多元函数求极值拉格朗日乘数法

第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数zf（兀y）在点（xo,儿）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于（，yo）的点，如果都适合不等式f（x,y）f（x,y）00则称函数f（兀y）在点（，yo）有极大值f（“，yo）。如果都适合不等式f（x,y），f（x,y）00则称函数f（兀y）在点（x0,y0）有极小值f（x0,y0）.极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例1函数z3x2+4y2在点（0,0）处有极小值。因为对于点（0,0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0,0,0）是开口朝上的椭圆抛物面z3x2+4y2的顶点。例2函数z=一x2y2在点（0,0）处有极大值。因为在点（0,0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0,0,0）是位于xOy平面下方的锥面z，_x2y2的顶点。例3函数z,xy在点（0,0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0,0）处的函数值为零,而在点（0,0）的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数z=f（x,y）在点（xo,yo）具有偏导数，且在点（xo,yo）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx(x,y0)，,fy(x,y0)，0证不妨设z=f（y）在点（xo,yo）处有极大值。依极大值的定义，在点0,y）的某邻域内异于（x0,y）的点都适合不等式f（x,y）f（x,y）00特殊地，在该邻域内取y，y,而xx的点，也应适合不等式f（x,y）0时具有极值，且当A0时有极大值，当A0时有极小值;(2) Ac-B20时没有极值；(3) AC-B20时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数zf(兀y)的极值的求法叙述如下：第一步解方程组f(x,y)0,f(x,y)0xy求得一切实数解，即可以得到一切驻点。第二步对于每一个驻点(xo,y0)，求出二阶偏导数的值A,B和C。第三步定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x，y)是否是极值、是极大值还是极小值。例1求函数f(兀y)x3-y3+3x2+3y2-9x的极值。解先解方程组f(x,y)3x2,6x-9=0,f(x,y)-3y2,6y=0,y求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)。再求出二阶偏导数f(x,y)6x,6,f(x,y)=0,f(x,y)=-6y,6xxxyyy在点(1,0)处，AC-B21260又A0，所以函数在(I，0)处有极小值f(1,0)-5；在点(1,2)处，AC-B212(-6)0，所以f(1,2)不是极值；在点(-3,0)处，AC-B2-1260又A0所以函数在(-3,2)处有极大值f(-3,2)=31。例2某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。2m解设水箱的长为xm，宽为yrn，则其高应为xy，此水箱所用材料的面积22xyA=2（xy+y，+x，）xyA=2（xy+-+-）xy（x0，y0）可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点(x，y)。A=2(y-厶=0令xx2，A=2(x-)=0yy2解这方程组，得：x=32，y=32从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。二、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数zf(x，y)在附加条件*(x，y)0下的可能极值点，可以先构成辅助函数F(x,y)f(x,y)+,*(x,y)其中,为某一常数求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联f(x,y)+,*(x,y)0,xxf(x,y)+,*(x,y)0,yy*(x,y)0.由这方程组解出x,y及,，则其中x,y就是函数f(x，y)在附加条件下*(兀y)0的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数uf(x,y,z,t)在附加条件*(x,y,z,t)0，中(x,y,z,t)=0下的极值，可以先构成辅助函数F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)+，i*(x,y,z,t)+件中(xy,z,t)(2)其中1，2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的x、y、z、就是函数f(兀y，z，。在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。例3求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。解设长方体的三棱长为x,y,z，则问题就是在条件(x,y,z,t)=2xy+2yz+2xz一a2=0(3)下，求函数V=xyz(x0,y0,z0)的最大值。构成辅助函数F(x,y,z)=xyz+(2xy+2yz+2xz一a2)求其对x、y、z的偏导数，并使之为零，得到yz+2(y+z)二0xz+2(x+z)二0、xy+2(y+z)二0再与(10)联立求解。因x、y、z都不等于零，所以由(11)可得xzyxyy=y+z,z=x+z.由以上两式解得x=y=z将此代入式(10)，便得6ax二y二z二6这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。也就是说，表面积为a2的长方体中，以棱长为、,；&/6的正方体的体积为最大，最大体积V二J6a3/36。小结：本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。