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素养提升练(八)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知m，nR，集合A2，log7m，集合Bm，n，若AB1，则mn()A1 B2 C4 D8答案D解析因为AB1，则log7m1，m7，Bm，n7，n，n1，则mn8.故选D.2(2019无锡一中三模)已知i为虚数单位，且复数z满足z(1i)2i2019，则的值为()A. B.C. D2答案B解析z(1i)2i2019，zi，故选B.3(2019厦门一中三模)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四”如图，已知直线x2交抛物线y24x于A，B两点，点A，B在y轴上的射影分别为D，C.从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为()A. B.C. D.答案B解析在抛物线y24x中，取x2，可得y2，S矩形ABCD8，由阿基米德理论可得弓形面积为8，则阴影部分的面积为S8.由测度比为面积比可得，该点位于阴影部分的概率为.故选B.4(2019全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A甲、乙、丙 B乙、甲、丙C丙、乙、甲 D甲、丙、乙答案A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙故选A.5(2019梧州一模)函数f (x)(e是自然对数的底数)的图象大致为()答案A解析f (x)的定义域是x|x0，关于原点对称，f (x)f (x)，则函数f (x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B，C.当x1时，f (x)0，排除D，故选A.6(2019莱阳一中一模)已知ABC中，sinA2sinBcosC0，bc，则tanA的值是()A. B. C. D.答案A解析sinA2sinBcosC0，sin(BC)2sinBcosC0，3sinBcosCcosBsinC0，由cosB0，cosC0，化为3tanBtanC，又bc，B为锐角，C为钝角，tanAtan(BC)，当且仅当tanB时，取等号，tanA的最大值是.7(2019莆田三模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B. C. D.答案C解析根据几何体的三视图可知，该几何体为正方体截去一个三棱锥与一个三棱柱，则该几何体的体积为V23222211.故选C.8(2019四川二诊)在数列an中，已知a11，且对于任意的m，nN*，都有amnamanmn，则数列an的通项公式为()Aann Bann1Can Dan答案D解析令m1，得an1ann1，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，an1234n，an1234n.故选D.9(2019湖北六市联考)将直线xy10绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15得到直线l，则直线l与圆(x3)2y24的位置关系是()A相交 B相切C相离 D相交或相切答案B解析依题意得，直线l的倾斜角为150，所以直线l的方程是ytan150(x1)(x1)，即xy10，圆心(3,0)到直线l的距离d2，故直线l与圆相切10(2019上饶一模)已知定义在R上的函数满足f (x1)f (x1)，f (x)若关于x的不等式f (x)a(x2018)0在(2018,2020上恒成立，则实数a的取值范围为()A(，2 B(，2)C. D.答案C解析f (x)可得当0x1时，f (x)递增，且f (x)(4，3；当1x2时，f (x)ln (x1)55.由f (x1)f (x1)，可得f (x2)f (x)，即f (x)的最小正周期为2，关于x的不等式f (x)a(x2018)0在(2018,2020上恒成立，即f (x)在(2018,2020上的图象在直线ya(x2018)的下方可得当2018x2019时，f (x)2x20185(4，3；当2019x2020时，f (x)ln (x2019)55，如上图，直线ya(x2018)恒过定点(2018,0)，当直线经过点(2020，5)时，即52a，解得a，由图象可得a时，直线恒在f (x)在(2018,2020上图象的上方，故选C.11(2019徐州一中二模)已知正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长为4，M，N分别为AB，BC上的点，且满足AMBN，当三棱锥B1BMN的体积最大时，三棱锥B1BMN的外接球的表面积为()A. B4C. D.答案D解析正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长为4，ABC60，设AMBNx(0x4)，则V4(4x)xsin(4x)x2，当且仅当4xx即x2时取等号，可知BMN为等腰三角形，R，S4R242，故选D.12(2019北大附中一模)已知函数f(x)是奇函数f (x)(xR)的导函数，且满足当x0时，ln xf(x)f (x)，则(x2019)f (x)0的解集为()A(1,0)(1,2019)B(2019，1)(1,2019)C(0,2019)D(1,1)答案C解析设g(x)ln xf (x)，则g(x)f (x)ln xf(x)0，可知函数g(x)在x0时单调递减，又g(1)0，可知函数g(x)ln xf (x)在(0,1)上大于零，且ln x0，可知f (x)0；在(1，)上，g(x)0)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是_答案4解析解法一：由题意可设P(x00)，则点P到直线xy0的距离d4，当且仅当2x0，即x0时取等号故所求最小值是4.解法二：设P(x00)，则曲线在点P处的切线的斜率为k1.令11，结合x00得x0，P(，3)，曲线yx(x0)上的点P到直线xy0的最短距离即为此时点P到直线xy0的距离，故dmin4.16(2019扬州中学模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M，N两点，若cosF1MNcosF1F2M，则双曲线的离心率等于_答案2解析如图，由cosF1MNcosF1F2M可得F1MNF1F2M，|F1M|F1F2|2c，|F1N|2|F1M|4c，由双曲线的定义可得|MF2|2c2a，|NF2|4c2a，|MN|6c4a，在F1MN中，由余弦定理得cosF1MN，在F1F2M中，由余弦定理得cosF1F2M，cosF1MNcosF1F2M，整理得3c27ac2a20，3e27e20，解得e2或e(舍去)双曲线的离心率等于2.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60分17(本小题满分12分)(2019太原一模)如图，已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA(ca)sinCbsinB，点D是AC的中点，DEAC，交AB于点E，且BC2，DE.