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第24章 圆24.1 圆24.1.1 圆知识点:关于圆的基本概念圆:在一个平面内,一条线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点 A所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA的长度叫做这个圆的半径。圆的表示方法:以点O为圆心的圆,记作“O”,读作“圆O”。归纳:(1)圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径);(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。圆的第二定义:所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫做圆。弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。弧的表示方法:以A、B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。优弧:大于半圆的弧叫做优弧,用三个字母表示,如图中的。劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧,用两个字母表示,如图中的。题型1. 在平面直角坐标系中, O的圆心在原点上,半径为 2,则下面各点在O上的是() A(1,1) B(1, 3 ) C(2,1) D( 2 ,2)2. 经过圆内一点(非圆心)作圆的最长弦有( )A1 条 B2 条 C3 条无数条 3. 下列命题中正确的是_。 A.弦是圆上任意两点之间的部分 B.弧是半圆,半圆是弧 C.长度相等的弧是等弧 D.半径和直径都是弦4. 下列说法正确的是_。 A.弦是直径 B.半圆是弧 C.过圆心的线段是直径 D.半圆是最长的弧 E.直径是最长的弦 F.半径相等的两个圆是等圆5. 圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件,圆心决定圆的_,半径决定圆的_, 二者缺一不可。6. 在同一平面内,点 P 到圆上的点的最大距离为 8cm,最小距离为 2 ,则圆的半径为_。7. 把圆规的两脚分开,使两脚的距离是4厘米,这样画出的圆的半径是( )。 8. 如图,请用正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧。9. 画一画。 已知线段AB=5cm,作图说明满足下列要求的图形。 (1)到点A的距离等于3cm的所有的点组成的图形。 (2)到点B的距离等于2cm的所有的点组成的图形。10. 求证:矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。24.1.2 垂直于弦的直径知识点1 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点2 垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。推论1.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。2.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。3.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧。4.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧。5.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧。6.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦。题型1.在O中,AB为直径,CD为非直径的弦,对于(1)ABCD,(2)AB平分CD ,(3)AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件,另两个为结论构成三个命题,其中真命题的个数为 ( ) A、3 B、2 C、1 D、02.下列命题中错误的命题有( )(1)弦的垂直平分线经过圆心 (2)平分弦的直径垂直于弦 (3)梯形的对角线互相平分 (4)圆的对称轴是直径 A1个 B2个 C3个 D4个3. 圆是轴对称图形,它有_条对称轴,是_所在的直线;圆还是中心对称图形,对称中心是 _。 4. 若O的直径为10,弦AB=8,E是AB上任意一动点,则OE的最小值是_。 5. 半径为5的O内有一点P,且OP=3,则过点P的最短的弦长是_,最长的弦长是_。oAB6. 如图,已知AB是O的弦,OB=4cm,ABO=30,则O到AB的距离是_cm, AB=_cm。 7. “圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作九章算术中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”此问题的实质是解决下面的问题:“CD为O的直径,弦ABCD于点E,CE=1,AB=10,求CD的长”根据题意可得CD的长为_。 第6题图8.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,若油面宽AB800mm,则油的最大深度为 mm. 9. 如图,在ABC中,C是直角,AC=12,BC=16,以C为圆心,AC为半径的圆交斜边AB于D,求 AD的长。10. 如图,弦AB垂直于O的直径CD,OA=5,AB=6,求BC长。CBDA 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图11. 