八年级数学下册 第十九章 一次函数教案 （新版）[新人教版]

1 第十九章第十九章 一次函数一次函数 19191 1 函 数 19191.11.1 变量与函数 第 1 1 课时 变量与常量 理解变量、常量的概念 重点 变量与常量的概念，变量之间的关系 难点 理解并掌握变量以及变量之间的关系 一、创设情境，引入新课 情境问题：一辆汽车以 60 千米/时的速度行驶，行驶路程为 s 千米，行驶时间为 t 小 时请同学们根据题意填写下表： t/时 12345 s/千米 师：在以上过程中，有没有变化的量？有没有始终不变的量？ 生：变化的量是时间和路程，不变的量是速度 师：1 小时路程为 60 千米，2 小时路程为 260 千米，所以 t 小时路程为 60t 千 米，即 s60t.这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程随时间变化的过程，在现实 生活中，有许多类似的问题，在这些问题中都有变化着的量和始终不变的量 二、讲授新课 1每张电影票零售价为 10 元，如果早场售出 150 张，午场售出 205 张，晚场售出 310 张，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出 x 张票，如何用含 x 的式子表 示票房收入 y 元？ 生：早场收入为 150101500(元)，午场收入为 205102050(元)，晚场收入为 310103100(元)，当售出的票数为 x 张时，收入 y10 x. 师：在这个过程中有没有变化着的量与始终不变的量？ 生：有，售出的张数与票房收入是变化着的量，每张电影票的售价是始终不变的量 2活动一：请大家动手画出一个面积为 10 cm2，20 cm2的圆各一个 生：必须先根据圆的面积公式算出半径，再画圆 师：那么它们的半径各是多少呢？ 生：第一个圆的半径为1.8 (cm)；第二个圆的半径为2.5(cm) 10 3.14 20 3.14 师：如果圆的面积为 S，怎样表示出半径 r? 生：r. S 师：在这个过程中，变量与常量各是什么？ 生：这里变量是 S 和 r，常量是. 3活动二：用 10 m长的绳子围成长方形，改变长方形的长度，观察长方形面积的变 化，并记录不同长方形的长度值，计算相应的面积 生 1：当长为 4 m时，宽为 1 m，面积为 414(m2) 生 2：当长为 3 m时，宽为 2 m，面积为 326(m2) 师：设长方形的长度为 x m，如何求出它的面积 S? 生：当长为 x m时，它的宽是(5x) m，因此它的面积是 Sx(5x)m2. 师：长方形的长与宽以及面积是变量，绳子的总长是常量 这些问题反映了不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化的，像这 种数值发生变化的量称为变量，有些量的数值始终不变，像这种数值始终不变的量称为常 量 2 三、巩固练习 1购买一些练习本，单价 0.5 元/本，总价 y(元)随练习本本数 x 的变化而变化，指 出其中的常量与变量，并写出关系式 【答案】y0.5x，其中 x，y 是变量，0.5 是常量 2一个三角形的底边长 10 cm，高 h 可以任意伸缩，写出面积 S 随 h 变化的关系式， 并指出其中的常量与变量 【答案】S 10h5h，其中，S，h 是变量，5 是常量 1 2 四、课堂小结 变量：在一个变化过程中数值发生变化的量 常量：在一个变化过程中数值始终保持不变的量 本节课从学生熟知的生活出发，抽象出函数中基本的两个概念：常量与变量，然后通 过练习进一步掌握像这样取材于学生生活，结合学生已有的经验进行教学，正是新课标 所要求的 第 2 2 课时 函 数 理解函数的概念，准确写出函数的关系式 重点 函数的概念，函数解析式的求法 难点 函数概念的理解 一、创设情境，引入新课 师：上一节课中的每个问题都涉及两个变量，这两个变量之间有什么联系呢？当其中 一个变量确定一个值时，另一个变量是否也随之确定呢？这将是我们这节课要研究的内 容 二、讲授新课 师：观察问题(1)中的表格，时间 t 和路程 s 是两个变量，但当 t 取定一个值时，s 也 随之确定一个值. t/时 12345 s/千米 60120180240300 生：是的，当 t1 时，s60；当 t2 时，s120；当 t5 时，s300. 师：问题(2)也是一样的，当早场 x150 时，收入 y1500；当午场 x205 时， y2050；当晚场 x310 时，y3100.也就是说售票张数 x 与票房收入 y 是两个变量，但 当 x 取定一个值时，票房收入 y 也就确定一个值 师：问题(3)中，当圆的半径 r10 cm时，S100 cm2，当 r20 cm时，S400 cm2等，也就是说 生：也就是说当圆的半径 r 取定一个值时，面积 S 也随之确定，并且 Sr2. 