江苏省2019高考数学二轮复习 自主加餐的3大题型 选修4系列强化练（三）选修4-5 不等式选讲（理）（含解析）

选修4系列专项强化练(三)选修45：不等式选讲(理科)题型一含绝对值不等式1解不等式：|x2|x|x2|2.解：当x2时，不等式化为(2x)x(x2)2，即x23x0，解得3x2；当2x2时，不等式化为(2x)x(x2)2，即x2x0，解得2x1或0x2；当x2时，不等式化为(x2)x(x2)2，即x23x40，解得x2.所以原不等式的解集为x|3x1或x02解不等式|x2|x1|1.解：令f(x)|x2|x1|.当x2时，f(x)(x2)(1x)3，此时f(x)|x2|x1|1恒成立；当2x1时，f(x)(x2)(1x)2x1，令f(x)1，即2x11，解得x0，由于2x1，则有2x0；当x1时，f(x)(x2)(x1)3，此时f(x)1不成立综上所述，不等式|x2|x1|1的解集为(，03已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1.证明：因为|x5y|3(xy)2(xy)|.由绝对值不等式性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1. 临门一脚1形如|xa|xb|c(c)不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：(1)求零点；(2)划分区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值2绝对值不等式也可用|xa1|xa2|的几何意义求解集3应用绝对值不等式|a|b|ab|a|b|求最值，一定要写出等号成立的条件题型二基本不等式的应用1已知a，b是正数，求证：a24b24.证明：因为a，b是正数，所以a24b24ab.所以a24b24ab2 4，当且仅当a2b，且ab时取等号即a24b24.2已知a，b，c均为正数，求证：a2b2c226.证明：法一：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc)，又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，所以a2b2c2abbcca.同理.所以a2b2c22abbcca6，当且仅当abc时取等号所以原不等式成立临门一脚1基本不等式应用于证明关键是和积转化，所以进行证明前一定要观察不等式两边式子结构的特征系数、方次2要根据条件特征选择使用三元还是两元的基本不等式，等号成立条件一定要写3多次使用基本不等式时要关注多个等号成立条件是否能够同时成立题型三柯西不等式的应用1求函数y3sin x2的最大值解：y3sin x23sin x4，由柯西不等式得y2(3sin x4)2(3242)(sin2xcos2x)25，当且仅当4sin x3|cos x|，即sin x，|cos x|时等号成立，所以ymax5.所以函数y3sin x2的最大值为5.2已知a，b，cR,4a2b22c24，求2abc的最大值解：由柯西不等式，得(2a)2b2(c)2(2abc)2.因为4a2b22c24，所以(2abc)210.所以2abc，所以2abc的最大值为，当且仅当a，b，c时等号成立3设x，y，z均为正实数，且xyz1，求证：xyyzzx.证明：x，y，z均为正实数，且xyz1，由柯西不等式可得(xyyzzx)22(xyyzzx)2.xyyzzx.4设a1，a2，a3均为正数，且a1a2a3. 求证： 1.证明：法一：因为(a1a2)(a2a3)(a3a1)339，当且仅当a1a2a3时等号成立又a1a2a3.所以29，所以1.法二：由柯西不等式得9(a1a2)(a2a3)(a3a1)222()2()2()229，当且仅当()2()2()2，即a1a2a3时取等号，所以1.临门一脚1二元柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，a，b，c，dR，当且仅当adbc时，等号成立2三元柯西不等式可以用向量形式记忆：即|，当且仅当是零向量，或存在实数k，得k时，等号成立3利用柯西不等式来证明不等式和基本不等式一样也要关注式子结构特点、系数、方次、等号成立条件，如果不能够直接使用，要对所给条件进行变形后才能使用4利用柯西不等式求最值等问题， 也要关注式子结构特点、系数、方次，最后一定要写出等号成立条件5