如图所示,在O中,CD是直径,AB是弦,ABCD于M,CD=15cm,OM:OC=3:5,求弦AB的长。12.有一圆弧形门拱的拱高AB为1,跨度CD为4,求这个门拱的半径。24.1.3 弧、弦、圆心角知识点1 定义圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离叫弦心距。知识点2 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角度数相等,所对的弦相等。在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角度数相等,所对的弧相等。题型1. 如果两条弦相等,那么( ) A这两条弦所对的弧相等 B这两条弦所对的圆心角相等 C这两条弦的弦心距相等 D以上答案都不对2.下列说法正确的是() A相等的圆心角所对的弧相等 B在同圆中,等弧所对的圆心角相等 C相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D圆心到弦的距离相等,则弦相等 3. 线段AB是弧AB 所对的弦,AB的垂直平分线CD分别交 弧AB、AC于C、D,AD的垂直平分线EF分别 交弧AB、AB于E、F,DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H,则下面结论不正确的是() A弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC 4. 弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是_,弦所对的圆心角是_. 5. 如图,AB为O直径,E是中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=_.6. 如图,AB和DE是O的直径,弦ACDE,若弦BE=3,则弦CE=_7. 如图,已知AB、CD为O的两条弦,弧AD=弧BC, 求证:AB=CD。8. 如图,BC为O的直径,OA是O的半径,弦BEOA, 求证:AC=AE。 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 9. 如图,在O中,C、D是直径AB上两点,AC=BD,MCAB,NDAB,M、N 在O上(1)求证:=;(2)若C、D分别为OA、OB中点,则成立吗? 10.如图,O1和O2是等圆,P是O1O2的中点,过P作直线AD交O1于A、B,交O2于C、D,求证:AB=CD。 第9题图 第10题图24.1.4 圆周角知识点1 定义顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。知识点2 圆周角定理在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径。知识点3 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形性质:圆内接四边形的对角互补。题型1. 下列说法正确的是( ) A顶点在圆上的角是圆周角 B两边都和圆相交的角是圆周角 C圆心角是圆周角的2倍 D圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半2下列说法错误的是( ) A等弧所对圆周角相等 B同弧所对圆周角相等 C同圆中,相等的圆周角所对弧也相等 D同圆中,等弦所对的圆周角相等3. 已知O是ABC的外接圆,若A=80,则BOC的度数为( )A40 B80 C160 D120 4. 在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A.30 B.30或150 C.60 D.60或1205. ABC三个顶点A、B、C都在O上,点D是AB延长线上一点,AOC=140, CBD 的度数是( )A.40 B.50 C.70 D.110 第8题图6.等边三角形ABC的三个顶点都在O上,D是弧AC上任一点(不与A、C重合),则ADC的度数是 _。7. O中,若弦AB长2cm,弦心距为cm, 则此弦所对的圆周角等于 。8. 如图,AB为O的直径,点C在O上, 若B=60, 则A等于_。9. 如图,在O中,AB是直径,CD是弦,ABCD. (1)P是弧CAD上一点(不与C、D重合),试判断 CPD与COB的大小关系, 并说明理由. (2)点P在劣弧CD上(不与C、D重合时), CPD与COB有什么数量关系?请证明你的结论。 第9题图 10. 如图,C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点 BMO=120。(1)求证:AB为C直径。 (2)求C的半径及圆心C的坐标。11. 如图,O的直径AB=8cm,CBD=30,求弦DC的长。 第10题图 第11题图 第12题图12. 如图,A、B、C、D四点都在O上,AD是O的直径,且AD=6cm,若ABC=CAD,求弦AC的长。24.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系知识点1 点和圆的位置关系设O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则:(1)点P在圆外 dr(2)点P在圆上 d=r(3)点P在圆外 dr知识点2 确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆。知识点3 三角形的外接圆:三角形三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。三角形的外心:外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。知识点4 反证法假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。题型1. 