师：问题(4)中，当长为 4 m时，面积为 4 m2；当长为 3 m时，面积 S 为 6 m2；当长 x 为 2.5 m时，面积 S 为 6.25 m2，也就是说 生：也就是说当长 x 取定一个值时，面积 S 也就随之确定一个值 师：当长取定为 x m时，面积 S 等于多少呢？ 生：Sx(5x)5xx2. 师：像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 每一个确定的 值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数前面的几个问题 中，哪个是自变量，哪个是函数呢？它们之间的关系如何用式子表示？ 生 1：问题(1)中，时间 t 是自变量，路程 s 是 t 的函数，s60t. 生 2：问题(2)中，售票数量 x 是自变量，收入 y 是 x 的函数，y10 x. 生 3：问题(3)中，圆的半径 r 是自变量，面积 S 是 r 的函数，Sr2. 3 生 4：问题(4)中，长方形的长 x 是自变量，面积 S 是 x 的函数，Sx(5x) 师：其实，现实生活中某些函数关系是用图表的形式给出的，比如说：心脏部位的生 物电流，y 是 x 的函数吗？ 生：y 是 x 的函数，因为在心电图里，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值 和它对应 师：很好！再比如说下面是我国的人口统计表，人口数量 y 是年份 x 的函数吗？ 中国人口数统计表 年份人口数/亿 198410.34 198911.06 199411.76 199912.52 201013.71 生：是的，因为对于表中每一个确定的年份，都对应着一个确定的人口数 教师总结：(再一次叙述函数的定义)像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数 如果当 xa 时，yb，那么 b 叫做当自变量 xa 时的函数值，例如在问题(1)中当 t1 时的函数值 s60，当 t2 时的函数值 s120.在人口统计表中当 x1999 时，函数 值 y12.52 亿 【例】教材第 73 页例 1 师：关于自变量的取值范围我们再来看两个题目 求下列函数中自变量 x 的取值范围： y2x25； y； 1 x4 y. x3 生 1：对于 y2x25，x 没有任何限制，x 可取任意实数 生 2：对于 y，(x4)必须不等于 0 式子才有意义，因此 x4. 1 x4 生 3：对于 y，由于二次根式的被开方数大于等于 0，因此 x3. x3 三、巩固练习 下列问题中，哪些是自变量？哪些是自变量的函数？写出用自变量表示函数的式子 1改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之改变 【答案】Sx2，x 是自变量，S 是因变量 2秀水村的耕地面积为 106 m2，这个村人均占有耕地面积 y 随这个村人数 n 的变化而 变化 【答案】y，n 是自变量，y 是因变量 106 n 四、课堂小结 本节课我们通过对问题的思考、讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过 两个活动，加深了对函数意义的理解，学会了确定函数关系式以及求自变量取值范围的方 法，从而提高了运用函数知识解决实际问题的能力 本节课引入新课所设计的一些问题都来自于学生生活，函数的概念也是在教师引导下 4 学生自主发现的，这样做能充分调动学生学习的积极性，同时能让学生更加热爱生活，增 强学生利用所学知识解决实际问题的意识 19.1.219.1.2 函数的图象 第 1 1 课时 函数的图象(1 1) 准确地运用列表、描点、连线等步骤画出函数的图象 重点 函数图象的画法，观察分析图象的信息 难点 函数图象的理解，概括图象中的信息 一、创设情境，引入新课 下面是一张心电图，其中横坐标 x 表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，变 量 y 随 x 的变化而变化 师：这个问题中的函数关系很难用式子表示，但是可以用图象直观地反映出来事实 上即使对能用函数关系式表示的函数，如果用图形表示，则会使函数关系更清晰这就是 我们这节课所要学习的内容函数的图象 二、讲授新课 师：如何表示出正方形的面积 S 与边长 x 的函数关系呢？自变量 x 的取值范围又如何？ 生：正方形的面积 S 与边长 x 的函数关系式为 Sx2，其中自变量的取值范围是 x0. 师：我们如何用画图的方法来表示 S 与 x 的关系呢？