Little定理的应用

一、Little定理的应用1、例3.1考察一个分组流通过一个节点在一条链路上的传输过程。假定分组到达率为入， 分组在输出链路上的平均传输时间x ，在该节点中等待传输（不包括正在传输）的分组的 个数（队长）为NQ，分组在节点中等待的时间（不包括传输时间）为W。如果仅把节点中 等待的队列作为考虑的对象，则可以应用Little定理，有NQ =入W。如果仅把输出链路 作为考虑对象，则可以应用Little定理，有p =入x, 表示在传输链路上的平均分组数。 由于该链路上最多有一个分组在传输，因此表示信道处于忙的时间所占的比例，即信道利用率。2、假定一个服务大厅有K个服务窗口，该服务大厅最多可容纳N个顾客（N N K），又假定服务大厅始终是客满的，即离开一个顾客将会有一个新顾客立刻进入大厅。设每个顾籥的 平均服务时间为x，问顾客在大厅内停留的时间T=?N =IT n T =-解 设进入大厅的顾客到达率为卫冗X对整个系统而言，应用Little定理有X对服务窗口应用Little定理有X，最后有K3、例3.4现在改变例3.3中顾客到达方式。假定顾客到达时发现服务窗口被占满就立即离 开系统（即顾客被阻塞或丢失）。设顾客的到达率为入，问顾客被阻塞的概率。为多少？ 解因为顾客是随机到达的，则系统有时满，有时空。平均而言，平均处于忙的窗口数为 k （ k W K）。则系统中的平均甬户数为K k =（1- P ）入X式中，（1-。）入表示没有被 阻塞部分（或被正常服务部分1）蹄客到X率。上式给出了系统阻塞概率的下限。4、假设一个电话交换机同时可以服务 K = 300，用户的呼叫，每个用户的平均通话时间 为3分钟，设该交换机服务区内有3000个用户。如果在忙时，每个用户至少半小时打一次 电话，则每分钟的呼叫到达率入N 100次/分钟，根据前面的讨论，肯定会出现打不通电 话的情况。二、M/M/1 模型1、例：设某学校有一部传真机为全校2万名师生提供传真服务。假定每份传真的传输时间 服从负指数分布，其平均传输时间为3分钟土并假定每个人发送传真的可能性相同。如果希 望平均排队的队长不大于5人，试问平均每人间隔多少天才可以发送一份传真?2一 忍0.854 假定要发送的传真服从PoEs02!5达，则该传真服务系统可用M/M/1队列来描述。已知 =3分钟：本Q = 5人，要求解入（份/天）。份/分钟，约410份每天。则平均每个用户要隔20000/41049天才可以发送一份传真。如果提供传真服务的时间不是 每天24小时开放，如每天开放12小时，则间隔的时间要增加一倍。2、例：设有一个分组传输系统。其分组到达过程是到达率为入的Poisson过程，分组长度 服从指数分布，其均值为1/口 .如果将k个这样的分组流统计复接在一:个高速信道上来传输， 即将输入到达率提高k倍，并将信道速率提高k倍（艮浦艮务时间变为1!/kp-这相当于将k 个平行的低速传输的信道统计复接到一个高速信道上。试比较两种种情况一 解原系统中的平均分组数和平均时延为 = k/kk = /一k统计复接后系统中的平均分组数和平均时延为 从上式中可以看出，采用统计复用后，系统的平均时延降低到原来平均时延T的1/k。将一个高速信道分解为k个低速信道后，平均时延将增加k倍。分解的另一个问题是，当各个低速信道的到达率不同时，出现忙闲不均，有的信道很闲， 有的信道不足以满足用户的需求。这种分解的优点是当子信道的容量与用户到达相匹配时， 各信道没有等待时延和等待队列；而在高速信道中，尽管传输的时延减少了，但各用户的等 待时间及时延的变化都会增加。3、例3.7假定有m个信道，到达率为入的分组流动态共享这m个信道，每个信道的服务时间为1/M，试求分组的平均时延T，并将该平坷时延与到达率为1的分组流在服务速率P为mp （输入分组在一个高速信道上传输）的单信道上传输的平均时隹土进除庄较顽 + m R（1 P ） 解该例题的前一部分为一个服务速率为p的M/M/m排队系统，后一部分为服务速率为m p的一个M/M/1排队系统。因此二1 + P Qm旦 m R 一人P 1P -0 P R 0.T/. Mm.Q Q / T在轻负荷的情况下（）有4Pn M1也就是人 11T/ M 1Q Q优，石轻负荷的情况下，房m时延主要由分组的传输时延决定，m个信道时的传输时延是单信道高速传输时延的m倍。在重负荷的情况下（ 接近于1），有也就是说，在重负荷的情况下，分组的时延主要由分组的等待时延所决定，此时两者时延基本相等。