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仿真模拟卷一本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x1，Bx|3x1 BABRCABx|x0 DAB答案C解析集合Bx|3x1，即Bx|x0，而Ax|x1，所以ABx|x1，ABx|x02记复数z的共轭复数为，若(1i)2i(i为虚数单位)，则|z|()A. B1 C2 D2答案A解析由(1i)2i，可得1i，所以z1i，|z|.3设aln，b20.3，c2，则()Aacb BcabCabc Dbac答案A解析由对数函数的性质可知aln1，又0c21，故选A.4设R，则“”是“sin”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由可得0，所以由“”可得“sin”，但由“sin”推不出“”所以“”是“sin”的充分不必要条件5在如图所示的计算1592021的程序框图中，判断框内应填入的条件是()Ai2021? Bi2021?Ci0，0，|的部分图象如图所示，则使f(ax)f(ax)0成立的a的最小正值为()A. B. C. D.答案B解析由图象易知，A2，f(0)1，即2sin1，且|，得0，所以k1，2，所以函数f(x)2sin，因为f(ax)f(ax)0，所以函数f(x)的图象关于xa对称，即有2ak，kZ，所以可得a，kZ，所以a的最小正值为.9若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f1，当x0时，f(x)log2(x)m，则实数m()A1 B0 C1 D2答案C解析f(x)是定义在R上的奇函数，f1，且x0，b0)的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线左支上一点，ABP为等腰三角形且外接圆的半径为a，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案C解析由题意知等腰ABP中，|AB|AP|2a，设ABPAPB，F1为双曲线的左焦点，则F1AP2，其中必为锐角ABP外接圆的半径为a，2a，sin，cos，sin22，cos2221.设点P的坐标为(x，y)，则xa|AP|cos2，y|AP|sin2，故点P的坐标为.由点P在双曲线上，得1，整理得，e .12德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：yf(x)其中R为实数集，Q为有理数集则关于函数f(x)有如下四个命题：ff(x)0；函数f(x)是偶函数；任取一个不为零的有理数T，f(xT)f(x)对任意的xR恒成立；存在三个点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，C(x3，f(x3)，使得ABC为等边三角形其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析当x为有理数时，f(x)1；当x为无理数时，f(x)0.当x为有理数时，ff(x)f(1)1；当x为无理数时，ff(x)f(0)1，无论x是有理数还是无理数，均有ff(x)1，故不正确；有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意xR，都有f(x)f(x)，故正确；当TQ时，若x是有理数，则xT也是有理数；若x是无理数，则xT也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(xT)f(x)对xR恒成立，故正确；取x1，x20，x3，f(x1)0，f(x2)1，f(x3)0，A，B(0,1)，C，ABC恰好为等边三角形，故正确，故选C.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知x，y满足约束条件x，yR，则x2y2的最大值为_答案8解析画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)x2y2表示可行域内的点(x，y)到原点距离的平方由图形可得，可行域内的点A或点B到原点的距离最大，且A(2，2)，B(2,2)，又|OA|OB|2，(x2y2)max8.14设直三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40，ABACAA1，BAC120，则此直三棱柱的高是_答案2解析设ABACAA1x，在ABC中，BAC120，则由余弦定理可得BCx.由正弦定理，可得ABC外接圆的半径为rx，又球的表面积是40，球的半径为R.设ABC外接圆的圆心为O，球心为O，在RtOBO中，有2x210，解得x2，即AA12.直三棱柱的高是2.15七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的如图，在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是_答案解析由七巧板的构造可知，BICGOH，故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等，而S梯形EFOHSDOFS正方形ABDFS正方形ABDF，所求的概率为P.16在数列an中，a11，an1Sn3n(nN*，n1)，则数列Sn的通项公式为_答案Sn3n2n解析an1Sn3nSn1Sn，Sn12Sn3n，1，又11，数列是首项为，公比为的等比数列，1n1n，Sn3n2n.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且bcosAsinA(acosCccosA)(1)求角A的大小；(2)若a2，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)bcosAsinA(acosCccosA)，由正弦定理可得，sinBcosAsinA(sinAcosCsinCcosA)sinAsin(AC)sinAsinB，即sinBcosAsinAsinB，sinB0，tanA，A(0，)，A.