既然对于自变量 x 的每一个确定 的值，S 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就列出其中的一部分： x00.511.522.533.54 S00.2512.2546.25912.2516 把其中 x 的值作为点的横坐标，S 的值作为纵坐标，那么这些对应值就在平面直角坐 标系中对应 9 个点，请大家画出这样的 9 个点 学生画出平面直角坐标系并描出这样的 9 个点 师：这个图形上只有这 9 个点吗？ 生：不是的，因为 x 的取值不止这 9 个，点也就不止 9 个 师：那么其他的点我们还可以像这样一一地描出来吗？ 生：不能，因为有无数个点 师：其他的点我们怎样画出来呢？ 生： 师：其他的点我们不是一一描出的，而是根据这 9 个特殊点的位置来确定的，也就是 用平滑的曲线把这 9 个点按从左到右的顺序连接起来 5 教师一边讲一边用平滑的曲线连接这些点，并要求学生跟着连线 师：这个图形我们就称作是函数 Sx2的图象由于 x0，所以原点不在图象上，应 用空心圆圈表示 教师总结：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐 标，那么坐标平面内的这些点组成的图形就是这个函数的图象 师：函数图象为我们利用数形结合的思想研究函数提供了便利，另外，函数图象也给 我们带来许多信息，大家从下面的图象中可以得到哪些信息？ 生 1：我知道这天的最高气温是 8，是中午 14 点时产生的；最低气温是3，是凌 晨 4 点产生的 师：请大家仔细观察，看还能得到哪些信息？ 如果学生不能回答，提醒学生从气温的变化趋势上考虑 生 2：我知道从 0 时至 4 时，气温呈下降状态；从 4 时至 14 时，气温呈上升状态；从 14 时至 24 时，气温又呈下降状态 师：我们还可以从图象中看出这一天任一时刻的气温大约是多少，另外长期观察这样 的气温图象，我们还能掌握气温的变化规律 三、例题讲解 【例 1】教材第 76 页例 2 【例 2】教材第 77 页例 3 四、巩固练习 用描点法画出函数 y (x0)的图象 3 x 【答案】略 五、课堂小结 用描点法画函数图象的步骤：第一步：列表，在自变量取值范围内选定一些值，求出 对应的函数值；第二步：描点，在平面直角坐标系中，以自变量的值作为横坐标，相应的 函数值作为纵坐标，描出对应各点；第三步：连线，按照自变量从小到大的顺序把所描各 点用平滑曲线连接起来 本节课让学生自己动手一步一步地按照列表、描点、连线的步骤画出函数的图象，并 且在老师的详细讲解下理解了图象的概念这种通过学生自己动手来接受新知识的方法以 后还要加强 第 2 2 课时 函数的图象(2 2) 6 进一步理解并掌握函数的不同表示方法，会发现函数图象所提供的信息 重点 从图象中提取信息，利用图象解决问题 难点 利用函数的图象解决问题 一、创设情境，引入新课 师：我们在前面几节课已经看到或亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了 一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析法和图象法大家思考一下，从 前面的例子看，这三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到实际问题时又该如何选择 这些方法？这就是我们这节课要研究的问题 二、讲授新课 师：从以前的活动可以看出，函数的表示方法有三种：列表法、解析法和图象法，下 面我们通过一个活动来探究这三种方法的优缺点 活动：水库的水位在最近 5 小时内持续上涨，下表记录了这 5 个小时的水位高度. t/时 012345 y/米 33.33.63.94.24.5 师：这是用什么方法来表示函数的？ 生：列表法 师：它比较直观，如果我们要更准确地了解这 5 个小时中水位高度 y(米)随时间 t(时) 的关系，我们可以用什么方法？ 生：解析法 师：下面我们就来求 y 与 t 的函数关系式由于开始时水位高度为 3 米，以后每隔 1 小时水位升高 0.3 米，于是我们有 y0.3t3，由于这段时间是指 5 小时内，因此 0t5.如果我们要想更形象、更直观地了解这两个变量间的关系，进而预测水位，哪种 方法比较好呢？ 生：图象法 师：好，下面我们就来看这个函数的图象，如下图所示 师：如果估计这种上涨规律还会持续 2 小时，那么利用哪种方法还可以预测出再过 2 小时以后的高度呢？ 生 1：利用函数解析式可以得到，当 t7 小时时，y0.3735.1(米) 生 2：利用图象也可以预测出当 t7 小时时水位的高度 师：两个同学讲得都很好！