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素养提升练(一)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019湖南长郡中学一模)已知集合Ax|xa，Bx|x24x30，若ABB，则实数a的取值范围是()Aa3 Ba3 Ca1 Da1答案D解析因为Bx|1x3，ABB，所以ab0)的左、右焦点，若在直线x(其中c2b2a2)上存在点P，使线段PF1的垂直平分线经过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.答案C解析由题意得F1(c,0)，F2(c,0)，设点P，则由中点公式可得线段PF1的中点K，线段PF1的斜率与KF2的斜率之积等于1，即1，m20，a42a2c23c40，3e42e210，e2或e21(舍去)，e.又椭圆的离心率0e1，故e1，故选C.9(2019重庆模拟)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有两个零点x1，x2，则x1x2()A2 B2或2C2或3 D2或3或2答案D解析当x0时，f(x)(x1)ex，当x1时，f(x)0，故f(x)在(，1)上为减函数，当1x0，故f(x)在(1,0)上为增函数，所以当x0时，f(x)的最小值为f(1).又在R上，f(x)的图象如图所示，因为g(x)有两个不同的零点，所以方程f(x)m有两个不同的解，即直线ym与yf(x)有两个不同交点且交点的横坐标分别为x1，x2，故1m2或m0或m.若1m2，则x1x22；若m0，则x1x23；若m，则x1x2132.综上，x1x2的值为2或3或2，故选D.10(2019黑龙江模拟)如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为()A1 BC D1答案A解析S矩形1，又 sinxdxcosx(coscos0)2，S阴影2，豆子落在图中阴影部分的概率为1.故选A.11(2019昌平期末)设点F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得m成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是()A. B3 C5 D8答案B解析点F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，即F1(2,0)，F2(2,0)，a29，b25，c24，c2，设P(x0，y0)，(2x0，y0)，(2x0，y0)，由m可得xym4，又P在椭圆上，即1，x，要使得m成立的点恰好是4个，则09，解得1m5，m的值可以是3.故选B.12(2019安徽淮北、宿州二模)已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为2，球的半径为，则正四面体表面与球面的交线的总长度为()A4 B8 C12 D12答案A解析正四面体ABCD的中心与球心O重合，正四面体的棱长为2，取CD的中点E，连接BE，AE，过A作AF底面BCD，交BE于F，则BEAE3，BFBE2，AF4，设正四面体内切球半径为r，则(4r)2(2)2r2，解得正四面体内切球半径为r1，球的半径为，由球的半径知球被平面截得小圆半径为r12，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30，正四面体表面与球面的交线的总长度为44.故选A.第卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13(2019临沂质检)设x，y满足约束条件则z2x3y的最小值为_答案8解析画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图形知，当目标函数z2x3y过点A时，z取得最小值由求得A(1,2)，所以z2x3y的最小值是21328.14(2019金山中学模拟)数列an且an若Sn为数列an的前n项和，则S2018_.答案解析数列an且an当n为奇数时，an；当n为偶数时，ansin，所以S2018(a1a3a5a2017)(a2a4a6a2018)(1010)1.15(2019岳阳二模)将多项式a6x6a5x5a1xa0分解因式得(x2)(x2)5，则a5_.答案8解析(x2)(x2)5(x24)(x2)4，(x2)4展开式中的x3系数为C218.所以a58.16(2019东莞期末)已知函数f(x)sinxcos2x(xR)，则f(x)的最小值为_答案1解析函数f(x)sinxcos2xsinx(12sin2x)sinx2sin3x，令tsinx1,1，则h(t)t2t3，h(t)16t2，当1t时，h(t)0，h(t)在上单调递减；当t时，h(t)0，h(t)在上单调递增；当t1时，h(t)0，h(t)在上单调递减所以函数的最小值是h或h(1)，h(1)1h23，故函数f(x)的最小值为1.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60分17(本小题满分12分)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC.(1)求A；(2)若ab2c，求sinC.解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cosA.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sinAsin(120C)2sinC，即cosCsinC2sinC，可得cos(C60).因为0C120，所以sin(C60)，故sinCsin(C6060)sin(C60)cos60cos(C60)sin60.18(本小题满分12分)(2019石家庄一模)小明在石家庄市某物流公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了甲、乙两种日薪薪酬方案，其中甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，得到了如图所示的派送量指标的频率分布直方图，并发现每名派送员的日平均派送单数满足以下条件：当某天的派送量指标在(n1,2,3,4,5)时，日平均派送量为(502n)单若将频率视为概率，回答下列问题：根据以上数据，设一名派送员的日薪为Y(单位：元)，试分别求出甲、乙两种方案中日薪Y的分布列、数学期望及方差；结合中的数据，利用统计的知识，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由(参考数据：0.620.36,1.421.96,2.626.76,3.4211.56,3.6212.96,4.6221.16,15.62243.36,20.42416.16,44.421971.36)解(1)甲方案中派送员日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式为y100n，nN.乙方案中派送员日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式为y(2)由已知，在这100天中，该公司的一名派送员的日平均派送单数满足下表：派送单数5254565860频率0.20.30.20.20.1所以Y甲的分布列为Y甲152154156158160P0.20.30.20.20.1所以E(Y甲)1520.21540.31560.21580.21600.1155.4，s0.2(152155.4)20.3(154155.4)20.2(156155.4)20.2(158155.4)20.1(160155.4)26.44；Y乙的分布列为Y乙140152176200P0.50.20.20.1所以E(Y乙)1400.51520.21760.22000.1155.6，s0.5(140155.6)20.2(152155.6)20.2(176155.6)20.1(200155.6)2404.64.答案一：由可知，E(Y甲)E(Y乙)，但两者相关不大，且s远小于s，即甲方案中日薪的波动相对较小，所以小明选择甲方案比较合适答案二：由可知，E(Y甲)0)的焦点过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标解(1)由题意得1，即p2.所以抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)令yA2t，t0，则xAt2.由于直线AB过F，故直线AB的方程为xy1，代入y24x，得y2y40，故2tyB4，即yB，所以B.又xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)及重心G在x轴上，得2tyC0，得C，G.所以直线AC的方程为y2t2t(xt2)，得Q(t21,0)由于Q在焦点F的右侧，故t22.从而2.令mt22，则m0，2221.当m时，取得最小值1，此时G(2,0)21(本小题满分12分)(2019山西太原一模)已知函数f(x)ln xax2(2a)x，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a时，若对于任意x1，x2(1，)(x1x2)，都存在x0(x1，x2)，使得f(x0)，证明：0，当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0，则0x；令f(x).f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：当a1，则g(t)0，g(t)g(1)0，ff(x0)0，f1，则h(x)2a110，h(x)f(x)在(1，)上单调递增，x0.(二)选考题：10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程(2019甘肃天水一中三模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(1cos2)8cos.(1)求l和C的直角坐标方程；(2)若l与C相交于A，B两点，且|AB|8，求.解(1)当时，l：x1.当时，l：ytan(x1)由(1cos2)8cos得22sin28cos，因为xcos，ysin，所以C的直角坐标方程为y24x.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得(sin2)t2(4cos)t40，则t1t2，t1t2，因为|AB|t1t2|8，所以sin或，因为00的解集；(2)若在xR上f(x)1恒成立，求实数a的取值范围解(1)a1时，f(x)0可得|2x1|x2|，即(2x1)2(x2)2，化简得(3x3)(x1)0，所以不等式f(x)0的解集为(，1)(1，)(2)当a4时，f(x)由函数单调性可得f(x)minf21，解得6a4时，f(x)由函数单调性可得，f(x)minf21，解得4a2.综上，实数a的取值范围为6，214
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