若O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a,最小距离为b(ab),则此圆的半径为( )。A. B. C. 或 D. a+b或ab2.三角形的外心是( )A.三条中线的交点 B.三条边的中垂线的交点C.三条高的交点 D.三条角平分线的交点3.下列命题不正确的是( )A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆4.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )A.1个或3个 B.3个或4个 C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个5.锐角三角形的外心位于_,直角三角形的外心位于_,钝角三角形的外心位于 _。6.下列说法正确的是:_。(1) 经过三个点一定可以作圆(2)任意一个三角形一定有一个外接圆(3)任意一个圆一定有一内接三角形,并且只有一个内接三角形(4)三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等7. 边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是_。8. ABC的三边为2,3, ,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_。9. 矩形ABCD边AB=6cm,AD=8cm,(1)若以A为圆心,6cm长为半径作A,则点B在A_,点C在A_,点D在A_, AC与BD的交点O在A_;(2)若作A,使B、C、D三点至少有一个点在A内,至少有一点在A外, 则A的半径r的取值范围是_。10. 如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置 (不写作法,尺规作图,保留作图痕迹)。11. 如图,已知在ABC中,ACB=900,AC=12,AB=13,CDAB,以C为圆心,5为半径作C,试判断A,D,B 三点与C的位置关系。 12. 如图,在钝角ABC中,ADBC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(ADDC),O为 ABC的外接圆,如果BD的长为6,求ABC的外接圆O的面积。 第11题图 第12题图13. 已知ABC内接于O,ODBC,垂足为D,若BC=2,OD=1,求BAC的度数。(注意:分类讨论)24.2.1 直线和圆的位置关系知识点1 基本概念1. 直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交,这条直线叫圆的割线,这两个公共点叫交点。2. 直线和圆有唯一个公共点,叫做直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,这个公共点叫切点。3. 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。知识点2 直线和圆的位置关系的判定 设O的半径为r,直线l到圆心的距离为d,则: 直线l和O相交 dr题型1. 在平面直角坐标系中,以点(2,1)为圆心,1为半径的圆,必与() A. x轴相交 B. y轴相交 C. x轴相切 D. y轴相切2. 已知O的半径为5 cm,直线l上有一点Q且OQ =5cm,则直线l与O的位置关系是( ) A、相离 B、相切 C、相交 D、相切或相交 3. 已知圆的半径等于10厘米,直线和圆只有一个公共点,则圆心到直线的距离是_。4. 等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的圆与直线BC的位置关系是_;以A为圆心,_为半径的圆与直线BC相切。5. 已知O的直径为10cm。(1)若直线l与O相交,则圆心O到直线l的距离为_;(2)若直线l与O相切,则圆心O到直线l的距离为_;(3)若直线l与O相离,则圆心O到直线l的距离为_。6. 如图,M与x轴相交于点A(2,0), B(8,0),与y轴相切于点C, 求圆心M的坐标 知识点3 切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。题型1命题:“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是() A.经过半径的外端点的直线是圆的切线 B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线 C.垂直于半径的直线是圆的切线 D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2. 如图,BC是O直径,P是CB延长线上一点,PA切O于A,若PA,OB1,则APC等于() A. 150 B.300 C.450 D.6003. 如图,线段AB过圆心O,交O于点A、C,B300,直线BD与O切于点D,则ADB的度数是() A.1500 B.1350 C.1200 D.10004.如图,的直径与弦的夹角为,切线与的延长线交于点,若的半径为3, 则的长为()A.6 B. C.3 D.5. PA是O的切线,切点为A,PA=,APO=30,则O的半径长为_6. 如图,直线AB与O相切于点B,BC是O的直径,AC交O于点D,连结BD,则图中直角三角形有 _个第2题图 第3题图 第4题图 第6题图 7. 如图,PAQ是直角,O 与AP相切于点T,与AQ交于B、C两点. (1)BT是否平分OBA?说明你的理由; (2) 若已知AT4,弦BC6,试求O 的半径R. 8. 如图,AB是O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,CAB=30, 求证:DC是O的切线。9. 在RtABC中,B=90,A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作D。 