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中难提分突破特训(六)1已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且(b2c2a2)4S.(1)求角A的大小；(2)若a，当b2c取得最大值时，求cosB.解(1)由已知(b2c2a2)4S2bcsinA，由余弦定理得2bccosA2bcsinA，所以tanA，因为A(0，)，故A.(2)由正弦定理得，即b2sinB，c2sinC，因此b2c2sinB4sinC24sinB2cosB2sin(B)，其中，tan，则sin，故b2c2，当且仅当B，即B时取等号，故此时cosBsin.2如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D为BB1的中点(1)若E为AB1上的一点，且DE与直线CD垂直，求的值；(2)在(1)的条件下，设异面直线AB1与CD所成的角为45，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值解(1)如图，取AB的中点M，连接CM，MD，有MDAB1，因为ACBC，所以CMAB，又因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以平面ABC平面ABB1A1，又因为平面ABC平面ABB1A1AB，所以CM平面ABB1A1，又因为DE平面ABB1A1，所以CMDE，又因为DECD，CDCMC，CD平面CMD，CM平面CMD，所以DE平面CMD，又因为MD平面CMD，所以DEMD，因为MDAB1，所以DEAB1，连接A1B，设A1BAB1O，因为ABB1A1为正方形，所以A1BAB1，又因为DE平面AA1B1B，A1B平面AA1B1B，所以DEA1B，又因为D为BB1的中点，所以E为OB1的中点，所以.(2)如图，以M为坐标原点，分别以MA，MO，MC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AB2a，由题意可知CDM45，所以AB12a，所以DMCMa，所以A(a,0,0)，B1(a,2a,0)，C1(0,2a，a)，D(a，a,0)，E，所以(2a,2a,0)，(a,0，a)，设平面AB1C1的一个法向量为n(x，y，z)，则即得平面AB1C1的一个法向量为n(，1)所以cos，n.所以直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值为.3在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(a0，b0)经过点A，且点F(0，1)为其一个焦点(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线yb2上运动，直线PA1，PA2与椭圆E的另外两个交点分别为M，N，证明：直线MN通过一个定点，且FMN的周长为定值解(1)根据题意可得解得椭圆E的方程为1.(2)证明：不妨设A1(0,2)，A2(0，2)P(x0,4)为直线y4上一点(x00)，M(x1，y1)，N(x2，y2)直线PA1的方程为yx2，直线PA2的方程为yx2.点M(x1，y1)，A1(0,2)的坐标满足方程组可得点N(x2，y2)，A2(0，2)的坐标满足方程组可得即M，N.直线MN的方程为y，即yx1.故直线MN恒过定点B(0,1)又F(0，1)，B(0,1)是椭圆E的焦点，FMN的周长|FM|MB|BN|NF|4b8.4在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：sin22acos(a0)，直线l：(t为参数)(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值解(1)由sin22acos(a0)两边同乘以得，曲线C：y22ax，由直线l：(t为参数)，消去t，得直线l：xy20.(2)将代入y22ax得，t22at8a0，由0得a4，设M，N，则t1t22a，t1t28a，|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，|t1t2|2|t1t2|，(2a)248a8a，a5.5已知函数f(x)2|xa|3xb|.(1)当a1，b0时，求不等式f(x)3|x|1的解集；(2)若a0，b0，且函数f(x)的最小值为2，求3ab的值解(1)当a1，b0时，由f(x)3|x|1，得2|x1|1，所以|x1|，解得x或x，所以所求不等式的解集为.(2)解法一：因为f(x)2|xa|3xb|所以函数f(x)在上为减函数，在上为增函数，所以当x时，函数f(x)取得最小值，为f22.因为a0，b0，所以3ab3.解法二：f(x)22，等号在ax时成立，因为当x时，的最小值为0，所以f(x)22，等号在x时成立，所以f(x)的最小值为2，从而22.因为a0，b0，所以3ab3.- 5 -
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