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问题37圆锥曲线中的存在、探索问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一 ,它是在题设条件下探索某个数学对象 (点、线、数等 )是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨二、经验分享解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法三、知识拓展探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：1、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。3、条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。5、规律探究型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。在数列问题研究中，经常是据数列的前几项所提供的信息作大胆的猜测，然后用数学归纳法证明。6、实验操作型这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐。总之，解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合应用。它对学生的观察、联想、类比、猜想、抽象、概括等方面的能力有较高的要求。 四、题型分析(一) 是否存在值【例1】已知椭圆=1（ab0）的离心率e=,过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与坐标原点距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2（k0）与椭圆相交于C、D两点,试判断是否存在k值,使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值,若不存在说明理由.【分析】（1）先由两点式求出直线方程,再根据离心率和点到直线距离公式列出方程解出,即可求得；（2）假设存在这样的直线,联立直线方程和椭圆方程,消去y,得到x的一元二次方程,求出两根之和和两根之积,要使以CD为直径的圆过点E,当且仅当CEDE时,则,再利用y=kx+2,将上式转化,最后求得,并验证.【解析】（1）直线AB方程为：bx-ay-ab0 依题意 解得 椭圆方程为 （2）假设存在这样的k值,由得 设, ,则 而 8分要使以CD为直径的圆过点E（-1,0）,当且仅当CEDE时,则,即 将式代入整理解得 经验证,使成立 综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E . .【点评】解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法【小试牛刀】【安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测】已知抛物线的准线方程为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交抛物线于，两点，点，连接，与抛物线分别交于，两点，直线的斜率记为，问：是否存在实数，使得成立，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由准线方程可知：（2）设，（互不相等） 则，同理三点共线 即 同理 将抛物线与直线联立得：由韦达定理： (二) 是否存在点【例2】已知点是椭圆上任一点,点到直线的距离为,到点的距离为,且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方）,且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时,求直线方程；（3）对于动直线,是否存在一个定点,无论如何变化,直线总经过此定点？若存在,求出该定点的坐标；若不存在,请说明理由.【分析】(1) 设,用坐标表示条件列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；(2)由（1）可知,即可得,由得,写出直线的方程与椭圆方程联立,求出点的坐标,由两点式求直线的方程即可；(3)由,得,设直线方程为,与椭圆方程联立得,由根与系数关系计算得,从而得到直线方程为,从而得到直线过定点.【解析】（1）设,则, ,化简,得,椭圆的方程为. （2）, 又,.代入解,得（舍）, ,.即直线方程为. （3）,.设,直线方程为.代直线方程入,得. ,=, 直线方程为,直线总经过定点. 【点评】定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为ykxb,然后利用条件建立b、k等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关【小试牛刀】【晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考】已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由【解析】（1）据题意，得 解得， 所以椭圆的标准方程为（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为由，得设，则 设，则直线的斜率分别满足又因为直线的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以，所以，所以 若对任意恒成立，则，当直线的斜率不存在时，若，则点满足直线的斜率互为相反数 综上，在轴上存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数 (三) 是否存在直线【例3】设F1,F2分别是椭圆的左右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值.（2）是否存在经过点A（5,0）的直线l与椭圆交于不同的两点C,D,使得|F2C|F2D|？若存在,求直线l的方程；若不存在,请说明理由.【分析】（1）将数量积转化为坐标表示,利用坐标的有界性求出最值；（2）设出直线方程,根据|F2C|F2D|,可知F2在弦CD的中垂线上,利用中点和斜率关系,写出中垂线方程,代入F2点即可判断.【解析】（1）易知a,b2,c1,F1（1,0）,F2（1,0）设P（x,y）,则（1x,y）（1x,y）x2y21x24x21x23x20,5,当x0,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3；当x,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4.（2）假设存在满足条件的直线l,易知点A（5,0）在椭圆外部,当直线斜率不存在时,直线l与椭圆无交点.所以满足条件的直线斜率存在,设为k则直线方程为yk（x5）由方程组得：（5k24）x250k2x125k2200依题意,20（1680k2）0得：当时,设交点为C（x1,y1）,D（x2,y2）,CD中点为R（x0,y0）则x1x2,x0y0k（x05）k（5）又|F2C|F2D|,有F2Rl,即1即1即20k220k24,该等式不成立,所以满足条件的直线l不存在.【点评】假设存在,将转化为弦的中点问题以及垂直问题是解题关键【小试牛刀】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4？若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为1(ab0),且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2,所以b212,故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l,设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点,所以(3t)243(t212)0,解得4t4.