(2)A，a2，ABC的面积为，bcsinAbc，bc5，由余弦定理可得，a2b2c22bccosA，即12b2c2bc(bc)23bc(bc)215，解得bc3，ABC的周长为abc235.18(本小题满分12分)如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长解依题意，可以建立以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，1,0)，E(0,0,2)设CFh(h0)，则F(1,2，h)(1)证明：依题意，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x，y，z)为平面BDF的法向量，则即不妨令y1，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以线段CF的长为.19(本小题满分12分)如图，已知点F(1,0)为抛物线y22px(p0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标解(1)由题意得1，即p2.所以抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)令yA2t,2t0，则xAt2.由于直线AB过F，故直线AB的方程为xy1，代入y24x，得y2y40，故2tyB4，即yB，所以B.又由于xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)及重心G在x轴上，故2tyC0，得C，G.所以直线AC的方程为y2t2t(xt2)，得Q(t21,0)由于Q在焦点F的右侧，故t22.从而2.令mt22，则m0，2221.当m时，取得最小值1，此时G(2,0)20(本小题满分12分)设函数f(x)mexx23，其中mR.(1)当f(x)为偶函数时，求函数h(x)xf(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间2,4上有两个零点，求m的取值范围解(1)由函数f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即mex(x)23mexx23对于任意实数x都成立，所以m0.此时h(x)xf(x)x33x，则h(x)3x23.由h(x)0，解得x1.当x变化时，h(x)与h(x)的变化情况如下表所示：所以h(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1,1)上单调递增所以h(x)有极小值h(1)2，极大值h(1)2.(2)由f(x)mexx230，得m.所以“f(x)在区间2,4上有两个零点”等价于“直线ym与曲线g(x)，x2,4有且只有两个公共点”对函数g(x)求导，得g(x).由g(x)0，解得x11，x23.当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表所示：所以g(x)在(2，1)，(3,4)上单调递减，在(1,3)上单调递增又因为g(2)e2，g(1)2e，g(3)g(1)，所以当2em或m时，直线ym与曲线g(x)，x2,4有且只有两个公共点即当2em或m时，函数f(x)在区间2,4上有两个零点21(本小题满分12分)某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂设每片芯片不合格的概率为p(0p1)，且相互独立若某盒12片芯片中恰有3片次品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；若以中的p0作为p的值，由于质检员操作疏忽，有一盒芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这盒芯片的最终利润X(单位：元)的期望解(1)设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A，则P(A).答：该盒芯片可出厂的概率为.(2)某盒12片芯片中恰有3片次品的概率f(p)Cp3(1p)9当且仅当3p1p，即p时取“”号，故f(p)的最大值点p0.由题设知，pp0.设这盒芯片不合格品个数为n，则nB，故E(n)123，则E(X)12012303272.这盒芯片的最终利润X的期望是72元请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2y24，直线l的参数方程为(t为参数)，若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得曲线C2.(1)写出曲线C2的参数方程；(2)设点P(2,3)，直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求的值解(1)若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，则得到曲线C2的直角坐标方程为x224，整理，得1，曲线C2的参数方程为(为参数)(2)将直线l的参数方程化为标准形式为(t为参数)，将参数方程代入1，得1，整理，得(t)218t360.|PA|PB|t1t2|，|PA|PB|t1t2，.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x3|x1|的最小值为m.(1)求m的值以及此时x的取值范围；(2)若实数p，q，r满足：p22q2r2m，证明：q(pr)2.解(1)依题意，得f(x)|x3|x1|x3x1|4，故m的值为4.当且仅当(x3)(x1)0，即3x1时等号成立，即x的取值范围为3,1(2)证明：因为p22q2r2m，故(p2q2)(q2r2)4.因为p2q22pq，当且仅当pq时等号成立；q2r22qr，当且仅当qr时等号成立，所以(p2q2)(q2r2)42pq2qr，故q(pr)2，当且仅当pqr时等号成立- 14 -
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