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专题限时集训(九)直线与圆专题通关练(建议用时：30分钟)1(2019长春模拟)过点P(0,1)的直线l与圆(x1)2(y1)21相交于A，B两点，若|AB|，则该直线的斜率为()A1BCD2A由题意，设直线l的方程为ykx1，因为圆(x1)2(y1)21的圆心为(1,1)，半径为r1，又弦长|AB|，所以圆心到直线的距离为d.所以有，解得k1.2已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离B圆M：x2y22ay0(a0)可化为x2(ya)2a2，由题意，M(0，a)到直线xy0的距离d，所以a22，解得a2.所以圆M：x2(y2)24，所以两圆的圆心距为，半径和为3，半径差为1，故两圆相交3(2019江阴模拟)点P是直线xy20上的动点，点Q是圆x2y21上的动点，则线段PQ长的最小值为()A.1 B1 C.1 D2A根据题意，圆x2y21的圆心为(0,0)，半径r1，圆心(0,0)到直线xy20的距离d，则线段PQ长的最小值为1，故选A.4一题多解在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线xky10与圆C：x2y24相交于A，B两点，若点M在圆C上，则实数k的值为()A2 B1 C0 D1C法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)y22ky30，则4k212(k21)0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因为，故M，又点M在圆C上，故4，解得k0.法二：由直线与圆相交于A，B两点，且点M在圆C上，得圆心C(0,0)到直线xky10的距离为半径的一半，为1，即d1，解得k0.5(2019惠州模拟)已知直线4x3y10被圆C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点，点A为定点(2,0)，则|PA|的最大值为()A. B5C2 D.D根据题意，圆C：(x3)2(ym)213的圆心C为(3，m)，半径r，若直线4x3y10被圆C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为4，则圆心到直线的距离d1，则有1，解可得：m2或m(舍)，则m2.点A为定点(2,0)，则|AC|，则|PA|的最大值为|AC|r.故选D.6过点C(3,4)作圆x2y25的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为_4以OC为直径的圆的方程为2(y2)22，AB为圆C与圆O：x2y25的公共弦，所以AB的方程为x2y25，化简得3x4y50，所以点C到直线AB的距离d4.7已知直线l：ax3y120与圆M：x2y24y0相交于A，B两点，且AMB，则实数a_.直线l的方程可变形为yax4，所以直线l过定点(0,4)，且该点在圆M上圆的方程可变形为x2(y2)24，所以圆心为M(0,2)，半径为2.如图，因为AMB，所以AMB是等边三角形，且边长为2，高为，即圆心M到直线l的距离为，所以，解得a.8已知圆O：x2y24上到直线l：xya的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为_(3，3)由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离dr121，即d3，解得a(3，3)能力提升练(建议用时：15分钟)9(2019武汉模拟)已知圆C经过点A(0,0)，B(7,7)，圆心在直线yx上(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程解(1)根据题意，设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，则其标准方程为(xa)2(yb)2r2，因为圆C经过点A(0,0)，B(7,7)，圆心在直线yx上，则有解得则圆C的标准方程为(x3)2(y4)225.(2)若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，分2种情况讨论：直线l经过原点，设直线l的方程为ykx，则有5，解得k，此时直线l的方程为yx；直线l不经过原点，设直线l的方程为xym0，则有5，解得m75或75，此时直线l的方程为xy570或xy570.综上可得：直线l的方程为yx或xy570或xy570.10(2019南昌模拟)如图，已知圆O的圆心在坐标原点，点M(，1)是圆O上的一点(1)求圆O的方程；(2)若过点P(0,1)的动直线l与圆O相交于A，B两点在平面直角坐标系xOy内，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解(1)点M(，1)是圆O上的一点，可得圆O的半径为2，则圆O的方程为x2y24.(2)若直线l的斜率为0，可得直线方程为y1，A(，1)，B(，1)，由|PA|PB|，可得|QA|QB|，即Q在y轴上，设Q(0，m)，若过点P(0,1)的动直线l的斜率不存在，设直线方程为x0，则A(0,2)，B(0，2)，由可得，解得m1或4，由Q与P不重合，可得Q(0,4)，下证斜率存在且不为0的直线与圆的交点，也满足成立若直线的斜率存在且不为0，可设直线方程为ykx1，联立圆x2y24，可得(1k2)x22kx30，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1x2，x1x2，由kQAkQB2k32k32k30，可得QA和QB关于y轴对称，即成立综上可得，存在定点Q，点Q的坐标为(0,4).题号内容押题依据1圆与圆的位置关系、圆的切线高考对圆与圆的位置关系及切线的考查属于冷考点内容，多年没直接考查，今年考查的可能性较大，本题以两圆的位置关系为背景，借助平面几何的基础知识，考查了数形结合思想，考查了考生的数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养2圆的方程、轨迹方程、直线与圆的位置关系、平面向量、直线与椭圆的位置关系圆与椭圆的综合问题，是近几年高考的一个热点本题以圆为背景，综合考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查逻辑推理和数学运算核心素养，综合性强【押题1】若O1：(x1)2(y2)21与O2：(xa)2(y2)24(aR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1AO2.连接O1O2(图略)，在RtAO1O2中，AO11，AO22，AO1AO2，所以O1O2，所以AO1O2斜边上的高h，所以AB2h.所以线段AB的长度是.【押题2】已知圆(x1)2y216的圆心为M，点P是圆M上的动点，点N(1,0)，点G在线段MP上，且满足()()(1)求点G的轨迹C的方程；(2)过点D(0,2)的直线l与曲线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过原点O，求直线l的方程解(1)因为()()，所以()()0，即220，所以|，所以|GM|GN|GM|GP|MP|42|MN|，所以点G在以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆上可设椭圆方程为1(ab0)，则2a4,2c2，即a2，c1，则b23，所以点G的轨迹C的方程为1.(2)由题意知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为ykx2，由消去y可得(34k2)x216kx40，由0得k2.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，因为以AB为直径的圆恰好过原点O，所以OAOB，即0，则有x1x2y1y20，所以x1x2(kx12)(kx22)0，(1k2)x1x22k(x1x2)40，得40，即4(1k2)32k24(34k2)0，解得k2，满足(*)式，所以k.故直线l的方程为yx2.- 6 -
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