另一方面,由直线OA与l的距离d4,得4,解得t2.由于24,4 ,所以符合题意的直线l不存在(四) 是否存在圆【例4】已知椭圆过点,其焦距为（）求椭圆的方程；（）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为,则椭圆在其上一点处的切线方程为,试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1）,点为在第一象限中的任意一点,过作的切线,分别与轴和轴的正半轴交于两点,求面积的最小值；（ii）如图（2）,过椭圆上任意一点作的两条切线和,切点分别为当点在椭圆上运动时,是否存在定圆恒与直线相切？若存在,求出圆的方程；若不存在,请说明理由【分析】（1）设椭圆的方程,用待定系数法求解即可；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知；有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程第三步：求解判别式计算一元二次方程根第四步：写出根与系数的关系第五步：根据题设条件求解问题中结论在解决与抛物线性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此【解析】（I）解：依题意得：椭圆的焦点为,由椭圆定义知： ,所以椭圆的方程为 （II）（）设,则椭圆在点B处的切线方程为 令,令,所以 又点B在椭圆的第一象限上,所以 ,当且仅当所以当时,三角形OCD的面积的最小值为 （）设,则椭圆在点处的切线为：又过点,所以,同理点也满足,所以都在直线上,即：直线MN的方程为 所以原点O到直线MN的距离, 所以直线MN始终与圆相切 【点评】先猜想圆心为原点,表示出直线MN的方程,再证明圆心到直线的距离为定值【小试牛刀】如图,设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,的面积为.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.【解析】（1）设,其中,由得从而故.从而,由得,因此.所以,故因此,所求椭圆的标准方程为： （2）如图,设圆心在轴上的圆与椭圆相交,是两个交点,是圆的切线,且由圆和椭圆的对称性,易知, 由（1）知,所以,再由得,由椭圆方程得,即,解得或.当时,重合,此时题设要求的圆不存在.当时,过分别与,垂直的直线的交点即为圆心,设由得而故圆的半径综上,存在满足条件的圆,其方程为：四、迁移运用1【】江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知椭圆：，离心率，是椭圆的左顶点，是椭圆的左焦点，直线：.（1）求椭圆方程；（2）直线过点与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点，试问：以为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.【解析】（1），得，所求椭圆方程：.（2）当直线斜率存在时，设直线：，、，直线：，令，得，同理，以为直径的圆：，整理得： ，得， 将代入整理得：，令，得或.当直线斜率不存在时，、，以为直径的圆：也过点、两点，综上：以为直径的圆能过两定点、.2【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试（3月)】已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3，直线与椭圆相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线：与椭圆相交于两点，使得？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由！【解析】（1）在中，令，得，解得.由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，得，所以.因为直线：与椭圆相切，则.将代入，得.故椭圆的标准方程为.（2）设点，.由（1）知，则直线的方程为.联立得，则恒成立.所以， .因为，所以.即.即 ，得，得，即，解得；直线存在，且的取值范围是.3【山东省潍坊市2019届高三下学期高考模拟（一模)】如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.【解析】（1）设，则，由题意知，所以为中点，由中点坐标公式得，即，又点在圆：上，故满足，得.（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，因为，故，即 ，联立，消去得：，设， ，因为为平行四边形，故，点在椭圆上，故，整理得，将代入，得，该方程无解，故这样的直线不存在.4【湘赣十四校2019届高三下学期第一次联考】椭圆：的左焦点为且离心率为，为椭圆上任意一点，的取值范围为，.（1）求椭圆的方程；（2）如图，设圆是圆心在椭圆上且半径为的动圆，过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于，两点.是否存在使得直线与直线的斜率之积为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）椭圆的离心率 椭圆的方程可写为设椭圆上任意一点的坐标为则 ， ，椭圆的方程为（2）设圆的圆心为，则圆的方程为设过原点的圆的切线方程为：，则有整理有由题意知该方程有两个不等实根，设为，则当时，当圆的半径时，直线与直线的斜率之积为定值5【安徽省六安市第一中学2019届高三下学期高考模拟】已知圆A：x2+y2+2x-15=0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C（）求C的方程；（）若直线y=k（x-1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有ORP=ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（）圆A：（x+1）2+y2=16，圆心A（-1，0），由已知得|NM|=|NB|，又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4|AB|=2，所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其标准方程C：，则2a=4，2c=2，所以a2=4，b2=3，所以曲线C：；（）设存在点R（t，0）满足题设，联立直线y=k（x-1）与椭圆方程，消去y，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由韦达定理得，由题设知OR平分PRQ直线RP与直RQ的倾斜角互补，即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，即，即，即2kx1x2-（1+t）k（x1+x2）+2tk=0，把、代入并化简得，即（t-4）k=0，所以当k变化时成立，只要t=4即可，所以存在定点R（4，0）满足题设.6【四川省成都市第七中学2019届高三二诊】已知椭圆（）的左焦点为，点为椭圆上任意一点，且的最小值为，离心率为。（I）求椭圆的方程；（II）若动直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.（i）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；（ii）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（I）设椭圆的标准方程为：（）离心率为，点为椭圆上任意一点，且的最小值为，解得，椭圆的方程为.（II）（i）由题意，直线为：，代入，得，解得或，代入，得，舍，或，.