（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题六 计数原理与古典概率 第2讲 古典概率与离散型随机变量的分布列、均值和方差专题强化训练

第2讲 古典概率与离散型随机变量的分布列、均值和方差专题强化训练基础达标1某同学求得一离散型随机变量的分布列为X012P0.20.33a1则a的值为()A0.3B0.4C0.5D0.6解析：选C.由分布列性质得0.20.33a11，所以a0.5，故选C.2袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取出白球的概率为()A. B. C. D.解析：选A.从15个球中任取一球有15种取法，取出白球有6种，所以取出白球的概率P.3设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0 B. C. D.解析：选C.设X的分布列为X01Pp2p即“X0”表示试验失败，“X1”表示试验成功，由p2p1，得p，故应选C.4(2019嘉兴市一中高考适应性考试)随机变量X的分布列如下表，且E(X)2，则D(2X3)()X02aPpA.2 B3 C4 D5解析：选C.由题意可得：p1，解得p，因为E(X)2，所以02a2，解得a3.D(X)(02)2(22)2(32)21.D(2X3)4D(X)4.故选C.5若随机变量X的分布列为，其中C为常数，则下列结论正确的是()AE(X)D(X)0 BE(X)C，D(X)0CE(X)0，D(X)C DE(X)D(X)C解析：选B.E(X)C1C，D(X)(E(X)C)210，故选B.6设随机变量Y的分布列如下表：Y123Pm则“Y”的概率为()A. B.C. D.解析：选C.依题意知，m1，则m.故PP(Y2)P(Y3).7已知M1，2，3，4，若aM，bM，则函数f(x)ax3bx2x3在R上为增函数的概率是()A. B. C. D.解析：选A.记事件A为“函数f(x)ax3bx2x3在R上为增函数”因为f(x)ax3bx2x3，所以f(x)3ax22bx1.当函数f(x)在R上为增函数时，f(x)0在R上恒成立又a0，所以(2b)243a4b212a0在R上恒成立，即a.当b1时，有a，故a可取1，2，3，4，共4个数；当b2时，有a，故a可取2，3，4，共3个数；当b3时，有a3，故a可取3，4，共2个数；当b4时，有a，故a无值可取综上，事件A包含的基本事件有4329(个)又a, b1，2，3，4，所以所有的基本事件共有4416(个)故所求事件A的概率为P(A).故选A.8一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c(0，1)已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A. B. C. D.解析：选A.由题意知该运动员投篮一次得分的数学期望为E0c2b3a3a2b2.由均值不等式知3a2b2，所以22，即ab.9一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记，该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，即未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b，c0，1)，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当取最小值时，c的值为()A. B. C. D0解析：选A.由该运动员一次射箭射中环数的期望为9环得10a9b9，所以10，当且仅当，即a9b时，取得最小值，解得此时c1ab1.10体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)，则p的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C.由已知条件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，则E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p3，解得p或p，又由p(0, 1)可得p(0，)11(2019浙江新高考联盟联考)已知随机变量X的分布列是：X012Pm则m_，E(X)_解析：因为m1，所以m.所以E(X)012.答案：12(2019浙江新高考冲刺卷)某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为_，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为_解析：设“选出的3名同学是来自互不相同班级”为事件A，则P(A).随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(Xk)(k0，1，2，3)所以随机变量X的分布列是：X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.答案：13从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有_种，记取出的4只鞋子中成双的鞋子对数为X，则随机变量X的数学期望E(X)_解析：从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有CCCC48.X0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列为：X012PE(X)012.答案：4814随机变量的分布列如下表：101Pabc其中a，b，c成等差数列若E()，则D()的值是_解析：由题意可得解得所以D().答案：15已知集合M1，2，3，4，N(a，b)|aM，bM，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与抛物线yx21有交点的概率是_解析：易知过点(0，0)与抛物线yx21相切的直线为y2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P.答案：16将两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望E()_解析：将两封信投入A，B，C三个空邮箱，投法种数是329，A中没有信的投法种数是224，概率为；A中仅有一封信的投法种数是C24，概率为；A中有两封信的投法种数是1，概率为.故A邮箱的信件数的数学期望E()012.答案：17(2019温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是_，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则P(Xk)取最大值时，k的值为_解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：nCC45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以P(Xk)取最大值时，k的值为2.