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素养提升练(一)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019辽宁马鞍山一中三模)设集合Mx|x22x30，Nx|2x2，则M(RN)等于()A1,1 B(1,0)C1,3) D(0,1)答案C解析由Mx|x22x30x|1x3，又Nx|2x2x|x1，全集UR，所以RNx|x1所以M(RN)x|1x3x|x11,3)故选C.2(2019江西师大附中三模)已知i为虚数单位，复数z满足(2i)z32i，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析复数z满足(2i)z32i，z，则z在复平面内对应的点为，在第一象限故选A.3(2019全国卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()A. B2 C5 D50答案A解析ab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab|.故选A.4(2019咸阳二模)已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为()A. B.C. D.答案B解析甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为，且三人录取结果相互之间没有影响，他们三人中至少有一人被录取的对立事件是三人都没有被录取，他们三人中至少有一人被录取的概率为P1.故选B.5(2019全国卷)函数y在6,6的图象大致为()答案B解析yf (x)，x6,6，f (x)f (x)，f (x)是奇函数，排除C.当x4时，y(7,8)，排除A，D.故选B.6(2019三明一中二模)如图是某个几何体的三视图，根据图中数据(单位：cm)求得该几何体的表面积是()A. cm2 B. cm2C. cm2 D. cm2答案A解析由三视图可以看出，该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体所以该几何体的表面积为2(121520)43233294.故选A.7(2019咸阳一模)执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为b，则过定点(4,2)的直线l与圆(xb)2y216截得的最短弦长为()A4 B2C. D2答案A解析模拟程序的运行，可得k1，S1，S1，不满足条件S6，执行循环体，k2，S2，不满足条件S6，执行循环体，k3，S6，不满足条件S6，执行循环体，k4，S15，满足条件S6，退出循环输出k的值为4，即b4，由题意过圆内定点P(4,2)的弦，只有和PC(C是圆心)垂直时才最短，定点P(4,2)是弦|AB|的中点，由勾股定理得，|AB|24.故选A.8(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n答案A解析设首项为a1，公差为d.由S40，a55可得解得所以an32(n1)2n5，Snn(3)2n24n.故选A.9(2019湖南百所重点中学诊测)若变量x，y满足约束条件且a(6,3)，则z仅在点A处取得最大值的概率为()A. B. C. D.答案A解析z可以看作点(x，y)和点(a,0)的斜率，直线AB与x轴交点为(2,0)，当a(2，1)时，z仅在点A处取得最大值，所以P.故选A.10(2019北京高考)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为.图中阴影区域的面积的最大值为()A44cosB44sinC22cosD22sin答案B解析解法一：如图1，设圆心为O，连接OA，OB，OP.APB，AOB2，S阴影SAOPSBOPS扇形AOB22sinAOP22sinBOP2222sinAOP2sinBOP42sinAOP2sin(22AOP)42sinAOP2sin(2AOP)42sinAOP2(sin2cosAOPcos2sinAOP)42sinAOP2sin2cosAOP2cos2sinAOP42(1cos2)sinAOP2sin2cosAOP422sin2sinAOP22sincoscosAOP44sin(sinsinAOPcoscosAOP)444sincos(AOP)为锐角，sin0.当cos(AOP)1，即AOP时，阴影区域面积最大，为44sin.故选B.解法二：如图2，设圆心为O，连接OA，OB，OP，AB，则阴影区域被分成弓形AmB和ABP.APB，AOB2.弓形AmB的面积是定值，要使阴影区域面积最大，则只需ABP面积最大ABP底边AB长固定，只要ABP的底边AB上的高最大即可由图可知，当APBP时，满足条件，此时S阴影S扇形AOBSAOPSBOP222222sin44sin.这就是阴影区域面积的最大值故选B.11(2019福州一模)已知函数f (x)当xm，m1时，不等式f (2mx)f (xm)恒成立，则实数m的取值范围是()A(，4) B(，2)C(2,2) D(，0)答案B解析当x0时，f (x)x4单调递减，且f (x)f (0)5；当x0时，f (x)x3x5，f(x)3x210，f (x)单调递减，且f (x)f (0)5；所以函数f (x)在xR上单调递减，因为f (2mx)f (xm)，所以2mxxm，即2xm，在xm，m1上恒成立，所以2(m1)m，解得m2.