2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点十五 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线 理

考点十五　直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线 一、选择题 1．(2019·陕西宝鸡中学二模)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ 答案　A 解析　①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得解得m＝1，故选A. 2．(2019·湖北黄冈调研)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为(　　) A．y－x＝1 B．y＋x＝3 C．2x－y＝0或x＋y＝3 D．2x－y＝0或－x＋y＝1 答案　C 解析　当直线过原点时，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＝k，把点(1,2)代入直线的方程可得k＝3，故直线方程是x＋y－3＝0.综上可得所求的直线方程为2x－y＝0或x＋y－3＝0，故选C. 3．(2019·东北三省三校第二次模拟)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　D 解析　x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1.两圆圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条，故选D. 4．(2019·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A． m B． m C． m D． m 答案　D 解析　以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy，结合题意可知，该抛物线x2＝－2py(p>0)经过点(6，－5)，则36＝10p，解得p＝，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝，故选D. 5．已知双曲线－＝1的离心率为，则a的值为(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－1 答案　C 解析　当焦点在x轴上时，a>0,2－a2>0，e2＝＝2，解得a＝1，当焦点在y轴上时，a<0，2－a2<0，e2＝＝2，解得a＝－2，综上知a＝1或a＝－2. 6．已知圆(x－a)2＋y2＝1与直线y＝x相切于第三象限，则a的值是(　　) A． B．－ C．± D．－2 答案　B 解析　依题意得，圆心(a,0)到直线x－y＝0的距离等于半径，即有＝1，|a|＝.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a＝－，故选B. 7．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于(　　) A． B．1 C． D．2 答案　D 解析　由题意3x0＝x0＋，x0＝，则＝2， ∵p>0，∴p＝2. 8．已知椭圆C：＋y2＝1与动直线l：2mx－2y－2m＋1＝0(m∈R)，则直线l与椭圆C交点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．不确定 答案　C 解析　由题2mx－2y－2m＋1＝0，即m(2x－2)＋1－2y＝0可知直线l过定点，将代入＋y2，得＋＝<1，即点在椭圆内部，故直线l与椭圆有两个交点，故选C. 二、填空题 9．(2019·湖南株洲第二次教学质量检测)设直线l：3x＋4y＋a＝0，与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25交于A，B，且|AB|＝6，则a的值是________． 答案　10或－30 解析　因为|AB|＝6，所以圆心到直线的距离为d＝＝＝4，所以＝4，即a＝10或a＝－30. 10．(2019·河南鹤壁模拟)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且经过点A(3，－2)的双曲线方程是________． 答案　－＝1 解析　设与双曲线－＝1具有相同的渐近线的双曲线的方程为－＝m(m≠0)，代入点A(3，－2)，解得m＝，则所求双曲线的方程为－＝，即－＝1. 11．已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆C的方程为________． 答案　＋y2＝1 解析　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意得解得a＝2，b＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 12．过抛物线y2＝4x的焦点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＋4y＝0截得的弦长是________． 答案　 解析　依题意，抛物线的焦点坐标是(1,0)，相应的直线方程是y＝(x－1)，即x－y－＝0.题中的圆(x－2)2＋(y＋2)2＝16的圆心坐标是(2，－2)、半径为4，则圆心(2，－2)到直线x－y－＝0的距离d＝＝，因此所求的弦长为2 ＝. 三、解答题 13．过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA. (1)求弦OA的中点M的轨迹方程； (2)延长OA到N，使|OA|＝|AN|，求点N的轨迹方程． 解　(1)设M的坐标为(x，y)， 则A(2x,2y)，因为点A在圆x2＋y2－8x＝0上， 所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0， 即x2＋y2－4x＝0. 因此点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0. (2)设N(x，y)，∵|OA|＝|AN|， ∴A为线段ON的中点，∴A， 又A在圆x2＋y2－8x＝0上， ∴2＋2－4x＝0， 即x2＋y2－16x＝0. 因此，点N的轨迹方程为x2＋y2－16x＝0. 14．(2019·安徽合肥第二次质检)已知点A(1,0)和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2＋y2＝4. (1)求动点B的轨迹方程； (2)已知点P(2,0)，Q(2，－1)，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值. 解　(1)如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′(－1，0)．依题意，圆C内切于圆O，设切点为D，则O，C，D三点共线， ∵O为AA′的中点，C为AB的中点， ∴|A′B|＝2|OC|. ∴|BA′|＋|BA|＝2|OC|＋2|AC| ＝2|OC|＋2|CD|＝2|OD|＝4>|AA′|＝2， ∴动点B的轨迹是以A，A′为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)， 则2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1， ∴b2＝a2－c2＝3，∴动点B的轨迹方程为＋＝1. (2)证明：①当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与椭圆＋＝1相切，与题意不符． ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)． 由消去y整理得 (4k2＋3)x2－(16k2＋8k)x＋16k2＋16k－8＝0. ∵直线l与椭圆交于M，N两点， ∴Δ＝(16k2＋8k)2－4(4k2＋3)(16k2＋16k－8)>0， 解得k<. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴kPM＋kPN＝＋ ＝＋ ＝2k－＝2k－ ＝2k－ ＝2k－ ＝2k＋3－2k＝3(定值)． 一、选择题 1．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　) A．1＋ B．2 C．1＋ D．2＋2 答案　A 解析　将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1. 2．若过点P(2,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于两点A，B，且∠ACB＝60°(其中C为圆心)，则直线l的方程是(　　) A．