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专题限时集训(十三)导数的简单应用专题通关练(建议用时：30分钟)1(2019深圳二模)已知函数f(x)ax2(1a)x是奇函数，则曲线yf(x)在x1处的切线的倾斜角为()A.B.C. D.B函数f(x)ax2(1a)x是奇函数，可得f(x)f(x)，可得a0，f(x)x，f(x)1，即有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为k121，可得切线的倾斜角为，故选B.2若x是函数f(x)(x22ax)ex的极值点，则函数yf(x)的最小值为()A(22)eB0C(22)eDeCf(x)(x22ax)ex，f(x)x2(22a)x2aex，由题意可知f()0，即a1.f(x)(x22x)ex.f(x)(x22)ex，由f(x)0得x.又f()(22)e，f()(22)e，且f()f()故选C.3易错题(2019长春二模)已知f(x)是函数f(x)的导函数，f(1)e，xR,2f(x)f(x)0，则不等式f(x)e2x1的解集为()A(，1)B(1，)C(，e)D(e，)B令g(x)，则g(x)，2f(x)f(x)0，g(x)0，g(x)递减，不等式f(x)e2x1g(x)g(1)x1，故选B.4易错题若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A5,0)B(5,0)C3,0)D(3,0)C由题意，f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2,0)上是减函数，作出其图象如图所示令x3x2得，x0或x3，则结合图象可知解得a3,0)，故选C.5已知函数f(x)在R上可导，且f(x)4xx3f(1)2f(0)，则f(x)dx_.f(x)4xx3f(1)2f(0)，f(x)43x2f(1)，令x1得f(1)43f(1)，即f(1)1.令x0得f(0)4.f(x)4xx38.f(x)dx(4xx38)dx.6已知函数f(x)x3mx24x3在区间1,2上是增函数，则实数m的取值范围为_(，4由函数f(x)x3mx24x3，可得f(x)x2mx4，由函数f(x)x3mx24x3在区间1,2上是增函数，可得x2mx40在区间1,2上恒成立，可得mx，又x24，当且仅当x2时取等号，可得m4.能力提升练(建议用时：15分钟)7已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围解(1)由已知得f(x)的定义域为(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).所以当0x2时，f(x)0，即f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值，且当x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.所以当a4时，f(x)只有极小值44ln 2.(2)因为f(x)，所以当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0时，由f(x)0得，x，所以f(x)在上单调递增；由f(x)0得，x，所以f(x)在上单调递减所以当a0时，f(x)的最小值为falna.根据题意得falnaa，即aln(a)ln 20.因为a0，所以ln(a)ln 20，解得a2，所以实数a的取值范围是2,0)8(2019武汉模拟)已知函数f(x)a(xln x)(1)当a0时，试求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)a，.当a0时，对于x(0，)，exax0恒成立，所以由f(x)0，得x1；由f(x)0，得0x1.所以f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)(2)若f(x)在(0,1)内有极值，则f(x)0在(0,1)内有解令f(x)0，即exax0，即a.设g(x)，x(0,1)，所以g(x)，当x(0,1)时，g(x)0恒成立，所以g(x)单调递减又因为g(1)e，又当x0时，g(x)，即g(x)在(0,1)上的值域为(e，)，所以当ae时，f(x)0有解设H(x)exax，设H(x)exa0，x(0,1)，所以H(x)在(0,1)上单调递减因为H(0)10，H(1)ea0，所以H(x)exax0在(0,1)上有唯一解x0.当x变化时，H(x)，f(x)，f(x)变化情况如表所示：x(0，x0)x0(x0,1)H(x)0f(x)0f(x)极小值所以当ae时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一当ae时，当x(0,1)时，f(x)0恒成立，f(x)单调递减，不成立综上，a的取值范围为(e，)内容押题依据利用导数讨论函数的单调性、极值、不等式的证明函数的单调性、极值与不等式交汇是近几年高考的热点，考查灵活应用导数工具、数形结合思想及分类讨论思想解题的能力，考查逻辑推理及数学运算的素养【押题】设函数f(x)xaxln x(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的极大值点为x1，证明：f(x)exx2.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1aln xa，当a0时，f(x)x，则函数f(x)在区间(0，)上单调递增； 当a0时，由f(x)0得xe，由f(x)0得0xe，所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增；当a0时，由f(x)0得0xe，由f(x)0得xe，所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a0时，函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增；当a0时，函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)由(1)知a0且e1，解得a1，f(x)xxln x要证f(x)exx2，即证xxln xexx2，即证1ln xx.令f(x)ln xx1(x0)，则f(x)1.令g(x)xex(x0)，易知函数g(x)在区间(0，)上单调递增而g(1)10，g(0)10，所以在区间(0，)上存在唯一的实数x0，使得g(x0)x0e0，即x0e，且当x(0，x0)时g(x)0，当x(x0，)时g(x)0，故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增所以F(x)minF(x0)ln x0x01.又ex0，所以F(x)minln x0x01x01x010.所以f(x)F(x0)0成立，即f(x)exx2成立- 7 -
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