即m的取值范围是(，2)故选B.12(2019攀枝花二模)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|3|PF2|，且MF2N60，则双曲线的离心率为()A. B3 C2 D.答案D解析由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，由|PF1|3|PF2|，可得|PF2|a，|PF1|3a，结合双曲线性质可以得到|PO|MO|，而|F1O|F2O|，结合四边形对角线平分，可得四边形PF1MF2为平行四边形，结合MF2N60，故F1MF260，对F1MF2用余弦定理，得到|MF1|2|MF2|2|F1F2|22|MF1|MF2|cosF1MF2，结合|PF1|3|PF2|，可得|MF1|a，|MF2|3a，|F1F2|2c，代入上式中，得到a29a24c23a2，即7a24c2，结合离心率满足e，即可得出e，故选D.第卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13(2019四川省二诊)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P(1，)在角的终边上，则sin_.答案解析角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P(1，)在角的终边上，tan，2k，kZ，则sinsinsin.14(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_答案y3x解析y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke033，切线方程为y3x.15(2019石家庄一模)已知直线xay30与圆O：x2y24相交于A，B两点(O为坐标原点)，且AOB为等边三角形，则实数a的值为_答案解析圆心(0,0)到直线xay30的距离d，依题意，cos30，即，解得a.16(2019泉州市质检)如图所示，球O半径为R，圆柱O1O2内接于球O，当圆柱体积最大时，圆柱的体积V，则R_.答案解析设小圆O1，O2的半径为r，如图，作出球O及其内接圆柱的轴截面得到四边形ABCD，由题意得到ABCD2r，当BCAD2r时，圆柱的体积最大，此时R2R24r2，即Rr，圆柱体积Vr22r，解得r，Rr.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60分17(本小题满分12分)(2019郑州一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为S，且满足sinB.(1)求sinAsinC；(2)若4cosAcosC3，b，求ABC的周长解(1)由三角形的面积公式可得SABCbcsinA，2csinBsinAb，由正弦定理可得2sinCsinBsinAsinB，sinB0，sinAsinC.(2)4cosAcosC3，cosAcosC，cosAcosCsinAsinC，cos(AC)，cosB，0B，sinB，4，sinAsinC，ac8，b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB，(ac)2151227，ac3.abc3.18(本小题满分12分)(2019厦门一模)某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi(i1,2，10)的数据，得到如下散点图(1)利用散点图判断，yabx和ycxd(其中c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；(2)对数据作出如下处理：令uiln xi，viln yi，得到相关统计量的值如下表：uiviuiviu30.5151546.5根据(1)的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；(3)已知企业年利润z(单位：千万元)与x，y的关系为zyx(其中e2.71828)，根据(2)的结果，要使该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.解(1)由散点图知，选择回归类型ycxd更适合(2)对ycxd两边取对数，得ln yln cdln x，即vln cdu.由表中数据得，.所以ln 1.51.51，所以e.所以年研发费用x与年销售量y的回归方程为yex.(3)由(2)知，z27xx，求导得z9x1，令z9x10，得x27，函数z27xx在(0,27)上单调递增，在(27，)上单调递减，所以当x27时，年利润z取最大值5.4亿元答：要使得年利润取最大值，预计下一年度投入2.7亿元19(本小题满分12分)(2019青岛二模)如图，在圆柱W中，点O1，O2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点H在上底面圆周上(异于N，F)，点G为下底面圆弧的中点，点H与点G在平面MNFE的同侧，圆柱W的底面半径为1.