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会计学1 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组）所组成的集合叫做向量组例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组Aa1a2ana2ajana1a2ajan第1页/共33页维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm第2页/共33页 反之，由有限个向量所组成的向量组可以反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵构成一个矩阵.矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个mnnmm,21矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT,21 TmTTB 21),(21mA 第3页/共33页b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应第4页/共33页，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,:2121 定义定义.,21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合第5页/共33页mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,:2121.2211有解有解即线性方程组即线性方程组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA第6页/共33页.),(),(2121的秩的秩，的秩等于矩阵的秩等于矩阵，条件是矩阵条件是矩阵线性表示的充分必要线性表示的充分必要能由向量组能由向量组向量向量bBAAbmm 定理定理1 1定义定义 .,:,:2121这两个这两个能相互线性表示，则称能相互线性表示，则称量组量组与向与向若向量组若向量组称称线性表示，则线性表示，则向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若及及设有两个向量组设有两个向量组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价BA第7页/共33页使使在数在数存存量量线性表示，即对每个向线性表示，即对每个向能由能由（和和（若记若记,),2,1().,),212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （第8页/共33页),21sbbb（从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121),（.)(数矩阵数矩阵称为这一线性表示的系称为这一线性表示的系矩阵矩阵ijsmkK 第9页/共33页矩矩阵阵：为为这这一一表表示示的的系系数数的的列列向向量量组组线线性性表表示示，矩矩阵阵的的列列向向量量组组能能由由，则则矩矩阵阵若若BACBACnssmnm snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),),（第10页/共33页 TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121：为为这这一一表表示示的的系系数数矩矩阵阵的的行行向向量量组组线线性性表表示示的的行行向向量量组组能能由由同同时时，ABC,第11页/共33页.的行向量组等价的行向量组等价的行向量组与的行向量组与于是于是的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，的行向量组能由的行向量组能由可知，可知，由初等变换可逆性由初等变换可逆性的行向量组线性表示的行向量组线性表示组能由组能由的行向量的行向量，即，即的行向量组的线性组合的行向量组的线性组合向量都是向量都是的每个行的每个行，则，则经初等行变换变成经初等行变换变成设矩阵设矩阵BABAABABBA.的列向量组等价的列向量组等价列向量组与列向量组与的的，则，则经初等列变换变成经初等列变换变成类似，若矩阵类似，若矩阵BABA 第12页/共33页.价的方程组一定同解价的方程组一定同解这两个方程组等价，等这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称能相互线性表示，就称与方程组与方程组的解；若方程组的解；若方程组的解一定是方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组线性表示，这时方程组能由方程组能由方程组称方程组称方程组的线性组合，就的线性组合，就的每个方程都是方程组的每个方程都是方程组程组程组的一个线性组合；若方的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组一个方程就称为方程组所得到的所得到的的各个方程做线性运算的各个方程做线性运算对方程组对方程组BABAABABAA第13页/共33页0 ,:22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0,1.2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn .,2.线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A第14页/共33页.,0,0,3.线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .4.组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,.5 量对应成比例充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向第15页/共33页定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示）能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 第16页/共33页故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0，1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk.02211 mmkkk 第17页/共33页因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有,01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕.第18页/共33页.性独立）性独立）线线个方程）线性无关（或个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各程，就称该方程组（各方方；当方程组中没有多余；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的个方程）是线性相关的各各余的，这时称方程组（余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多合时，这个方程就是多是其余方程的线性组是其余方程的线性组若方程组中有某个方程若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用).,(.0 A,0 212211mmmAxxxxA 其中其中有非零解有非零解即即方程组方程组线性相关就是齐次线性线性相关就是齐次线性向量组向量组结论结论第19页/共33页.)(;),(,2121mARmAmm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 定理定理4 4下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）第20页/共33页维维向向量量组组n TnTTeee1,0,0,0,1,0,0,0,121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),(21阶单位矩阵阶单位矩阵是是的矩阵的矩阵维单位坐标向量组构成维单位坐标向量组构成neeeEnn.)(01 nERE ，知，知由由.2)(向量组是线性无关的向量组是线性无关的知此知此，故由定理，故由定理等于向量组中向量个数等于向量组中向量个数即即ER例例第21页/共33页，742520111321 .21321的线性相关性的线性相关性，及及，试讨论向量组试讨论向量组 解解.2,21321321即可得出结论即可得出结论）的秩，利用定理）的秩，利用定理，及（及（），可同时看出矩阵（可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵成行阶梯形矩阵），施行初等行变换变），施行初等行变换变，对矩阵（对矩阵（已知已知例例分析分析第22页/共33页 751421201),(321 2325rr ，000220201.,2),(,2),(2121321321线性无关线性无关向量组向量组线性相关；线性相关；，向量组，向量组可见可见 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201第23页/共33页.,321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有,0)()(133322211 xxx）（即即,0)()()332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 .0 ,0 ,0 322131xxxxxx证证第24页/共33页02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行.,0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 第25页/共33页.,.,:,(1)1121也线性无关也线性无关向量组向量组则则线性无关线性无关量组量组若向若向反言之反言之也线性相关也线性相关向量组向量组则则线性相关线性相关：向量组向量组若若ABBAmmm 定理定理5 5第26页/共33页.2,11)()()(2,.1)()(),(),(1 111线性相关线性相关知向量组知向量组根据定理根据定理因此因此，从而，从而，有，有则根据定理则根据定理线性相关线性相关若向量组若向量组，有，有记记）（BmARBRmARAARBRaaaBaaAmmm 证明证明.:1 关关的任何部分组都线性无的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它向量组线性无关，则它反之，若一个反之，若一个线性相关线性相关含有零向量的向量组必含有零向量的向量组必特别地，特别地，量组线性相关量组线性相关相关的部分组，则该向相关的部分组，则该向一个向量组若有线性一个向量组若有线性）可推广为）可推广为结论（结论（说明说明第27页/共33页.2 时一定线性相关于向量个数小当维数维向量组成的向量组，个）（mnnm.,:,:(3)121且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组AbbBAmm第28页/共33页.,)(,.)(),(,2 212121线性相关个向量故则若，有构成矩阵维向量个）（mmmnmmmARmnnARAnm.)(1)(.1)(;)().()(),(),()3(2121mBRmBRmmBRBmARABRARbBAmm，即有所以组线性相关，有因组线性无关，有因有记.),(,)()(21一一线性表示，且表示式唯线性表示，且表示式唯组组能由向量能由向量有唯一解，即向量有唯一解，即向量知方程组知方程组由由AbbxmBRARm 第29页/共33页.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；.线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）.线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）第30页/共33页.,)3(0 )2(0 )1(:两两式式不不一一定定同同时时成成立立或或者者线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是，两两个个向向量量；线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量；线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量试试证证明明 kk 第31页/共33页证明证明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性.,0,0,即可即可令令则则不妨设不妨设得得使使存在不全为零的数存在不全为零的数线性相关线性相关xykxyxyxyx 必要性必要性.,0)(1,线性相关线性相关知知由定义由定义则有则有不妨设不妨设 kk第32页/共33页
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