（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第四层热身篇 专题检测（七）三角恒等变换与解三角形

专题检测（七） 三角恒等变换与解三角形A组“633”考点落实练一、选择题1.(2019开封市定位考试)已知cos，则cos 2的值为()A.B.C. D.解析：选B因为cos，所以sin ，所以cos 212，故选B.2.(2019长春市质量监测一)函数f(x)sinsin x的最大值为()A. B.2C.2 D.4解析：选A法一：由已知得f(x)sin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函数的最大值为，故选A.法二：由已知得f(x)sin xcos xsin xsin xcos x，故函数的最大值为 ，故选A.3.(2019长春市质量监测一)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bacos Cc，则角A等于()A.60 B.120C.45 D.135解析：选A由bacos Cc及余弦定理，可得bac，即2b2b2a2c2bc，整理得b2c2a2bc，于是cos A，又0A，所以A60，故选A.4.(2019江西七校第一次联考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba，a2，c，则角C()A. B.C. D.解析：选D由ba，得sin Bsin A.因为sin Bsin(AC)sin(AC)，所以sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin Asin C(sin C0)，cos Asin A，所以tan A.因为0A，所以A.由正弦定理，得sin C.因为0C，所以C.故选D.5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形解析：选A根据正弦定理得cos A，即sin Csin Bcos A.ABC，sin Csin(AB)sin Bcos A，整理得sin Acos B0，cos B0，B，ABC为钝角三角形.6.(2018南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)的200千米处，若cos cos ，则v()A.60 B.80C.100 D.125解析：选C如图，台风中心为B，2.5小时后到达点C，则在ABC中，ABsin ACsin ，即sin sin ，又cos cos ，sin2cos2sin2cos21sin2cos2，sin cos ，sin ，cos ，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin 0，BC2AB2AC2，(2.5v)215022002，解得v100，故选C.二、填空题7.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_.解析：由余弦定理得b2a2c22accosB.又 b6，a2c，B， 364c2c222c2， c2，a4， SABCacsin B426.答案：68.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，2sin Asin B，且b6，则c_.解析：由余弦定理得a2b2c22bcb2c2bc，又2sin Asin B，由正弦定理可得，即a2b24c20，则b2c2bcb24c20.又b6，c22c240，解得c4(负值舍去).答案：49.(2019洛阳市统考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且tan B，则的值是_.解析：a，b，c成等比数列，b2ac，由正弦定理得sin2Bsin Asin C，tan B，sin B，. 答案：三、解答题10.(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cos ADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sin ADB.由题设知，ADB90，所以cos ADB .(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcos BDC25825225，所以BC5.11.(2019重庆市学业质量调研)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为accos B，且sin A3sin C.(1)求角B的大小；(2)若c2，AC的中点为D，求BD的长.解：(1)SABCacsin Baccos B，tan B.又0B，B60.(2)sin A3sin C，由正弦定理得，a3c，a6.由余弦定理得b26222226cos 6028，b2.cos A.D是AC的中点，AD.BD2AB2AD22ABADcos A22()22213.BD.12.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解：(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).因为0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.B组大题专攻强化练1.(2019江西七校第一次联考)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a2(bc)2bc.(1)求角A的大小；(2)若f(x)sin(2xA)，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后又向上平移了2个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及单调递减区间.解：(1)a2(bc)2bc，a2b2c2bc，cos A，又0A，A.(2)f(x)sin，g(x)sin2，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函数g(x)的单调递减区间为，kZ.2.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Acos Ccsin Acos Abcos A0.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积为4，且b，a，c成等差数列，求ABC的内切圆的半径.解：(1)由asin Acos Ccsin Acos Abcos A0，可知sin A(sin Acos Ccos Asin C)sin Bcos A，sin Asin(AC)sin Bcos A，sin(AC)sin B，sin Asin Bsin Bcos A，sin B0，sin Acos A，tan A，又A(0，)，A.(2)由题意可知SABCbcsin Abc4，bc16，又a2b2c22bccos A，a2(bc)23bc，又b，a，c成等差数列，a24a248，a4，bc2a8，ABC的周长为abc12，设ABC内切圆的半径为r，则r(abc)SABC，即r124，r.3.(2019武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C.(1)求B的大小；(2)求sin Acos C的取值范围.解：(1)锐角三角形ABC中，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C，故b2a2c2ac，cos B，又B，所以B.(2)由(1)知，CA，故sin Acos Csin Acossin Acos Asin.又A，CA，所以A，A，sin，故sin Acos C的取值范围为.4.(2019洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，ABC为锐角，ADBD，AC平分BAD，BC2，BD3，BCD的面积S.(1)求CD；(2)求ABC.解：(1)在BCD中，SBDBCsinCBD，BC2，BD3，sinCBD.ABC为锐角，CBD30.在BCD中，由余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcosCBD(2)2(3)222(3)9，CD3.(2)在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBDC.BCBD，BDC为锐角，cosBDC.在ACD中，由正弦定理得，即.在ABC中，由正弦定理得，即.AC平分BAD，CADBAC.由得，解得sinABC.ABC为锐角，ABC45.- 8 -