(1)求B；(2)求ABC的面积解(1)asinA(ca)sinCbsinB，且，可得：a2c2acb2，由余弦定理得：cosB，0B，B60.(2)连接CE，如图，D是AC的中点，DEAC，AECE，CEAE，在BCE中，由正弦定理得，cosA，0A180，A45，ACB75，BCEACBACE30，BEC90，CEAE，ABAEBE1，SABCABCE.18(本小题满分12分)(2019东北三省三校三模)哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(3)现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率解(1)甲同学成绩的中位数是119，乙同学成绩的中位数是128.乙的成绩的频率分布直方图补充后如图(2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均分比甲同学成绩的平均分高，且乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中(3)甲同学不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e.现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有：(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，共6种因此事件A发生的概率P(A).19(本小题满分12分)(2019株洲一模)如图，平面ABCD平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为直角梯形，AFDE，AFFE，AF2EF2DE2.(1)求证：平面BFD平面ABCD；(2)若三棱锥BADF的体积为，求BD与平面BAF所成角的正弦值解(1)证明：如图，作DHAF于H，AFFE，AF2EF2DE2.四边形DEFH是正方形，HFDH1，HDF45，AF2，AH1，ADH45.ADF90，即DFAD，平面ABCD平面ADEF，AD为两个面的交线，FD平面ABCD.平面BFD平面ABCD.(2)因为平面ABCD平面ADEF，ABAD，所以AB平面ADEF，VBADFSADFAB21AB，所以AB1，又AD2AF2DF22222，BD连接BH，易知DBH为BD与平面BAF所成的角，在直角BDH中，BD，DH1，sinDBH，所以BD与平面BAF所成角的正弦值为.20(本小题满分12分)(2019天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|2|OB|(O为原点)(1)求椭圆的离心率(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x4上，且OCAP.求椭圆的方程解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a2b，又由a2b2c2，消去b得a22c2，解得.所以，椭圆的离心率为.(2)由(1)知，a2c，bc，故椭圆方程为1.由题意，F (c,0)，则直线l的方程为y(xc)点P的坐标满足消去y并化简，得到7x26cx13c20，解得x1c，x2.代入到l的方程，解得y1c，y2c.因为点P在x轴上方，所以P.由圆心C在直线x4上，可设C(4，t)因为OCAP，且由(1)知A(2c,0)，故，解得t2.因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切，得2，可得c2.所以，椭圆的方程为1.21(本小题满分12分)(2019济宁二模)已知函数f (x)xln xax在xx0处取得极小值1.(1)求实数a的值；(2)设g(x)xf (x)b(b0)，讨论函数g(x)的零点个数解(1)易知函数f (x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1a.函数f (x)xln xax在xx0处取得极小值1，解得当a1时，f(x)ln x，则当x(0,1)时，f(x)0，x(1，)时，f(x)0，f (x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当x1时，函数f (x)取得极小值1，a1.(2)由(1)知函数g(x)xf (x)bx2ln xx2b，定义域为(0，)g(x)2xln xx2x2x.令g(x)0，得x，易得g(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，当x时，函数g(x)取得极小值(也是最小值)b.当b0，即b时，函数g(x)没有零点当b0，即b时，函数g(x)有一个零点当b0，即0b时，g(e)b0.g()g(e)0，故存在x1(，e)，使g(x1)0，g(x)在(，e)上有一个零点x1.设h(x)ln x1，x(0,1)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，h(x)在(0,1)上单调递减h(x)h(1)0，即当x(0,1)时，ln x1.当x(0,1)时，g(x)x2ln xx2bx2x2bbx.取xb,1min，则g(x)0，g()g(x)0，存在x2(x，)，使函数g(x2)0，g(x)在(x，)上有一个零点x2，g(x)在(0，)上有两个零点x1，x2，综上可得，当b时，函数g(x)没有零点，当b时，函数g(x)有一个零点，当0b时，函数g(x)有两个零点(二)选考题：10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程(2019合肥市第一次教学质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(为参数)以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2cos.(1)求C1，C2交点的直角坐标；(2)设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求AOB面积的最大值解(1)C1：x2y21，C2：2cos，22cos，x2y22x.联立方程组解得或所求交点的坐标为，.(2)设B(，)，则2cos，AOB的面积S|OA|OB|sinAOB当时，Smax2.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲(2019合肥市第一次教学质量检测)设函数f (x)|x1|.(1)若f (x)2x2，求实数x的取值范围；(2)设g(x)f (x)f (ax)(a1)，若g(x)的最小值为，求a的值解(1)f (x)2x2，即|x1|22x，当x1时，原不等式化为x122x，解得x；当x1时，原不等式化为x12x2，无解实数x的取值范围是.(2)a1，1，g(x)易知函数g(x)在x上单调递减，在x上单调递增，g(x)ming1.1，解得a2.15
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