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高难拉分攻坚特训(三)1若函数f(x)axx2ln x存在极值，且这些极值的和不小于4ln 2，则a的取值范围为()A2，) B2，)C2，) D4，)答案C解析f(x)a2x，因为f(x)存在极值，所以f(x)0在(0，)上有根，即2x2ax10在(0，)上有根，所以a280，显然当0时，f(x)无极值，不符合题意，所以a280，即a2或a0，则f(x1)，f(x2)为f(x)的极值，所以f(x1)f(x2)(ax1xln x1)(ax2xln x2)a(x1x2)(xx)(ln x1ln x2)ln 24ln 2，所以a2.综上，a的取值范围为2，)，选C.2A，B为单位圆(圆心为O)上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧 (包含端点)上一动点，若(，R)，则的取值范围为_答案解析如图，以圆心O为坐标原点建立直角坐标系，设A，B两点在x轴上方且线段AB与y轴垂直，A，B为单位圆(圆心为O)上的点，O到弦AB的距离为，点A，点B，即，又C是劣弧 (包含端点)上一动点，设点C坐标为(x，y)，则(x，y)，y1，解得1，故的取值范围为.3已知圆C：x2y22x0，圆P在y轴的右侧且与y轴相切，与圆C外切(1)求圆心P的轨迹的方程；(2)过点M(2,0)，且斜率为k(k0)的直线l与交于A，B两点，点N与点M关于y轴对称，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，是否存在常数m，使得为定值？若存在，求出该常数m与定值；若不存在，请说明理由解(1)圆C的方程可化为(x1)2y21，则圆心C(1,0)，半径r1.设圆心P的坐标为(x，y)(x0)，圆P的半径为R，由题意可得所以|PC|x1，即x1，整理得y24x.所以圆心P的轨迹的方程为y24x(x0)(2)由已知，直线l的方程为yk(x2)，不妨设t，则直线l的方程为y(x2)，即xty2.联立，得消去x，得y24ty80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为点M(2,0)与点N关于y轴对称，所以N(2,0)，故k1，所以t，同理，得t，所以222t28t16mt22t28t16mt22t28t16mt22t24mt2(2m)t24，要使该式为定值，则需2m0，即m2，此时定值为4.所以存在常数m2，使得为定值，且定值为4.4已知函数f(x)xa(ln x)2，aR.(1)当a1，x1时，试比较f(x)与1的大小，并说明理由；(2)若f(x)有极大值，求实数a的取值范围；(3)若f(x)在xx0处有极大值，证明：1f(x0)1时，f(x)x(ln x)2，x1.f(x)12(ln x).令g(x)x2ln x，x1，则g(x)1，当x(1,2)时，g(x)0，g(x)单调递增g(x)g(2)22ln 20，即f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增f(x)f(1)1.故当a1，x1时，f(x)1.(2)f(x)1(x0)，令h(x)x2aln x(x0)，则h(x)1，当a0时，f(x)x无极大值当x(0，x1)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在xx1处有极小值，f(x)无极大值当a0时，h(x)在(0,2a)上单调递减，h(x)在(2a，)上单调递增，f(x)有极大值，h(2a)2a2aln (2a)2a1ln (2a)，又h(1)10，h(e)e2a0，f(x)单调递增；当x(x0，e)时，f(x).(3)证明：由(2)可知aln x0，f(x0)x0a(ln x0)2x0(1x0e)，设p(x)x(1x0，p(x)在(1，e)上单调递增，p(1)p(x)p(e)，即1p(x)，故1f(x0).- 4 -
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