答案：45218(2019湖州市高三期末考试)袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3个球颜色不全相同”(1)若每次取球后不放回，分别求出事件A和事件B的概率(用数字作答)；(2)若每次取球后放回，分别求出事件A和事件B的概率(用数字作答)解：(1)袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3个球颜色不全相同”，每次取后不放回，基本事件总数n987504，事件A包含的基本事件个数mA3216，事件B的对立事件是“3个球颜色全相同”，所以事件A的概率P(A)事件B的概率P(B)1.(2)每次取后放回，基本事件总数n999729，事件A包含的基本事件个数mA33327，事件B的对立事件是“3个球颜色全相同”，所以事件A的概率P(A).事件B的概率P(B)1.19(2019浙江金华十校期末调研)甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动，活动规则：依次闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；每人最多闯3关；闯第一关得10分，闯第二关得20分，闯第三关得30分，一关都没过则没有得分已知甲每次闯关成功的概率为，乙每次闯关成功的概率为.(1)设乙的得分总数为，求的分布列和数学期望；(2)求甲恰好比乙多30分的概率解：(1)的取值为0，10，30，60.P(0)1，P(10)(1)，P(30)(1)，P(60)()3.则的分布列如下表：0103060PE()0103060.(2)设甲恰好比乙多30分为事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B1，甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B2，则AB1B2，B1、B2为互斥事件P(A)P(B1B2)P(B1)P(B2)()2()3.所以，甲恰好比乙多30分的概率为.能力提升1某射击运动员在一次射击比赛中所得环数的分布列如下：3456Px0.10.3y已知的均值E()4.3，则y的值为()A0.6 B0.4 C0.2 D0.1解析：选C.由题意知，x0.10.3y1，又E()3x40.150.36y4.3，两式联立解得y0.2.2若p为非负实数，随机变量的分布列为012Ppp则E()的最大值为()A1 B.C. D2解析：选B.由，得0p，E()p1.3设随机变量X的分布列为P(Xk)(k2，4，6，8，10)，则D(X)等于()A5 B8C10 D16解析：选B.因为E(X)(246810)6，所以D(X)(4)2(2)20222428.4已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)0，D(X)1，则a，b的值分别为()X1012PabcA.， B.，C.， D.，解析：选A.由题意知abc，ac0，(1)2a12c221，解得a，b.5设掷1枚骰子的点数为，则()AE()3.5，D()3.52BE()3.5，D()CE()3.5，D()3.5DE()3.5，D()解析：选B.随机变量的分布列为123456P从而E()1234563.5，D()(13.5)2(23.5)2(33.5)2(43.5)2(53.5)2(63.5)2.6如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)()A. B.C. D.解析：选B.依题意得X的取值可能为0，1，2，3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故E(X)0123.7(2019杭州高考二模)已知随机变量的概率分布列为：012P则E()_，D()_解析：由随机变量的概率分布列，知E()0121，D()(01)2(11)2(21)2.答案：18在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为_解析：X的所有可能值为0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以X的分布列为X012P答案：X012P9.在集合A2，3中随机取一个元素m，在集合B1，2，3中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2y29内部的概率为_解析：点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这2种情况满足在圆x2y29内部，所以所求概率为.答案：10一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a，b，c(0，1)，已知他投篮得分的数学期望是2，则的最小值为_解析：由数学期望的定义可知3a2b2，所以(3a2b)，当且仅当即a，b时取得等号答案：11在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()1P(E).(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P11P2.12小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28(种)，当X0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X0).(2)两向量数量积X的所有可能取值为2，1，0，1，X2时，有2种情形；X1时，有8种情形；X1时，有10种情形所以X的分布列为X2101P13.某小组共10人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望与方差解：(1)由已知，有P(A).所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以，随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学期望E(X)0121.方差D(X)(01)2(11)2(21)2.14袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求a，b的值解：(1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为X01234P所以E(X)012341.5，D(X)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D(Y)a2D(X)得2.75a211，得a2，又E(Y)aE(X)b，所以当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4，所以或- 13 -