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2.5 对数与对数函数核心考点精准研析考点一对数式的化简与求值 1.(2019北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 ()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.12.(2020深圳模拟)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=()A.-1B.1C.2D.43.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2xlogm215logm563y2x0,且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.(4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式.考点二对数函数的图象及其应用【典例】1.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,且a1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a1,c1 B.a1,0c1C.0a1 D.0a1,0c0,且a1)的图象可能是()3.已知函数f(x)=g(x)=log2x,则f(x)与g(x)两函数图象的交点个数为_.【解题导思】序号联想解题1由图象是下降的,想到对数的底数0a12由y=与y=loga,想到指数函数与对数函数的图象3由两函数图象的交点个数,想到画出两个函数的图象【解析】1.选D.由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0a0,即logac0,所以0c1.2.选D.当0a1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=loga的图象过定点且单调递增,各选项均不符合.3.如图,函数g(x)的图象与函数f(x)的图象交于两点,且均在函数y=8x-8(x1)的图象上.答案:21.应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.2.对数函数图象的规律在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a0,a1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()A.0a-1b1B.0ba-11C.0b-1a1D.0a-1b-11.函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),由函数图象可知-1logab0,即logaa-1logabloga1,所以a-1b1.综上有0a-1b1.2.(2020北京模拟)已知函数f(x)=2x(x0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.(-,2)B.(-,e)C.(2,e)D.(e,+)【解析】选B.在同一直角坐标系中作出函数f(x)=2x(x0)个单位长度,恰好过(0,1)时,函数f(x)与g(x)就不存在关于y轴对称的点,所以0ae,当y=ln x向右平移|a|(a0)个单位长度,函数f(x)与g(x)总存在关于y轴对称的点,当a=0时,显然满足题意,综上:ae.考点三对数函数的性质及其应用命题精解读考什么:(1)求对数函数的单调性,利用对数函数的单调性比较大小、求值或解不等式、求参数值等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.怎么考:对数函数奇偶性、单调性,函数的周期性以及对称性等知识单独或交汇考查,也可能以分段函数的形式呈现.新趋势:对数函数的图象与对称性、交点个数、不等式交汇考查.学霸好方法1.比较对数式的大小的方法(1)能化成同底数的先化成同底对数值,再利用单调性比较大小.(2)不能化成同底数的,一般引入“1”“0”“-1”等中间量比较大小.(3)在研究对数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.2.对数函数单调性的判断(1)求单调区间必须先求定义域.(2)根据对数的底数a进行判断,0a1时为增函数.(3)对数型函数的单调性根据复合函数“同增异减”进行判断.比较大小问题【典例】(2019全国卷)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca【解析】选B.a=log20.220=1,00.20.30.20=1,则0c1,所以acb.如何比较指数式与对数式的大小?提示:数形结合或找中间量(如1,0,-1等),再结合函数单调性比较大小.与对数函数有关的不等式问题【典例】当0x时,4xlogax,则a的取值范围是()A.B.C.(1,) D.(,2)【解析】选B.由题意知0a2,解得a,所以a1.一边为指数式,另一边为对数的不等式如何求解?提示:将两边分别看成一个函数,画出两个函数的图象,结合图象的交点求解.对数函数性质的综合应用【典例】已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.f(x)的图象关于直线x=1对称D.f(x)的图象关于点(1,0)对称【解析】选C.由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确,D错误;又f(x)=-=(0x2),在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,A,B错误.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选C.由题意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定义域为(0,2),f(x)=+=,由得0x1;由得1x2,所以函数f(x)=ln x+ln(2-x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A,B;又f=ln+ln=ln,f=ln+ln=ln,所以f=f=ln,所以排除D.如何求解对数函数性质的综合问题?提示:认真联想对数函数的各个性质的定义及其作用,在其交汇点处寻找突破口.1.已知函数f(x)=loga|x|在(0,+)上单调递增,则f(-2)_f(a+1).(填“”)【解析】因为f(x)=loga|x|在(0,+)上单调递增,所以a1,所以a+12.因为f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2)f(a+1).答案:2.(2019潍坊模拟)已知函数f(x)=若f(2-a)=1,则f(a)=_.【解析】当2-a0时,f(2-a)=-log2(1+a)=1.解得a=-,不合题意.当2-a2,即a0时,f(2-a)=2-a-1=1,即2-a=2,解得a=-1,所以f(a)=f(-1)=-log24=-2.答案:-21.(2019绵阳模拟)若x,y,zR+,且3x=4y=12z,(n,n+1),nN,则n的值是()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.设3x=4y=12z=t(t1),则x=log3t,y=log4t,z=log12t,所以=+=log312+log412=2+log34+log43.因为1log342,0log431,所以1log34+log432=2,所以42+log34+log435,即(4,5).所以n=4.2.(2020扬州模拟)设f(x)=a=0.7-0.5,b=log0.50.7,c=log0.75,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为_.【解析】当x0时,f(x)=x+1是单调增函数,所以有f(x)f(0)=1,当x0时,f(x)=-x2-1是单调增函数,所以有f(x)0.70=1,0=log0.51log0.50.7log0.50.5=1,c=log0.751,0b1,cbc,而函数f(x)是R上的增函数,所以f(a),f(b),f(c)的大小关系为f(a)f(b)f(c).答案:f(a)f(b)f(c)9
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