高等数学（上）：D3_7曲率

第七节第七节曲线的弯曲线的弯曲程度曲程度与切线的转角有关与切线的转角有关与曲线的弧长有关与曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、弧微分弧微分 二、二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 MMM 曲曲 率率 第三章第三章 2一、一、弧微分弧微分)(xfy 设设在在(a,b)内有连续导数内有连续导数,其图形为其图形为 AB,0 sAB)(xfy abxoyxM在曲线上取固定点（如在曲线上取固定点（如 A(x0,y0)作为度量弧长的基点作为度量弧长的基点（1）曲线的正向与）曲线的正向与x增大的方向一致增大的方向一致;规定：规定：（2）对曲线上任一点）对曲线上任一点M(x y)规定规定有向弧段有向弧段 AM的值的值 s(简称为弧简称为弧 s)如下如下 s 的绝对值等于这弧段的长度的绝对值等于这弧段的长度 AMs 当有向弧段当有向弧段 的方向与曲线的正向一致时的方向与曲线的正向一致时,AM0 s当有向弧段当有向弧段 的方向与曲线的正向相反时的方向与曲线的正向相反时,AM是是x的函数的函数s s(x)而且而且s(x)是是x的单调增加函数的单调增加函数 3)(xfy 设设在在(a,b)内有连续导数内有连续导数,其图形为其图形为 AB,弧长弧长)(xsAMs xs xMM MMMM xyx 22)()(MMMM 2)(1xy xsxsx 0lim)(2)(1y 1lim0 MMMMxxAB)(xfy abxoyxMxxMy下面来求下面来求s(x)的导数与微分的导数与微分MMMM xMM 称这样的曲线为光滑曲线称这样的曲线为光滑曲线4则弧长微分公式为则弧长微分公式为ttytxsd)()(d22 )(xs2)(1y xysd)(1d2 或或22)(d)(ddyxs 若曲线由参数方程表示若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx弧微分公式弧微分公式5问题问题:曲线的弯曲程度如何描述曲线的弯曲程度如何描述?直线直线:不弯曲不弯曲圆圆:半径越小半径越小,弯曲得弯曲得 越厉害越厉害一般的曲线一般的曲线:在不同的点处在不同的点处,弯曲程度不同弯曲程度不同二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线上各点处的弯曲程度曲率是描述曲线上各点处的弯曲程度.1.曲率的定义：曲率的定义：由此可见：由此可见：弯曲程度由方向改变的大小弯曲程度由方向改变的大小 以及改变这一方向所经历以及改变这一方向所经历的路程的路程,这两个因素所决定这两个因素所决定.且弯曲程度与方向改变且弯曲程度与方向改变与改变这一方向所经历的路程成反比与改变这一方向所经历的路程成反比.的大小成正比，的大小成正比，转角相同弧段越短转角相同弧段越短弯曲程度越大弯曲程度越大MMN)N6设曲线设曲线C是光滑的是光滑的.0是基点是基点MsMM 0ssMM 0sMM.切线转角为切线转角为MM的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段MM sK 为曲线为曲线C在点在点M处的曲率处的曲率sKs 0lim 称称xyo0M MMC曲线曲线s s存在存在若若sMM lim,dsdK 也表示为也表示为7对曲率定义的解释对曲率定义的解释直线不弯曲直线不弯曲MM00limlim ssKMMMM 圆的弯曲程度处处相同圆的弯曲程度处处相同rsrs1 rK1 MM s r圆的半径越小圆的半径越小,K K越大越大,圆弯曲圆弯曲得越厉害得越厉害.8,)(二阶可导二阶可导设设xfy ),(),(000yxMyxM),(yyxxM 2.曲率计算公式曲率计算公式xyo0M MMC曲线曲线s sxMxxxytany 由由arctan y xdd 21 yy .)(12dxxyds 又由弧微分公式又由弧微分公式dsdK 所以所以dxdsdxd .)1(232yy 232)1(yyK 9,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx ,)()(ddttxy .)()()()()(dd322tttttxy 2322)()()()()()(ttttttK 10解解例例1 1?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy ,2baxy ,2ay .)2(12232baxak ,2时时当当abx .最大最大K,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又因为又因为aacbab .曲率最大曲率最大所以抛物线在顶点处的所以抛物线在顶点处的232)1(yyK 11曲率的近似计算公式曲率的近似计算公式 ,1 ,1 ,yy可记为可记为比较是很小的比较是很小的同同在实际问题中在实际问题中 ,11 2 y则则232)1(yyK 所以曲率所以曲率.y 12).