(1)若平面FNH平面NHG，证明：NGFH；(2)若直线O1H平面FGE，求H到平面FGE的距离解(1)证明：由题知平面FNH平面NHG，平面FNH平面NHGNH，因为NHFH，又因为FH平面FHN，所以FH平面NHG，所以FHNG.(2)连接O1O2，如图所示，因为O1O2EF，O1O2平面FGE，EF平面FGE，所以O1O2平面FGE；又因为直线O1H平面FGE，O1HO1O2O1，所以平面O1HO2平面FGE，所以H到平面FGE的距离等于O2到平面FGE的距离；取线段EG的中点V，连接O2V，因为O2VEG，O2VEF，EGEFE，所以O2V平面FGE，所以H到平面FGE的距离为O2V，在等腰直角三角形EO2G中，O2EO2G1，所以O2V，所以所求的距离为.20(本小题满分12分)(2019福州一模)已知抛物线C1：x22py(p0)和圆C2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过C1的焦点且与C2相切(1)求p的值；(2)点M在C1的准线上，动点A在C1上，C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程解(1)依题意设直线l1的方程为yx，由已知得：圆C2：(x1)2y22的圆心C2(1,0)，半径r，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心到直线l1：yx的距离d，即，解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)证法一：依题意设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，所以y，所以y，设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0，yxy112y1y1y1，即l2交y轴于B点，坐标为(0，y1)，所以(x1m，y13)，(m，y13)，(x12m,6)，(x1m,3)设N点坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上证法二：设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，设A(x1，y1)，以A为切点的切线l2的方程为yk(xx1)y1，联立得，x212，因为144k248kx14x0，所以k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0，得切线l2交y轴于B点，坐标为(0，y1)，所以(x1m，y13)，(m，y13)，(x12m,6)，(x1m,3)，设N点坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上21(本小题满分12分)(2019长沙一模)已知函数f (x)ln xax，g(x)xln x(a1)x.(1)试讨论f (x)的单调性；(2)记f (x)的零点为x0，g(x)的极小值点为x1，当a(1,4)时，求证：x0x1.解(1)f(x)a(x0)，若a0，则f(x)0，f (x)在(0，)递增若a0，则ax2x10有一正一负两根，且正根是，当x时，f(x)0，f (x)递增；当x时，f(x)0，f (x)递减综上，a0时，f (x)在(0，)递增；a0时，f (x)在递增，在递减(2)证明：g(x)xln x(a1)x，则g(x)ln xa(x0)，故g(x)在(0，)递增，又g(1)a10，gln 24a0，故g(x)存在零点x2，且g(x)在(0，x2)递减，在(x2，)递增，x2即是g(x)的极小值点，故x2x1，由g(x1)0知，ln x1a0，故f (x1)ln x1ax1ln x1x1(1x1)ln x1，又x1x2，故f (x1)(1x1)ln x10f (x0)，由(1)知，a0时，f (x)在(0，)递增，故x0x1.(二)选考题：10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程(2019咸阳二模)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设过点P(1,0)且倾斜角为45的直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|PB|的值解(1)曲线C的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为1，(2)过点P(1,0)且倾斜角为45的直线l，转换为参数方程为(t为参数)，把直线l的参数方程代入1，得到t23t90(t1和t2为A，B对应的参数)，所以t1t2，t1t2，则|PA|PB|t1t2|.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲(2019咸阳二模)已知函数f (x)|x2|m(xR)，且f (x2)0的解集为1,1(1)求实数m的值；(2)设a，b，cR，且a2b2c2m，求a2b3c的最大值解(1)由题意可得f (x2)|x|m，故由f (x2)0，可得|x|m，解得mxm.再根据f (x2)0的解集为1,1，可得m1.(2)若a，b，cR，且a2b2c21，由柯西不等式可得：a2b3c，故a2b3c的最大值为.14
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