，直线的方程为：.（ii）存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.证明：，在于轴的对称点在直线上，设直线的方程为：，代入，得，由韦达定理得，由直线的斜率，得的方程为：令，得： ，对于动直线，存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.7【陕西省榆林市2018-2019年度高三第二次模拟】设为坐标原点，动点在椭圆：上，该椭圆的左顶点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆外一点满足，平行于轴，动点在直线上，满足.设过点且垂直的直线，试问直线是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.【解析】（1）左顶点A的坐标为（a，0），|a5|3，解得a2或a8（舍去），椭圆C的标准方程为+y21，（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），则依题意可知y1y0，得（x02 x0，y12y0） （0，y1y0）=0，整理可得y12y0，或y1y0 （舍），得（x0，2y0）（2x0，t2y0）2，整理可得2x0+2y0tx02+4y02+26，由（1）可得F（，0），（x0，2y0），（x0，2y0）（2，t）62x02y0t0，NFOP，故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F 8【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】已知椭圆的两焦点为、，抛物线：（）的焦点为，为等腰直角三角形（）求的值；（）已知过点的直线与抛物线交于两点，又过作抛物线的切线，使得，问这样的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【解析】（）椭圆，两焦点为,，为等腰直角三角形， （）过点的直线与抛物线交于两点，的斜率必存在，设直线的方程为， 由得，或 抛物线方程得为所以切线的斜率分别为， 当时，即 又，解得合题意，所以存在直线的方程是，即9【湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模)】已知椭圆的左、右焦点分别为且椭圆上存在一点，满足.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知分别是椭圆的左、右顶点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，是否存在一条定直线，使点恒在直线上?【解析】（1）设，则内，由余弦定理得，化简得，解得，故，得，所以椭圆的标准方程为.（2）已知，设，由，两式相除得.又，故，故，设的方程为，代入整理，得，恒成立.把代入， 得，得到，故点在定直线上.10【江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考】已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点是椭圆上的点，面积的最大值是（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由【解析】（）由解得 得椭圆的方程为. （）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程 ， 点到直线的距离是 由得因为点在曲线上，所以有整理得 由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为 由得, 故四边形的面积是定值，其定值为11.已知椭圆E：1(ab0)以抛物线y28x的焦点为顶点,且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆E相交于A,B两点,与直线x4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足(其中O为坐标原点),试问在x轴上是否存在一点T,使得为定值？若存在,求出点T的坐标及的值；若不存在,请说明理由【解析】(1)抛物线y28x的焦点为椭圆E的顶点,即a2.又,故c1,b.椭圆E的方程为1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x1x2,y1y2),联立得(4k23)x28kmx4m2120.由根与系数的关系,得x1x2,y1y2k(x1x2)2m.将P代入椭圆E的方程,得1,整理,得4m24k23.设T(t,0),Q(4,m4k),(4t,m4k),.即.4k234m2,.要使为定值,只需2为定值,则1t0,t1,在x轴上存在一点T(1,0),使得为定值.12.已知椭圆C:的左焦点为F,为椭圆上一点,AF交y轴于点M,且M为AF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）直线与椭圆C有且只有一个公共点A,平行于OA的直线交于P ,交椭圆C于不同的两点D,E,问是否存在常数,使得,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.【答案】（I）（II）【解析】（）设椭圆的右焦点是, 在中, 2分 所以椭圆的方程为 4分 （）设直线DE的方程为,解方程组消去得到 若则,其中 6分又直线的方程为,直线DE的方程为, 8分所以P点坐标, 所以存在常数使得 12分13.已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为,问是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1) ;(2) 为定值2.【解析】（1）由已知得：,由已知易得,解得,则椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时,由,解得,设,.当直线的斜率存在时,设直线的方程为,将代入整理化简,得,依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则,又,所以综上得：为定值2.14已知点,直线与直线相交于点,直线与直线的斜率分别记为与,且（）求点的轨迹的方程；（）过定点作直线与曲线交于两点,的面积是否存在最大值？若存在,求出面积的最大值；若不存在,请说明理由【答案】（）；（） 【解析】（）设,则, 所以所以 （）由已知当直线的斜率存在,设直线的方程是, 联立,消去得, 因为,所以, 设, .10分 当且仅当时取等号, 面积的最大值为 15.如图,过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M,N两点,当平行于x轴和垂直于x轴时,被椭圆所截得的线段长均为.（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点A不同的定点B,使得对任意过点的动直线都满足？若存在,求出定点B的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）存在点B的坐标【解析】（）由已知得,点在椭圆上,所以,解得,所以椭圆的方程为 （）当直线l平行于x轴时,则存在y轴上的点B,使,设；当直线l垂直于x轴时,若使,则,有,解得或所以,若存在与点A不同的定点B满足条件,则点B的坐标只可能是下面证明：对任意直线l,都有,即当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立；当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为设M,N的坐标分别为,由得,其判别式,所以,因此,易知点N关于y轴对称的点的坐标为又,所以,即三点共线,所以故存在与点A不同的定点,使得30
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