2020年高考数学一轮复习 考点题型 课下层级训练35 空间几何体的表面积与体积（含解析）

课下层级训练(三十五)空间几何体的表面积与体积A级基础强化训练1把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A2倍B2倍C倍D倍【答案】B由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积VR3，知体积扩大到原来的2倍2在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120(如图所示)，若将ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是()ABCD【答案】D依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OAABcos 302，所以旋转体的体积为()2(OCOB).3(2019山东东营模拟)表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是()A12B8CD4【答案】A设正方体的棱长为a，因为表面积为24，即6a224，得a 2，正方体的体对角线长度为2， 所以正方体的外接球半径为r， 所以球的表面积为S4r212.4(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8B6C8D8【答案】C如图，连接AC1，BC1，AC.AB平面BB1C1C，AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，AC1B30.又ABBC2，在RtABC1中，AC14，在RtACC1中，CC12，V长方体ABBCCC12228.5(2017全国卷)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_.【答案】14长方体的顶点都在球O的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为R，则2R.球O的表面积为S4R24214.6(2017江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_.【答案】设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.7现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.【答案】设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.8(2019山东潍坊检测)已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PABC的顶点都在球O的球面上，正三棱锥PABC的体积为36，则球O的表面积为_.【答案】108正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直，此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，设球O的半径为R，则正方体的边长为，正三棱锥PABC的体积为36，VSPACPB36，R3，球O的表面积为S4R2108.9如图(a)，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体D ABC，如图(b)所示(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体D ABC的体积【答案】(1)证明在图中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥B ACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22，由等体积性可知，几何体D ABC的体积为.B级能力提升训练10(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()ABCD【答案】B设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的体积为Vr2h1.11在三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()AB4C8D20【答案】C由题意得，此三棱锥外接球即为以ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为ABC的外接圆半径r1，外接球球心到ABC的外接圆圆心的距离d1，所以外接球的半径R，所以三棱锥外接球的表面积S4R28.12(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_.【答案】8在RtSAB中，SASB，SSABSA28，解得SA4.设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，在RtSAO中，SAO30，所以r2，h2，所以圆锥的体积为r2h(2)228.13(2018天津卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_.【答案】依题意，易知四棱锥MEFGH是一个正四棱锥，且底面边长为，高为.故VMEFGH2.14(2019广东茂名模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC60，PAAB2，过BD作平面BDE与直线PA平行，交PC于点E.(1)求证：E为PC的中点；(2)求三棱锥EPAB的体积【答案】(1)证明如图，连接AC，设ACBDO，连接OE，则O为AC的中点，且平面PAC平面BDEOE，PA平面BDE，PAOE，E为PC的中点(2)解由(1)知，E为PC的中点，V三棱锥P ABC2V三棱锥E ABC.由底面ABCD为菱形，ABC60，AB2，得SABC22，V三棱锥P ABCSABCPA2.又V三棱锥P ABCV三棱锥EABCV三棱锥E PAB，V三棱锥E PABV三棱锥P ABC.15(2019贵州贵阳质检)如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB2，EB.(1)求证：DE平面ACD；(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值【答案】(1)证明四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，DC，AC平面ADC，BC平面ADC.DEBC，DE平面ADC.(2)解DC平面ABC，BE平面ABC.在RtABE中，AB2，EB.在RtABC中，ACx，BC(0x2)，SABCACBCx，V(x)V三棱锥EABCx(0x2)x2(4x2)24，当且仅当x24x2，即x时取等号，当x时，体积有最大值. 6