2020届高考数学一轮复习 第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 专题10.8 离散型随机变量的均值与方差练习（含解析）

专题10.8离散型随机变量的均值与方差【考试要求】1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.【知识梳理】1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称D(X)_(xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.2.均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p).(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p).【微点提醒】1.若x1，x2相互独立，则E(x1x2)E(x1)E(x2).2.均值与方差的关系：D(X)E(X2)E2(X).3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X).【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.【教材衍化】2.(选修23P68A1改编)已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A. B.4 C.1 D.1【答案】A【解析】E(X)101，E(Y)E(2X3)2E(X)33.3.(选修23P68练习2改编)若随机变量X满足P(Xc)1，其中c为常数，则D(X)的值为_.【答案】0【解析】P(Xc)1，E(X)c1c，D(X)(cc)210.【真题体验】4.(2018浙江卷)设0p1，随机变量的分布列是012P则当p在(0，1)内增大时()A.D()减小 B.D()增大C.D()先减小后增大 D.D()先增大后减小【答案】D【解析】由题可得E()p，所以D()p2p，所以当p在(0，1)内增大时，D()先增大后减小.5.(2019北京延庆区调研)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_.【答案】乙【解析】E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.20.9，所以E(Y)E(X)，故乙技术好.6.(2017全国卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)_.【答案】1.96【解析】有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p0.02，n100，则D(X)np(1p)1000.020.981.96.【考点聚焦】考点一离散型随机变量的均值与方差【例1】 (2019青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位：元)，求的分布列与数学期望E()，方差D().【答案】见解析【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为p1，两人都付40元的概率为p2，两人都付80元的概率为p3，则两人所付费用相同的概率为pp1p2p3.(2)由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0，40，80，120，160，则：P(0)；P(40)；P(80)；P(120)；P(160).的分布列为04080120160PE()0408012016080.D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.【规律方法】(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用.【训练1】 (2017天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【答案】见解析【解析】(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.考点二二项分布的均值与方差【例2】 (2019顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.(1)求a，b，c的值及居民月用水量在22.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.【答案】见解析【解析】(1)前四组频数成等差数列，所对应的也成等差数列，设a0.2d，b0.22d，c0.23d，0.50.2(0.2d)20.22d0.23d0.131，解得d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.居民月用水量在22.5内的频率为0.50.50.25.居民月用水量在22.5内的频数为0.2510025.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.70.8，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定w2.52.83.(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A2.5)0.7，由题意，XB(3，0.7)，P(X0)C0.330.027，P(X1)C0.320.70.189，P(X2)C0.30.720.441，P(X3)C0.730.343，X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343XB(3，0.7)，E(X)np2.1.【规律方法】二项分布的均值与方差.(1)如果B(n，p)，则用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同样还可求出D(ab).【训练2】 (2019湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量(g)5，15)15，25)25，35)35，45)45，55数量(只)6101284(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在5，25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】见解析【解析】(1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为(61010201230840450)28.5(g)，所以购进500 kg生蚝，其数量为500 00028.517 544(只).(2)由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在5，25)间的概率为，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X0)，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，P(X4)，X的分布列为X01234PE(X)0334.考点三均值与方差在决策问题中的应用【例3】 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.【答案】见解析【解析】若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为X1300150PE(X1)300(150)200(万元).若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为：X25003000PE(X2)500(300)0200(万元).D(X1)(300200)2(150200)235 000，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.【规律方法】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【训练3】 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【答案】见解析【解析】(1)依题意，得p1P(40X120)0.1.由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为pC(1p3)4C(1p3)3p340.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安装3台发电机的情形.