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基础巩固练(四)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019河北武邑中学二次调研)设i是虚数单位，若复数z，则()A.i B1iC1i D.i答案A解析由zi，得i.故选A.2(2019浙江百校联考)已知集合Ax|2x1，Bx|yln (1x)，则AB等于()Ax|x0 Bx|x1Cx|0x1 Dx|0x1答案C解析集合Ax|2x1x|x0，Bx|x1，所以ABx|0x1，故选C.3(2019石家庄二模)某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是()A支出最高值与支出最低值的比是81B4至6月份的平均收入为50万元C利润最高的月份是2月份D2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同答案D解析由题图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是61，故A错误；由题图可知，4至6月份的平均收入为(503040)40万元，故B错误；由题图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误；由题图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确故选D.4(2019赤峰市高三二模)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S817S4，则a5()A8 B8 C16 D16答案D解析设等比数列an的公比为q.当q1时，S88a1,17S4174a168a1，因为a10，所以S88a1，S817S4；当q1时，S8，17S4，故，解得q1或q2或q2，因为等比数列an为正项等比数列，故q2，所以a5a12416，故选D.5(2019佛山二模)已知(1x)n(nN*，n10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是()A6 B7 C8 D9答案B解析已知(1x)n(nN*，nf(2a)f(0) Bf(a)f(0)f(2a)Cf(2a)f(a)f(0) Df(2a)f(0)f(a)答案C解析因为f(x)是偶函数，所以f(1)f(1)，即1a2，所以a1，易知当x0时，f(x)是增函数，又知2aa0，所以f(2a)f(a)f(0)，故选C.9(2019大庆三模)第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形的一个锐角为，且tan2，若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为()A. B. C. D.答案B解析设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH，如图，则tan2，设小正方形的边长为a，则2，即AF2a，大正方形的边长为a，则小正方形与大正方形的面积比为.故选B.10(2019广州二模)若曲线yx32x22在点A处的切线方程为y4x6，且点A在直线mxny10(其中m0，n0)上，则的最小值为()A4 B32 C64 D8答案C解析设A(s，t)，yx32x22的导数为y3x24x，可得切线的斜率为3s24s，由切线方程为y4x6，可得3s24s4，t4s6，解得s2，t2或s，t，由点A在直线mxny10(其中m0，n0)上，可得2m2n1成立，则(2m2n)2264，当且仅当nm时，取得最小值64，故选C.11(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C2 D.答案A解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.故选A.12(2019深圳二模)如图，在四面体ABCD中，ABCD2，ACBD，ADBC，E，F分别是AD，BC的中点若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为()A. B. C. D.答案B解析将四面体ABCD补成长、宽、高分别为，1的长方体(如图)由于EF，故截面为平行四边形MNKL，可得KLKN，设异面直线BC与AD所成的角为，则sinsinHFBsinLKN，解得sin，S四边形MNKLNKKLsinNKL2，当且仅当NKKL时取等号故选B.第卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13(2019合肥一模)设x，y满足约束条件则z2xy的取值范围为_答案(1,6)解析由约束条件作出可行域如图，化目标函数z2xy为y2xz，由图可知，当直线y2xz过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为1；当直线y2xz过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为6.所以z2xy的取值范围为(1,6)14(2019肇庆二模)已知数列an为等比数列，a12，a34，则aaaa_.答案1020解析数列an为等比数列，a12，a34，q22，a(a1qn1)24(q2)n142n12n1，aaaa1020.15(2019长春质检)已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为_答案解析因为在ABC中，a2b2c2bc，根据余弦定理，可知cosA，所以A，sinA.又bc4，所以SABCbcsinA4.16(2019宣城二模)关于x的方程kx2在区间上有两个实根，则实数k的最小值是_答案解析由kx2得kx2，设g(x)，则g(x)，则当x时，g(x)0，即函数g(x)在上为增函数，且g(e)，直线ykx2过定点(0，2)，设过点(0，2)与g(x)相切的切线为l，若方程kx2在区间上有两个实根，则直线ykx2在切线l与过点A的直线之间，由图象知当直线过点A时直线的斜率最小，此时k的最小值为k.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60分17(本小题满分12分)(2019郑州第二次质量预测)已知数列an中，a11，an0，前n项和为Sn，若an(nN*，且n2)(1)求数列an的通项公式；(2)记cnan2，求数列cn的前n项和Tn.解(1)在数列an中，anSnSn1(n2)，an，且an0，得1(n2)，数列是以1为首项，公差为1的等差数列，1(n1)1n，Snn2.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，当n1时，a11，也满足上式，数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)，知an2n1，cn(2n1)22n1，则Tn12323525(2n1)22n1，4Tn123325527(2n3)22n1(2n1)22n1，两式相减，得3Tn22(232522n1)(2n1)22n122(2n1)22n122n1，Tn.18(本小题满分12分)(2019山东德州一模)如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD，E，F为AB的三等分点，且EFCD，将AED和BFC分别沿DE，CF折起到A，B两点重合，记为点P.