2022年北京中考六年真题荟萃《图形的平移旋转与轴对称》

北京中考六年真题荟萃图形的平移、旋转与轴对称图形的平移1、（06 年北京）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时，这对 60 角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论图形的轴对称2、如图，在四边形ABCD 中，BCBA，AD DC，BD 平分 ABC.求证：A+C=180.3、如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB，将纸片 OABC沿 OB 折叠，使点A落在A的位置，若5OB，21tanBOC，则点A的坐标是多少？4、如图，在直角坐标系中有四个点A（-6，3）、B（-2，5）、C（0，m）、D（n，0），当四边形ABCD 的周长最短OABDCABCDAABCOxy精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 12 页xyABCDO时，求 m、n 的值5、（09 年漳州）几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连结A B交l于点P，则PAPBA B的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图 1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是 _；（2）如图 2，O的半径为 2，点A B C、在O上，OAOB，60AOC，P是OB上一动点，则PAPC的最小值是 _；（3）如图 3，45AOB，P是AOB内一点，10PO，QR、分别是OAOB、上的动点，则PQR周长的最小值是 _（A B AP l A B P R Q 图 3 O A B C 图 2 A B E C P D 图 1 P 精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 12 页图形的旋转6、（10 朝阳一模）请阅读下列材料：问题：如图 1，在等边三角形ABC 内有一点P，且 PA=2，PB=3，PC=1求BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长李明同学的思路是：将BPC 绕点 B 顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2）连接 PP ，可得 PPC 是等边三角形，而 PP A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以 AP C=150 ，而 BPC=AP C=150 进而求出等边ABC 的边长为7问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P，且 PA=5，BP=2，PC=1求 BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长7、如图，已知：如图，四边形ABCD 中，AD=CD，75ABC，60ADC，AB2，BC2，（1）以线段BD，AB，BC 作为三角形的三边，则这个三角形为三角形（填：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）；求 BD 边所对的角的度数；（2）求四边形ABCD 的面积8、在等腰直角ABC 中，D 是 AB 中点，EDF=90，求证：DE=DF.ABCD图 3 图 1 图 2 精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 12 页FEDCBA9、如图，已知ABC 为等腰直角三角形，BAC=90，E、F 是 BC 边上点，且 EAF=45 求证：222BECFEF10、（1）在直角 ABC 中，D 是 AB 中点，EDF=90，求证：222EFBFAE.（2）如图，ABC 中，D 是 BC 边的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且EDF=90，求证 BE+CF EF11、（10 丰台二模）已知：如图，在正方形ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC 边上的点，且AEEF于点 E（1）延长 EF 交正方形ABCD 的外角平分线CPP于点，试判断AEEP与的大小关系，并说明理由；ACBFE精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 12 页（2）在 AB 边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由12、（09 年湖州）若P 为ABC所在平面上一点，且120APBBPCCPA，则点P叫做ABC的费马点.（1）若点P为锐角ABC的费马点，且60ABCPAPC，3，4，则PB的值为 _；（2）如图，在锐角ABC外侧作等边ACB连结BB.求证：BB过ABC的费马点P，且BB=PAPBPC.13、（10 福建宁德）如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转60 得到 BN，连接 EN、AM、CM.求证：AMB ENB；当 M 点在何处时，AM CM 的值最小；当 M 点在何处时，AM BM CM 的值最小，并说明理由；当 AM BM CM 的最小值为13时，求正方形的边长.PBCA真题演练精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 12 页1、（07 北京）如图，已知ABC（1）请你在BC边上分别取两点DE，（BC的中点除外），连结ADAE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明ABACADAE2、（08 北京）请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点ABE，在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC，若60ABCBEF，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；（2）将图 1 中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图 1 中2(090)ABCBEF，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含的式子表示）3、（09 北京）在ABCD中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转90得到线段EF(如图1)（1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD 上任意一点（P1不与 C 重合）时，连结EP1绕点 E 逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线CBA精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 12 页FC1与直线 CD 的位置关系，并加以证明；当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线 C1C2与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若 AD=6,tanB=43,AE=1,在的条件下，设CP1=x，S11PFC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.4、（10 北京）问题：已知ABC 中，BAC=2ACB，点 D 是ABC 内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究DBC 与ABC 度数的比值。