2020届高考数学 专题十三 三视图与体积、表面积精准培优专练 理

培优点十三 三视图与体积、表面积一、根据几何体的结构特征确认其三视图例1：中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）ABCD【答案】A【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图，应选A例2：如图，在长方体中，点是棱上一点，则三棱锥的侧视图是（）ABCD【答案】D【解析】在长方体中，从左侧看三棱锥，、的射影分别是、，的射影为，且为实线，的射影为，且为虚线故选D二、根据三视图还原几何体的直观图例3：如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A三棱锥B三棱柱C四棱锥D四棱柱【答案】B【解析】由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱故选B例4：若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）ABCD【答案】D【解析】由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱故选D三、已知几何体的三视图中某两个视图，确定另外一种视图例5：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）ABCD【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径知其侧视图应为A故选A例6：一个几何体的三视图中，正视图和侧视图如图所示，则俯视图不可以为（）ABCD【答案】C【解析】A中，该几何体是直三棱柱，所以A有可能；B中，该几何体是直四棱柱，所以B有可能；C中，由题干中正视图的中间为虚线知，C不可能；D中，该几何体是直四棱柱，所以D有可能综上，故选C四、根据几何体的三视图计算表面积例7：如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为故选C例8：如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（）ABCD【答案】A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图设球的半径为，则，解得因此它的表面积为故选A五、根据几何体的三视图计算体积例9：某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积(单位：)是（）ABCD【答案】A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为，高为的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为的三棱锥的组合体，该几何体的体积故选A例10：如图所示，已知多面体中，、两两互相垂直，平面平面，平面平面，则该多面体的体积为_【答案】【解析】法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点作于，连接，即把多面体分割成一个直三棱柱和一个斜三棱柱由题意，知三棱柱的体积，三棱柱的体积，故所求多面体的体积为法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半又正方体的体积，故所求多面体的体积为对点增分集训一、选择题1如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（）ABCD【答案】C【解析】三视图还原为如图所示三棱锥，由正方体的性质得、为直角三角形，为正三角形，故选C2某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该几何体的表面积（）ABCD【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为，故选D3已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）ABCD【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆柱挖去其后的剩余部分，该圆柱的底面半径为，高为，故其体积为圆柱体积的，故选D4某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）ABCD【答案】C【解析】该三视图还原成直观图后的几何体是如图所示的四棱锥，和是两个全等的直角三角形，且，故几何体的体积为，故选C5我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为和，高为，则该刍童的体积为（）ABCD【答案】B【解析】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为和，高为，所以几何体体积故选B6如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各棱中，最长的棱的长度为（）ABCD【答案】B【解析】三视图还原成如图所示的几何体，三棱锥，则，故选B7在正方体中，、分别为棱、的中点，用过点、的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为（）ABCD【答案】C【解析】过点，截正方体的平面为如图所示的平面，由图知位于截面以下部分的几何体的侧视图为C选项，故选C8如图所示的网格是由边长为的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）ABCD【答案】D【解析】根据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱割去一个三棱锥所得的几何体，如图所示，所以其体积为故选D9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）ABCD【答案】B【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是由一个正方体切去正方体的一角得到的，故该几何体的外接球为正方体的外接球，所以球的半径，则故选B10某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（）ABCD【答案】C【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如图，由三视图可知底面三角形是边长为，顶角的三角形，所以其外接圆半径结合正弦定理可得，由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离，所以球半径，故选C11如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）ABCD【答案】B【解析】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体中的四棱锥，其中在长方体中，点、分别为、的中点，由题意得，所以可得，又，所以平面，即线段即为四棱锥的高，所以四棱锥的体积故选B12在棱长为的正方体中，、分别为线段和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A有最小值B有最大值C为定值D为定值【答案】D【解析】依题意，设四边形的四个顶点在后面、上面、左面的投影点分别为、，则四边形在上面、后面、左面的投影分别如下图，所以在后面的投影的面积为，在上面的投影面积，在左面的投影面积，所以四边形所围成的图形分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和为故选D二、填空题13某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该几何体的表面积是【答案】【解析】由三视图可知，该几何体的直观图为如图所示的四棱柱，则，所以该四棱柱的表面积为14九章算术是我国古代数学名著，在九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为【答案】【解析】由三视图可得该“阳马”的底面是边长为的正方形，且高为，故该“阳马”的表面积为15已知圆锥的高为，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于【答案】【解析】设该圆锥的外接球的半径为，依题意得，解得，故所求球的体积16已知点、是半径为的球面上的点，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是【答案】【解析】设点在平面上的射影为，如图，由，知，点在平面上的射影为的外心，即的中点，设球的球心为，连接，则在的延长线上，连接、，设，则，所以，即，解得，则，设，则，所以，所以，令，则，由，得或，易知当时，函数取得最大值，所以又，所以三棱锥体积的最大值为18