试说明:C是D的切线。EFBOCA.ABDCO 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图10. 已知直角梯形 ABCD 中,ADBC,ABBC,以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切,梯形的上底 AD与底 BC 是方程 10x + 16 = 0的两根,求 E 的半径 r 。11. 如图,ABC内接于O ,直线EF经过 B 点,CBF A。 求证:EF 是O 的切线。 第11题图OABEDC12. 如图,RtABC中,B90,O是AB上的一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E, 交AC于点D,其中DEOC。(1)求证:AC为O的切线。(2)若AD2,且AB、AE的长是关于x的 方程x28xk0的两个实数根,求O的半径、CD的长。ABCOGFDE13. 如图,等腰ABC中,ACBC10,AB12,以BC为 第12题图 直径作O交AB于点D,交AC于点G,DFAC,垂足为 F,交CB的延长线于点E。(1)求证:直线EF是O的切线。 第13题图(2)求DF、DE的长。. ABCDEM14. 如图,RtABC中,ACB90,CDAB于D,以 CD为半径作C与AE切于点E,过点B作BMAE。(1)求证:BM是C的切线。 第14题图ABDECO(2)作DFBC于F,若AB16,DBM60,求EF的长。15. 如图,AB为O的直径,D为的中点,DCAE 交AE的延长线于C。(1)求证:CD是O的切线。 (2)若CE1,CD2,求O的半径。 第15题图OBACDE16. 如图,钝角ABC,CDAC,BE平分ABC交 AC于E,且CEB45,以AD为直径作O。 (1)求证:BC是O的切线。 (2)若O直径为10,ACBC,求ABC的周长。 第16题图17. 如图,ABC内接于半圆,AB是直径,过A作直线MN, 若MACABC(1)求证:MN是半圆的切线。(2)设D是弧AC的中点,连结BD交AC 于G, 过D作DEAB于E,交AC于F求证:FDFG。 第17题图知识点4 切线长定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。题型1. 如图,PA切O于A,PB切O于B,OP交O于C,下列结论错误的是() A. 1=2 B.PAPB C.ABOP D.2. 如图,PA、PB是O的两条切线,切点是A、B. 如果OP4,那么AOB等于( ) A. 90 B. 100 C. 110 D. 1203. 从圆外一点向半径为9的圆作切线,已知切线长为18,从这点到圆的最短距离为( ) A9 B9(-1) C9(-1) D94. 有圆外一点P,PA、PB分别切O于A、B,C为优弧AB上一点,若ACB=a,则APB=( )A180- B90- C90+ D180-25. 一个钢管放在V形架内,如图是其截面图,O为钢管的圆心如果钢管的半径为25cm,MPN60,则OP( )A50cm B25cm Ccm D50cm 第1题图 第2题图 第5题图 第6题图6. 如图,PA、PB分别切O于A、B,并与O的切线分别相交于C、D,已知PA=7cm,则PCD的周长等于_。7. 如图,已知为的直径,是的切线,为切点,.(1)求的大小。(2)若,求的长(结果保留根号)。 第7题图 第8题图8. 如图,的直径和是它的两条切线,切于E,交AM于D,交BN于C。设。(1)求证: (2)求关于的关系式9.如图所示,在直角坐标系中,A点坐标为(-3,-2),A的半径为1,P为x轴上一动点,PQ切A于点Q,则当PQ最小时,求P点的坐标是多少? 第9题图 第10题图10. 如图,ABC中,C90,AC8cm,AB10cm,点P由点C出发以每秒2cm的速度沿CA向点A运动(不运动至A点),O的圆心在BP上,且O分别与AB、AC相切,当点P运动2秒钟时,求O的半径。11. 已知:MAN=30,O为边AN上一点,以O为圆心、2为半径作O ,交AN于D、E两点,设AD=. 如图当取何值时,O与AM相切;MANEDO图(1)MANEDBCO图(2) 如图当为何值时,O与AM相交于B、C两点,且BOC=90。知识点5内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内心:内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。题型1. 已知ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F,那么点O是DEF的( ) A三条中线交点 B三条高的交点 C三条角平分线交点 D三条边的垂直平分线的交点2. 如图,O为ABC的内切圆,C900,AO的延长 线交BC于点D,AC4,CD1,则O的半径等于() A. B. C. D.3. 如图,O内切于ABC,切点为D、E、F, 若B500,C600,连结OE、OF、DE、DF, 则EDF等于() A.450 B.550 C.650 D.7004. 直角三角形有两条边是2,则其内切圆的半径是_。5. 某市有一块由三条马路围成的三角形绿地,如图,现准备在其中建一小亭供人们小憩,使小亭中心到三 条马路的距离相等,试确定小亭的中心位置。6. 如图,RtABC 的两条直角边长分别为5和12,则ABC 的内切圆到半径为多少?7. 等腰三角形的腰长为13cm,底边长为10 cm,求它的内切圆的半径。FABCDE5O8. 如图,在RtABC中,求ABC的内切圆半径。 第5题图 第6题图 第8题图24.2.3 圆和圆的位置关系知识点1 圆和圆的位置关系概念(1)外离:两个圆没有公共点,并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;(2)外切:两个圆有唯一公共点,除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;(3)相交:两个圆有两个公共点,一个圆上的点有的在另一个圆的外部,有的在另一个圆的内部;(4)内切:两个圆有一个公共点,除公共点外,O2上的点在O1的内部;(5)内含:两个圆没有公共点,O2上的点都在O1的内部。