通法巧解焦点弦问题

通法巧解焦点弦问题 全科中心王继强笔者在教学过程中发现许多学生对解析几何部分感到十分头疼，许多学生在这一部分付出了大量的时间和精力，但收效甚微。其实，解析几何远没有大家认为的那么难。我们说面对高考，我们要做的第一件事就是搞清楚高考到底怎么考和考什么。总结新课改后高考对于解析几何部分的考察，我们发现有一类问题成为高考中的难点和热点，那就是直线和圆锥曲线相交的问题，为此笔者将在下面的问题中给出一个此类问题的通解。考题：P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点已知与共线，与共线，且求四边形PMQN的面积的最小值和最大值分析：第一件事情是要把图像画出来，要花图像，我们就要分析清楚直线或者是向量的位置关系，因此我们要读懂题目中的条件，知道两个向量是垂直的。图像画出来后，我们就要关注题目的设问，即所求的是四边形的面积的最值问题，因此我们要表示出该四边形的面积（此处方法有多种），我们把题目的所问进行了一次转化，变成求两条过焦点的弦的长度。为此，我们任取其一，如PQ，这时大家要马上反应出弦长公式（此公式为解析几何部分的基本公式之一），分析该公式我们知道需要直线的斜率，需要直线和圆锥曲线焦点的坐标，从而可以利用韦达定理求出两根之和和两根之积，为了利用韦达定理，我们需要构造一元二次方程，于是我们需要联立直线的方程和曲线的方程，所以第一件事情就是要写出直线的方程（设直线斜率的时候一定要考虑到斜率是否存在）。总结这样的规律，我们会发现直线和圆锥曲线相交的问题，有一个通解，那就是，先写直线方程，再写曲线方程，联立两个方程消元构造一元二次方程，套用韦达定理，求出两根和两根积，带入弦长公式。解到此处，便需要更具具体题目具体做答了。解答：. 即.当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴. 不妨设MNy轴，则PQx轴.F(0, 1) MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0分别代入椭圆中得：|MN|=, |PQ|=2S四边形PMQN=|MN|PQ|=2=2当MN,PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1 (k0)，代入椭圆中得(k2+2)x2+2kx1=0, x1+x2=, x1x2=同理可得：S四边形PMQN=|MN|PQ|=(当且仅当即时，取等号).又S四边形PMQN =，此时, S四边形PMQN综上可知：(S四边形PMQN )max=2, (S四边形PMQN )min=总结上述题目，关键问题变成了什么时候套用该通解法呢？其实大家细心会发现，题目会告诉你什么时候用的，比如出现弦长，或者隐性的出现直线和曲线相交，大家可以从下面两个题目入手，自己总结规律。1如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（）写出双曲线C的离心率与的关系式；OFxyPM第1题图H（）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。2已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积