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专题限时集训(十)圆锥曲线的定义、方程及性质专题通关练(建议用时：30分钟)1(2019合肥模拟)设双曲线C：1(a0，b0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为yx，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1 Dx21A由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b4，即b2，又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为yxx，可得a4，所以双曲线C的方程为1，故选A.2(2019全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A2sin 40 B2cos 40C. D.D由题意可得tan 130，所以e.故选D.3一题多解(2019长沙模拟)已知抛物线C：y28x的焦点为F，点A(1，a)(a0)在C上，|AF|3.若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是()A12 B10C9 D4.5C法一：因为A(1，a)(a0)在抛物线C上，所以a28，解得a2或a2(舍去)，故直线AF的方程为y2(x2)，与抛物线的方程联立，消去y，可得x25x40，解得x11，x24，由抛物线的定义，得|BF|426，所以|AB|AF|BF|9，故选C.法二：因为直线AB过焦点F，所以xAxBp24，又xA1，所以xB4，所以|AB|AF|BF|xAxB49，故选C.4(2019青岛模拟)已知抛物线x22py(p0)的焦点F是椭圆1(ab0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A，B两点，若FAB是正三角形，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.C如图，由|AB|，FAB是正三角形，得2c，化简可得(2a23b2)(2a2b2)0，所以2a23b20，所以，所以椭圆的离心率e，故选C.5(2019全国卷)已知F是双曲线C：1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点若|OP|OF|，则OPF的面积为()A. B.C. D.B由F是双曲线1的一个焦点，知|OF|3，所以|OP|OF|3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，则解得所以P，所以SOPF|OF|y03.故选B.6(2019延安一模)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过F作直线l交抛物线C于A，B两点，若|AF|，|BF|2，则p_.1如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|，|BF|2，根据抛物线的定义可得x1，x22，92，p1.7(2019长春模拟)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|，若MFOA，则椭圆的方程为_1F为椭圆的右焦点，|OF|，c.设椭圆方程为1(b0)，A，B为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MFOA，A是长轴右端点，1，yM，M.A(，0)，B(0，b)，C.kOMkOC，b.所求椭圆方程是1.8(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_(3，)设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x4)2y264上因为点M在椭圆1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)能力提升练(建议用时：15分钟)9已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3.(1)求抛物线C的方程；(2)已知点P在抛物线C上且异于原点，点Q为直线x1上的点，且FPFQ，求直线PQ与抛物线C的交点个数，并说明理由解(1)抛物线C的准线方程为x，所以点E(2，t)到焦点F的距离为23，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点理由如下：设点P，点Q(1，m)由(1)得焦点F(1,0)，则，(2，m)，由题意可得0，故2my00，从而m.故直线PQ的斜率kPQ.故直线PQ的方程为yy0，得x.又抛物线C的方程为y24x，所以由得(yy0)20，故yy0，x.故直线PQ与抛物线C只有一个交点10(2019永州三模)已知椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆过点(0,2)，点Q为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，且QF1F2的周长为44.(1)求椭圆E的方程；(2)过点F1，F2分别作斜率为k1，k2的直线l1，l2，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且|AB|CD|6，求k1k2的值解(1)由题意可知，解之得a2，b2，所以椭圆E的方程为1.(2)由题意可知，F1(2,0)，F2(2,0)，设直线AB的方程为yk1(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(12k)x28kx8k80，(8k)24(12k)(8k8)32(k1)0，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2|4，同理联立方程，由弦长公式可知，|CD|4，|AB|CD|6，446，化简得kk，则k1k2.题号内容押题依据1双曲线的渐近线、离心率、直线与抛物线的位置关系双曲线的离心率问题，历来是高考的热点本题以求双曲线的离心率为背景，综合考查双曲线的基本性质、直线与抛物线位置关系的应用考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养2椭圆、圆与椭圆(抛物线)、圆有关的圆锥曲线问题在近几年高考中都有涉及，是高考的热点题型，多作为压轴题出现，本题将椭圆(抛物线)与圆相结合，考查三角形面积最值的求解，综合考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养，符合高考的命题规律【押题1】一题多解双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.B5C.D.D由于双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，所以直线yx与抛物线yx21相切法一：由得ax2bxa0，则该方程有两个相等的实数解，即b24a20，解得4，所以离心率e.故选D.法二：设切点为(x0，x1)，对yx21求导，得y2x，则x1x0,2x0，所以2，所以离心率e.故选D.【押题2】已知椭圆C：1(ab0)的顶点到直线l：yx的距离分别为，.(1)求椭圆C的离心率；(2)过圆O：x2y24上任意一点P作椭圆的两条切线PM和PN分别与圆O交于点M，N，求PMN面积的最大值解(1)由直线l的方程知，直线l与两坐标轴的夹角均为45，则可得长轴端点到直线l的距离为a，短轴端点到直线l的距离为b，所以解得所以c.于是椭圆C的离心率e.(2)设P(xP，yP)，则xy4.若两条切线中有一条切线的斜率不存在，则xP，yP1，另一条切线的斜率为0，从而PMPN.此时SPMN|PM|PN|222.若两条切线的斜率均存在，则xP，由(1)知，椭圆方程为y21，设过点P的椭圆的切线方程为yyPk(xxP)，代入椭圆方程，消去y并整理，得(3k21)x26k(yPkxP)x3(yPkxP)230.依题意有0，即(3x)k22xPyPk1y0.设切线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则k1k21，即PMPN.所以线段MN为圆O的直径，所以|MN|4.所以SPMN|PM|PN|(|PM|2|PN|2)|MN|24，当且仅当|PM|PN|2时，SPMN取得最大值，最大值为4.综合可得，PMN面积的最大值为4.- 7 -
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