请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。(1)当BAC=90 时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB 与 AC 的数量关系为；当推出DAC=15 时，可进一步推出DBC 的度数为；可得到DBC 与ABC 度数的比值为；(2)当BAC 90 时，请你画出图形，研究DBC 与ABC 度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。5、（11 北京）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O。若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，ADBC的长度为三边长的三角形的面积。A C B 精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 12 页FEDABC图3OABDCEOABDC小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的BDE即是以AC，BD，ADBC的长度为三边长的三角形（如图2）。参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，ABC的三条中线分别为AD，BE，CF。（1）在图 3 中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于_。（五）补充例题：(供学用余力的同学提高使用)1、（11 海淀一模）在RtABC 中，ACB=90，tanBAC=12.点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连结 BD，F 为BD 中点.图1图2精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 12 页（1）若过点D 作 DEAB 于 E，连结 CF、EF、CE，如图 1 设 CFkEF，则 k=；（2）若将图1中的 ADE 绕点 A 旋转，使得D、E、B 三点共线，点F 仍为 BD 中点，如图2 所示求证：BE-DE=2CF；（3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD 中点，求线段CF 长度的最大值2、（11 海淀二模）已知ABC，以 AC 为边在ABC外作等腰ACD，其中 AC=AD.（1）如图 1，若2DACABC，AC=BC，四边形ABCD 是平行四边形，则ABC；（2）如图 2，若30ABC，ACD是等边三角形，AB=3，BC=4.求 BD 的长；（3）如图 3，若ABC 为锐角，作AHBC 于 H，当2224BDAHBC时，2DACABC 是否成立？若不成立，说明你的理由，若成立，并证明你的结论.3、（10 西城二模）在ABC 中，点 P 为 BC 的中点（1）如图 1，求证：AP21（AB+BC）；（2）延长 AB 到 D，使得 BD=AC，延长 AC 到 E，使得 CE=AB，连结 DE如图 2，连结 BE，若 BAC=60，请你探究线段BE 与线段 AP 之间的数量关系写出你的结论，并加以证明；ABCD1图ABCD2图ABCDH3图BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 12 页请在图3 中证明：BC21DE 4、（09 宣武一模）如图，已知等边三角形ABC 中，点 D、E、F 分别为边AB、AC、BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时，DMN 也随之整体移动）（1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你连结EN，并判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？请写出结论，并说明理由；（2）如图 2，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，若点 M 在点 C 右侧时，请你判断（1）的结论中EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由（图 1）图 2）（图 3）5、（10 大兴二模）如图 17、18 是两个相似比为1：2的等腰直角DMN 和 ABC，将这两个三角形如图19 放置，DMN 的斜边 MN 与 ABC 的一直角边AC 重合.在图 19 中，绕点D旋转 DMN，使两直角边DM、DN 分别与BCAC、交于点FE,，如图 20.求证：精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 12 页222EFBFAE；在图 19 中，绕点 C 旋转 DMN，使它的斜边CM、直角边CD的延长线分别与AB交于点FE、，如图 21，此时结论222EFBFAE是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.如图 22，在正方形ABCD中，FE、分别是边CDBC、上的点且满足CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AFAE、分别与对角线BD交于点NM、.线段BM、MN、DN恰能构成三角形.请指出线段BM、MN、DN所构成的三角形的形状，并给出证明.6、（10 朝阳二模）如图1，四边形ABCD，将顶点为A 的角绕着顶点A 顺时针旋转，若角的一条边与DC 的延长线交于点 F，角的另一条边与CB 的延长线交于点E，连接 EF（1）若四边形ABCD 为正方形，当EAF=45 时，有 EF=DFBE请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；（2）如图 2，如果在四边形ABCD 中，AB=AD，ABC=ADC=90 ，当 EAF=21BAD 时，EF 与 DF、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；（3）如图 3，如果四边形ABCD 中，AB=AD，ABC 与 ADC 互补，当 EAF=21BAD 时，EF 与 DF、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求 CEF 的周长（直接写出结果即可）精选学习资料 -名师归纳总结-第 11 页，共 12 页图 1 图 2 图 3 7、（10 门头沟二模）小华将一张矩形纸片（如图 1）沿对角线CA 剪开，得到两张三角形纸片（如图 2），其中 ACB=，然后将这两张三角形纸片按如图3 所示的位置摆放，EFD 纸片的直角顶点D 落在 ACB 纸片的斜边AC 上，直角边 DF 落在 AC 所在的直线上.（1）若 ED 与 BC 相交于点G，取 AG 的中点 M，连接 MB、MD，当 EFD 纸片沿 CA 方向平移时（如图3），请你猜想并写出MB 与 MD 的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，求出BMD 的大小（用含的式子表示），并说明当45 时，BMD 是什么三角形？（3）在图 3 的基础上，将 EFD 纸片绕点 C 逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90），此时 CGD 变成 CHD，同样取 AH 的中点 M，连接 MB、MD（如图 4），请继续探究MB 与 MD 的数量关系和BMD 的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明为何值时，BMD 为等边三角形.精选学习资料 -名师归纳总结-第 12 页，共 12 页