知识点2 两圆位置关系判定设两圆半径分别为r1、r2,圆心距为d,则(1) 两圆外离dr1+r2 (2)两圆外切d=r1+r2 (3)两圆相交r2-r1dr1+r2 (4)两圆内切d=r1-r2 (5)两圆内含dr2-r1题型1. 下列说法正确的是( ) A. 若两圆只有一个交点,则这两圆外切 B. 如果两圆没有交点,则这两圆的位置关系是外离 C. 当O1O2=0时,两圆位置关系是同心圆 D. 若O1O2=1.5,r=1,R=3,则O1O2R+r,所以两圆相交 E. 若O1O2=4,且r =7,R=3,则O1O2n B.m=n C.mr),圆心距为d,若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0 有相等的两实数根,则两 圆的位置关系是_。13. 已知O1和O2的半径分别为2cm、5cm,且它们相切,则O1O2=_。14. 相交两圆的公共弦长6,两圆的半径分别为和5,则这两圆的圆心距为_。15. 已知ABC,三边长分别为6、 8、10,分别以三角形的个顶点为圆心,做两两相外切的三个圆,则这三个圆的半径分别是_。16. 已知O1与O2相切,圆心距为10cm,其中A的半径为4cm,求B的半径。17. 某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上, 向内放入两个半径为5cm的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面如图所示), 求钢管的内直径AD的长。 第17题图 第18题图18. 如图,O1、O2交于A、B两点,点O1在O2上,两圆的连心线交O1于E、D,交O2于F,交AB于C,请根据图中所给的已知条件(不再标注其他字母, 不再添加任何辅助线),写出两个线段之间的关系式。24.3 正多边形和圆知识点1 正多边形和圆的关系定理1:把圆分成n(n3)等份,依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。定理2:经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。知识点2 正多边形有关概念正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。知识点3 正多边形的有关角1. 正多边形的中心角都相等,中心角= (n为正多边形的边数)2. 正多边形的每个外角= (n为正多边形的边数)题型1. 以下有四种说法:顺次连结对角线相等的四边形各边中点,则所得的四边形是菱形;等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形;顶点在圆周上的角是圆周角;边数相同的正多边形都相似,其中正确的有() A1个 B2个 C3个 D 4个2. 以下说法正确的是 A每个内角都是120的六边形一定是正六边形 B正n边形的对称轴不一定有n条C正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数D正多边形一定既是轴对称图形,又是中心对称图形3. 正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是( ) A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定4. 若一个正多边形的每一个外角都等于36,那么这个正多边形的中心角为( ) A36 B、 18 C72 D545. 将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角,使它成为正n边形,那么正n边形的面积为( ) A.6. 如图所示,正六边形ABCDEF内接于O,则ADB的度数是( ) A60 B45 C30 D2257. O是正五边形ABCDE的外接圆,弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE 的_,它是正五边形ABCDE的_圆的半径。8. 两个正六边形的边长分别是3和4,这两个正六边形的面积之比等于_。9. 圆内接正方形的半径与边长的比值是_。10. 圆内接正六边形的边长是8 cm,那么该正六边形的半径为_,边心距为_。11. 圆内接正方形ABCD的边长为2,弦AE平分BC边,与BC交于F,则弦AE的长为_。12. 正方形的内切圆半径为r,这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形,其中一个弓形的面积为_。13. 正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍,那么这个正多边形的边数是_。14. 周长相等的正方形和正六边形的面积分别为和,则和的大小关系为_。15. 四边形ABCD为O的内接梯形,ABCD,且CD为直径,如果O的半径等于r,C=60,那么图中OAB的边长AB是_,ODA的周长是_,BOC的度数是_。16. 如图,正方形ABCD内接于O,点E在上,则BEC= 。 17. 如果正三角形的边长为a,那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_倍。18. 分别求出半径为R的圆内接正三角形,正方形的边长,边心距和面积。24.4 弧长和扇形面积知识点1 计算公式1. n的圆心角所对的弧长:l= 2. 扇形面积:(由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形) 方法一: S扇形 方法二:S扇形题型1. 如果扇形的半径是6,所含的弧长是5,那么扇形的面积是 ( ) A. B. C. D.2. 