(1)证明：平面PCF平面PEF；(2)若PFFC，求PD与平面PFC所成角的正弦值解(1)证明：因为ABCD，EFCD，所以四边形CDEF为平行四边形，所以AEDAFC；又因为AEDBFC，所以AEDBFC，从而AFCBFC90，所以PEED，PFFC.因为CFDE，所以PEFC，又因为PEPFP，PE平面PEF，PF平面PEF，所以FC平面PEF.又因为FC平面PFC，所以平面PEF平面PFC.(2)在平面PEF内作POEF，垂足为O，取CD的中点为M.由(1)可知，FC平面PEF，故FCPO，可得PO平面CDEF，所以POOM，POOF，又因为PFPE，所以OEOF，所以OMFC，所以OFOM，所以OP，OF，OM两两垂直；以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设PFFC2，而PEF为等边三角形，所以P(0,0，)，F(1,0,0)，C(1,2,0)，D(1,2,0)，所以(1,0，)，(1,2，)，(1,2，)；设n(x，y，z)为平面PFC的法向量，由即可取n(，0,1)设PD与平面PFC所成的角为，则sin，所以PD与平面PFC所成角的正弦值为.19(本小题满分12分)(2019南昌一模)市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年，新店面需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业，经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装，已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换(用频率估计概率)(1)若该商家新店面全部安装了B型节能灯，求一年内5支节能灯在使用期间恰好更换2支灯的概率；(2)若该商家全部使用A型节能灯或B型节能灯，则为保证正常营业，应购买哪一种节能灯更合算？解(1)由频率分布直方图可知，B型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.00102000.2，用频率估计概率，得B型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为.所以一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为.所以一年内5支节能灯在使用期间恰好更换2支灯的概率为C23.(2)共需要安装5支节能灯，若选择A型节能灯，一年共需花费512036005200.75103870元；若选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换的支数服从二项分布B，故一年内需更换灯的支数的期望为54支故一年共需花费2536005550.75103967.5元因为967.5870，所以该商家应选择A型节能灯20(本小题满分12分)(2019重庆六区一模)如图，已知椭圆C：1，其左、右焦点为F1(2，0)及F2(2,0)，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列(1)求椭圆C的方程；(2)记GF1D的面积为S1，OED(O为原点)的面积为S2，试问：是否存在直线AB，使得S1S2？请说明理由解(1)|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列，2a|AF1|AF2|2|F1F2|8，a4.又c2，b212，椭圆C的方程为1.(2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，设直线AB的方程为yk(x2)，将其代入1，整理得(4k23)x216k2x16k2480，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.点G的横坐标为，G.DGAB，k1，解得xD，即D，RtGDF1和RtODE相似，若S1S2，则|GD|OD|， ，整理得8k290，方程8k290无解，不存在直线AB，使得S1S2.21(本小题满分12分)(2019新乡模拟)已知函数f(x)x22x2aln x，若函数f(x)在定义域上有两个极值点x1，x2，且x10.解(1)因为函数f(x)在定义域(0，)上有两个极值点x1，x2，且x1x2，所以f(x)2x20在(0，)上有两个根x1，x2，且x1x2，即x2xa0在(0，)上有两个不相等的根x1，x2，所以解得0a.(2)证明：由题意可知x1，x2(0x1x2)是方程x2xa0的两个不等的实根，所以其中0a.故f(x1)f(x2)x2x12aln x1x2x22aln x2(x1x2)22x1x22(x1x2)2aln (x1x2)2aln a2a1，令g(a)2aln a2a1，其中0a，故g(a)2ln agln 2，即f(x1)f(x2)ln 20.(二)选考题：10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程(2019辽宁抚顺一模)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为2sin，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C1的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)设D为曲线C1上在第二象限内的点，且在点D处的切线与直线l平行，求点D的直角坐标解(1)由已知，得22sin，得x2y22y，即x2(y1)21，所以C1的参数方程为(为参数)直线l的直角坐标方程为xy20.(2)由(1)知曲线C1是以C(0,1)为圆心、半径为1的圆，设点D(cos，1sin)，因为点D在第二象限，所以直线CD的斜率kCDtan，得，得点D的直角坐标为.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲(2019辽宁抚顺一模)已知函数f(x)|xa|.(1)当a1时，解不等式f(x)5；(2)若xR，f(x)|m1|恒成立，求实数m的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，当x1时，f(x)x1x12x5，解得x；当1x1时，f(x)x1x125，解集为；当x1时，f(x)x1x12x5，解得x；综上，当a1时，不等式f(x)5的解集为.(2)显然有a0，由绝对值的三角不等式，得f(x)|xa|a|2，所以|m1|2，解得1m3，即m1,315
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