG平面EFG,FG平面EFG,EGFG=G,所以平面EFG平面A1ABB1.因为EF平面EFG,所以EF平面A1ABB1.12.A解析(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C为正三角形,B1D1C=60,m,n所成的角的正弦值为32.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值为32.13.C解析由题图,显然是正确的,是错误的;对于,A1D1BC,BCFG,A1D1FG,且A1D1平面EFGH,FG平面EFGH,A1D1平面EFGH(水面).是正确的;对于,水是定量的(定体积V),SBEFBC=V,即12BEBFBC=V.BEBF=2VBC(定值),即是正确的,故选C.14.13解析由题意知,AB=8,过点P作PDAB交AA1于点D,连接DQ,则D为AM的中点,PD=12AB=4.又因为A1QQC=A1DAD=3,所以DQAC,PDQ=3,DQ=34AC=3,在PDQ中,PQ=42+32-243cos3=13.15.(1)证明如图,设PA的中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA的中点,所以EFAD,且EF=12AD,又因为BCAD,BC=12AD,所以EFBC,且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF.因此CE平面PAB.(2)解分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.在平行四边形BCEF中,MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点得BNAD.所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN,那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14,在RtMQH中,QH=14,MQ=2,所以sinQMH=28.所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28.16.(1)证明M,N分别为PD,AD的中点,MNPA.又MN平面PAB,PA平面PAB,MN平面PAB.在RtACD中,CAD=60,CN=AN,ACN=60.又BAC=60,CNAB.CN平面PAB,AB平面PAB,CN平面PAB.CNMN=N,CN,MN平面CMN,平面CMN平面PAB.(2)解由(1)知,平面CMN平面PAB,点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.由已知得,AB=1,ABC=90,BAC=60,BC=3,三棱锥P-ABM的体积V=V三棱锥M-PAB=V三棱锥C-PAB=V三棱锥P-ABC=1312132=33.11
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