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.因此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.【反思与感悟】【基本方法】1.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；2.已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；3.如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.【易错防范】1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)()A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】由数学期望公式可得E(X)123.2.已知离散型随机变量X的概率分布列为X135P0.5m0.2则其方差D(X)()A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4【答案】C【解析】由0.5m0.21得m0.3，E(X)10.530.350.22.4，D(X)(12.4)20.5(32.4)20.3(52.4)20.22.44.3.(2019宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(nN*)个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)1，则E(X)()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由题意，XB(4，p)，D(X)4p(1p)1，p，E(X)4p42.4.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6【答案】B【解析】由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由数学期望的定义可求得E(X)34565.25.5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为()A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X2)，P(X4)，P(X6)，故E(X)246.二、填空题6.已知随机变量的分布列为123P0.5xy若E()，则D()_.【答案】【解析】由分布列性质，得xy0.5.又E()，得2x3y，可得D().7.(2019杭州期末)在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为，则数学期望E()_，方差D()的最大值为_.【答案】p【解析】记事件A发生的次数可能的值为0，1.01P1pp数学期望E()0(1p)1pp，方差D()(0p)2(1p)(1p)2pp(1p).故数学期望E()p，方差D()的最大值为.8.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是_.【答案】【解析】随机变量X的取值为0，1，2，4，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X4)，因此E(X).三、解答题9.(2019天津和平区模拟)某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在90分到140分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组：90，100)，第二组：100，110)，第五组：130，140.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分以上记为“优秀”，不超过100分记为“及格”.(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数；(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.【答案】见解析【解析】(1)由频率分布直方图知，成绩在100，120)内的人数为500.01610500.0381027，该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27.(2)由频率分布直方图可知第一组有0.00610503个成绩，第五组有0.00810504个成绩，即第一、五组中共有7个成绩.由题意，X的可能取值为0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2)，则X的分布列为X012PE(X)012.10.(2016全国卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？【答案】见解析【解析】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04；所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)3，则D(X)()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，XB，又E(X)3，m2，则XB，故D(X)5.12.(2019潍坊期末)某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进3个轮次的投篮；每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】在一轮投篮中，甲通过的概率为p，通不过的概率为.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，则P(X0)；P(X1)C；P(X2)C；P(X3).随机变量X的分布列为：X0123P数学期望E(X)0123，或由二项分布的期望公式可得E(X).13.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p0)，射击次数为Y，若Y的数学期望E(Y)，则p的取值范围是_.【答案】【解析】由已知得P(Y1)p，P(Y2)(1p)p，P(Y3)(1p)2，则E(Y)p2(1p)p3(1p)2p23p3，解得p或p，又p(0，1)，所以p.14.(2019青岛二中月考)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成0，10)，10，20)，20，30)，30，40)，40，50)，50，60六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据直方图中的数据填写下面的22列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标总计男60女110总计(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望.附：K2.P(K2k0)0.150.050.0250.0100.0050.001k02.0723.8415.0246.6357.87910.828【答案】见解析【解析】(1)由题意得“课外体育达标”人数为200(0.020.005)1050，则“课外体育不达标”人数为150，列联表如下：课外体育不达标课外体育达标总计男603090女9020110总计15050200K26.0616.635.在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：的所有可能取值为1，2，3，P(1)；P(2)；P(3)；故的分布列为123P故的数学期望为E()123.【新高考创新预测】15.(试题创新)已知随机变量i的分布列如下：i012P(1pi)22pi(1pi)p其中i1，2，若0p1p2，则()A.E(21)E(22)，D(21)D(22)B.E(21)D(22)C.E(21)E(22)，D(21)E(22)，D(21)D(22)【答案】A【解析】由分布列知iB(2，pi)(i1，2)，则E(1)2p1，E(2)2p2，D(1)2p1(1p1)，D(2)2p2(1p2)，所以E(21)2E(1)4p1，E(22)2E(2)4p2，D(21)4D(1)8p1(1p1)，D(22)4D(2)8p2(1p2).因为0p1p2，所以E(21)E(22)，D(21)D(22)8p1(1p1)8p2(1p2)8(p1p2)1(p1p2)0，所以D(21)D(22)，故选A. 19