如果一条弧长等于,它的半径等于,这条弧所对的圆心角增加,则它的弧长增加() 3. 在半径为3的中,弦,则的长为() 4. 扇形的周长为,圆心角为,则扇形的面积是()163264 第5题图5. 如图,扇形的圆心角为,且半径为,分别以,为直径在扇形内作半圆,和分别表示两个阴影部分的面积,那么和的大小关系是()无法确定.6. 半径为的圆中,的圆周角所对的弧的弧长为_。7. 半径为的圆中,长为的一条弧所对的圆心角的度数为_。8. 已知圆的面积为,若其圆周上一段弧长为,则这段弧所对的圆心角的度数为_。9. 如图,是半圆的直径,以为圆心,为半径的半圆交于,两点,弦是小半圆的 切线,为切点,若,则图中阴影部分的面积为_。 第9题图 第10题图 第11题图 10. 弯制管道时,先按中心线计算其“展直长度”,再下料根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为。(单位:,精确到)11. 如图,在Rt中,将绕点旋转至的位置,且使点,三点在同一直线上,则点经过的最短路线长是。12. 已知:扇形的弧长为cm,面积为 cm2 ,求扇形弧所对的圆心角。13. 有一正方形是以金属丝围成的,其边长,把此正方形的金属丝重新围成扇形的, 使,不变,问正方形面积与扇形面积谁大?大多少?由计算得出结果。14. 如图,ACBD为夹在环形的两条半径之间的一部分,弧AD的长 为cm,弧CB的长为2cm,AC4cm,求这个图形的面积。15. 已知如图,P是半径为R的O外一点,PA切O于A,PB切O于B,APB=60求:夹在劣弧AB及PA,PB之间的阴影部分的面积。16. 已知扇形OAB的面积为S,AOB=60求扇形OAB的内切圆的面积。17若分别以线段CD的两个端点为圆心,CD长为半径的C,D相交于A,B求证:分别以AB,CD为直径的两个圆的面积之和与C的面积相等。18求证:圆心角为60的扇形的内切圆的面积,等于扇形面积的三分之二。 知识点2 圆锥1. 圆锥的母线:连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。2. 圆锥的高:圆锥的顶点到底面圆的距离,即顶点与底面圆的圆心的连线的长是圆锥的高。3. 圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径为圆锥的母线,扇形弧长为底面圆的周长。4. 圆锥的侧面积:圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的 扇形面积。 设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,扇形的圆心角为n,5. 圆锥的全面积:圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。题型1. 已知圆锥的高为,底面半径为2,则该圆锥侧面展开图的面积是( ) A B2 C D62. 已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为( ) A180 B120 C90 D1353. 如果圆锥的高与底面直径相等 , 则底面面积与侧面积之比为( ) A1 B2 C32 D234. 边长为a的等边三角形 , 绕它一边上的高所在直线旋转180, 所得几何体的表面积为( )A B C D5. 若底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216,则这个圆锥的高是( )cm。 A8 B C6 D46. 在一个边长为4cm正方形里作一个扇形(如图所示) , 再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面 , 则这 个圆锥的高为( )cm A B C D7. 一个圆锥的高为cm,侧面展开图是一个半圆,则圆锥的全面积是( ) A200cm2 B300cm2 C400 cm2 D360cm28. 一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000cm2,母线长为50cm,那么这个烟囱帽的底面直径为( ) A80cm B100cm C40cm D5cm9. 圆锥的轴截面是一个等边三角形,则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是_。10. 一个扇形,半径为30cm,圆心角为120,用它做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的全面积为_。11. 已知圆锥的母线长6 cm,底面半径为 3 cm,圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角是_。12. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36的扇形,扇形面积为10 cm2,则这个圆锥的表面积是_。13. 一个扇形,半径为30cm,圆心角为120,用它做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的全面积为_。14. 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240的扇形,求这个圆锥的高。15. 已知:一个圆锥的底半径 r=10cm,过轴的截面的顶角为60。求它的侧面展开图的圆心角的度数及侧面积。16. 已知:一个圆锥的侧面展开图是半径为 20 cm,圆心角为120的扇形,求这圆锥的底半径和高。17. 如图,一个圆柱的底面半径为40 cm,高为60 cm,从中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥,得到一个几何体,求其全面积。ABC 第17题图 第18题图18. 如图,圆
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