4x－3y－5＝0 B．x＝2或4x－3y－5＝0 C．4x－3y＋5＝0 D．x＝2或4x－3y＋5＝0 答案　B 解析　由题意可得，圆C的圆心为C(－1,2)，半径为2，因为∠ACB＝60°，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以圆心C到直线l的距离为3.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，与圆相交，且圆心C到直线l的距离为3，满足条件；若直线l的斜率存在，不妨设l：y－1＝k(x－2)，则圆心C到直线l的距离d＝＝3，解得k＝，所以此时直线l的方程为4x－3y－5＝0.故选B. 3．(2019·湖南师大附中月考七)已知动圆C经过点A(2,0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　D 解析　设圆心C(x，y)，弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2，∴|CA|2＝|CB|2＝|CE|2＋|BE|2，∴(x－2)2＋y2＝22＋x2，化为y2＝4x，故选D. 4．(2019·山西晋城三模)设双曲线C：－＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝(　　) A．8 B．8 C．4 D．4 答案　A 解析　由∠F2MN＝∠F2NM可知|F2M|＝|F2N|.由又|MF2|－|MF1|＝4，|NF1|－|NF2|＝4，所以|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8，故选A. 5．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为(　　) A． B． C． D．3 答案　C 解析　如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥准线x＝－1，E，所以N(－1，)，M(0，2)，所以|NF|＝，|NM|＝，所以△MNF的面积为. 6．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 答案　C 解析　∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，∴过点F且倾斜角为的直线方程为y＝，联立直线与抛物线的方程，得⇒3x2－5px＋p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝.所以|AB|＝xA＋xB＋p＝＝8，所以p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x. 7．(2019·山东四校联合考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若＝2，则椭圆C的离心率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　△MF1F2的内心为I，连接F1I和F2I，则F1I为∠MF1F2的平分线，即＝，同理，＝，所以 ＝＝＝2，即＝＝＝＝2，则e＝，故选B. 8．(2019·广西桂林、崇左二模)过双曲线x2－＝1的右支上一点P分别向圆C1：(x＋2)2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　A 解析　圆C1：(x＋2)2＋y2＝4的圆心为(－2,0)，半径为r1＝2，圆C2：(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2,0)，半径为r2＝1，设双曲线x2－＝1的左、右焦点为F1(－2，0)，F2(2,0)，连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2－|PN|2＝(|PF1|2－r)－(|PF2|2－r)＝(|PF1|2－4)－(|PF2|2－1)＝|PF1|2－|PF2|2－3＝(|PF1|－|PF2|)(|PF1|＋|PF2|)－3＝2a(|PF1|＋|PF2|)－3＝2(|PF1|＋|PF2|)－3≥2×2c－3＝2×4－3＝5.当且仅当P为右顶点时，取得等号，故选A. 二、填空题 9．两条渐近线所成的锐角为60°，且经过点(，)的双曲线的标准方程为________． 答案　x2－＝1或－＝1 解析　因为两条渐近线所成的锐角为60°，所以一条渐近线的倾斜角为30°或60°，斜率为或，方程为x±y＝0或x±y＝0.设双曲线的标准方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)或3x2－y2＝μ(μ≠0)，将点(，)代入可求得λ＝－7，μ＝3.所以双曲线的标准方程为x2－＝1或－＝1. 10．(2019·河北邯郸一模)若圆C：x2＋2＝n的圆心为椭圆M：x2＋my2＝1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为________． 答案　x2＋(y＋1)2＝4 解析　由题意得，椭圆M： x2＋＝1(m>0)的一个焦点坐标为， 另一个焦点在圆C上， 所以解得m＝，n＝4， 所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4. 11．若圆x2＋y2－4x－4y＝0上至少有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，则直线l的斜率的取值范围是________． 答案　[2－，2＋] 解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝8，其圆心为(2,2)，半径为2，当圆心(2,2)到直线kx－y＝0的距离为时，有＝，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝2±，结合图形可知(图略)，为使圆x2＋y2－4x－4y＝0上至少有三个不同的点到直线l的距离为，需有k∈[2－，2＋]． 12．如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为________． 答案　 解析　据题意设|AB|＝3x，|BF2|＝4x，|AF2|＝5x，故有AB⊥BF2，又根据双曲线定义， 得解得x＝a，|AF1|＝3a，故有|F1B|＝6a，|BF2|＝4a，|F1F2|＝2c，由勾股定理可得36a2＋16a2＝4c2，所以e＝＝. 三、解答题 13．在直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率存在，纵截距为－2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线AP，BP的斜率均存在，求证：直线AP，OP，BP的斜率依次成等差数列． 解　(1)由＝，＋＝1及a2＝b2＋c2，得a＝2，b＝，c＝1，∴C：＋＝1. (2)证明：设l：y＝kx－2，代入椭圆C的方程，知 (3＋4k2)x2－16kx＋4＝0. ∵Δ>0，∴k2>. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝， kAP＋kBP＝＋ ＝ ＝ ＝＝＝3. ∴kAP＋kBP＝2kOP，∴直线AP，OP，BP的斜率依次成等差数列． 14．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切． (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径； (2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由． 解　(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)． 因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|. 由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6. (2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值． 理由如下： 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2. 由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x. 因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1. 因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P. - 12 -