(1),(,为圆弧轨道的半径为圆弧轨道的半径由零过渡到由零过渡到使曲率连续地使曲率连续地如图如图缓冲段缓冲段道和弯道之间接入一段道和弯道之间接入一段往往在直往往在直为了行驶平稳为了行驶平稳容易发生事故容易发生事故率突然改变率突然改变若接头处的曲若接头处的曲道时道时铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯RR例例2 2Rl13例例2.我国铁路常用立方抛物线我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线作缓和曲线,且且 l R.处的曲率处的曲率.)6,(,)0,0(2RllAO其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲线在其两个端点解解:,0时时当当lx Rl2 0 xlRy1 yK xlR1 显然显然;00 xKRKlx1 221xlRy 361xlRy Rlox),(00yxAlx 0CBy例例3.求椭圆求椭圆tbytaxsincos)20(t在何处曲率最大在何处曲率最大?解解:故曲率为故曲率为 ba23)cossin(2222tbta;sintax;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大最大tbtatf2222cossin)(最小最小22()2sin cos2cos sinf tattbtt tba2sin)(22求驻点求驻点:的导数数表示对参tx,0)(tf令,0t得,2,232,设设tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a从而从而 K 取最大值取最大值.这说明椭圆在点这说明椭圆在点,0ab 时则2,0t)0,(a处曲率处曲率计算驻点处的函数值计算驻点处的函数值:yxbaba,)(取最小值tf最大最大.三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设设 M 为曲线为曲线 C 上任一点上任一点,在点在点在曲线在曲线KRDM1把以把以 D 为中心为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点为半径的圆叫做曲线在点 M 处的处的曲率圆曲率圆(密切圆密切圆),R 叫做叫做曲率半径曲率半径,D 叫做叫做曲率中心曲率中心.在点在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线有公切线;(2)凹向一致凹向一致;(3)曲率相同曲率相同.M 处作曲线的切线和法线处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点的凹向一侧法线上取点 D 使使17注意注意2.2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦););曲率半径越小曲率半径越小,曲率越曲率越大大(曲线越弯曲曲线越弯曲).).3.3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的称为曲线在该点附近的二次近似二次近似).).1.1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即例例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮现要用砂轮磨磨削其内表面削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适问选择多大的砂轮比较合适?解解:设椭圆方程为设椭圆方程为tbytaxsincos),20(abx由例由例3可知可知,椭圆在椭圆在)0,(aoyx处曲率最大处曲率最大,即曲率半径最小即曲率半径最小,且为且为 R23)cossin(2222tbtaba0tab2显然显然,砂轮半径不超过砂轮半径不超过ab2时时,才不会产生过量磨损才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题或有的地方磨不到的问题.ab内容小结内容小结1.弧长微分弧长微分xysd1d2或或22)(d)(ddyxs2.曲率公式曲率公式sKdd23)1(2yy 3.曲率圆曲率圆曲率半径曲率半径KR1yy 23)1(220思考与练习思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答:有公切线有公切线;凹向一致凹向一致;曲率相同曲率相同.2.求双曲线求双曲线1yx的曲率半径的曲率半径 R,并分析何处并分析何处 R 最小最小?解解:,12xy,23xy 则则 R23)1(2yy 234)1(1x32x232)(1221xx 利用利用baba2222.21为最小值显然xRO11yx21作业作业P177 2;4；5