利用解析式求 2 小时后的水位比较准确，通过图象估算比 较直接、方便刚 才这个活动，我们主要了解的是函数的三种表示方法的优缺点以及相互转化具体说， 列表法比较直观地反映出函数中两个变量的关系，但它不够全面，也不如图象法形象；解 析法能比较全面、准确地表示出两个变量的关系，但它不够直观形象；图象法能形象、直 观地反映出两个变量的关系，但它不够准确也就是说这三种方法各有优缺点，在实际问 题中我们要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要同时使用几种 方法 三、巩固练习 1用列表法、解析法表示 n 边形的内角和 m 是边数 n 的函数 7 2用解析法与图象法表示等边三角形的周长 l 是边长 a 的函数 四、课堂小结 通过本节课的学习，我们认识了函数的三种不同表示方法，学会根据具体情况选择适 当的方法来解决问题，另外我们进一步根据图象发现其中所蕴含的信息 本节课中函数的三种表示方法的优缺点是学生在比较中自己发现的，爬山问题中图象 的信息也是学生通过交流、讨论以及老师的适当提醒发现的，像这样让学生在交流、探究 中学习知识的方法是值得提倡的 19.219.2 一次函数 19192.12.1 正比例函数 第 1 1 课时 正比例函数(1 1) 理解并掌握正比例函数的概念及图象 重点 正比例函数的概念、图象及性质 难点 正比例函数的图象及性质 一、创设情境，引入新课 问题：2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1318 km.设列车的平均速度为 300 km/h. 考虑以下问题： (1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时？(结果 保留小数点后一位) (2)京沪高铁列车的行程 y(单位：km)与运行时间 t(单位：h)之间有何数量关系？ (3)京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h后，是否已经过了距始发站 1100 km的南京南 站？ 分析：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需 13183004.4(h) (2)京沪高铁列车的行程 y 是运行时间 t 的函数，函数解析式为 y300t(0t4.4) (3)京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h的行程，是当 t2.5 时函数 y300t 的值， 即 y3002.5750(km) 这时列车尚未到达距始发站 1100 km的南京南站 师：这个函数中，t 是自变量，y 是 t 的倍数(300 倍)尽管实际情况可能会与此有一 些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间的对应规律像这样的函数 就是我们今天所要讲的函数正比例函数 二、讲授新课 思考：下列问题中的两个变量可用怎样的函数表示？ 师：圆的周长 l 随半径 r 的大小变化而变化，l 是 r 的函数吗？ 生：l2r，l 是 r 的函数 师：铁的密度为 7.8 g/cm3，铁块的质量 m(g)随它的体积 V(cm3)的变化而变化，铁块 的质量 m 是体积 V 的函数吗？ 生：m7.8V 师：每本练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本的总厚度 h(cm)随本数 n 的变化而变化 的函数关系是怎样的？ 生：h0.5n. 师：冷冻一个 0的物体，使它每分钟下降 2，物体的温度 T()随冷冻时间 t(分) 的变化而变化，那么它的函数关系式是怎样的呢？ 生：T2t. 8 师：这些函数有什么共同特点呢？ 学生思考并回答，教师予以总结 师：上面这些函数与 y300 x 一样，函数都是自变量的倍数，或者说都是常数与自变 量的乘积，像这种函 数就是正比例函数 一般地，形如 ykx(k 是常数，k0)的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系 数 师：ykx(k 是常数，k0)是正比例函数的一般形式，注意 k0 的条件下列函数 是正比例函数吗？y ，y ，ykx，ykx2，yk2x(k0) x 3 3 x 生：是的，其他的都不是 三、例题讲解 (1)若 y5x3m2是正比例函数，则 m_； (2)若 y(m1)xm2是正比例函数，则 m_. 解：(1)3m21，即 m1 时，它为正比例函数；(2)由题意可知解得 m21， m1 0，) m1. 四、课堂小结 1正比例函数的定义 2正比例函数的应用 本节课从实际问题中提出了正比例函数，让学生自主的分析发现函数的定义和规律， 激发了学生的学习兴趣，提高了学生的归纳能力 第 2 2 课时 正比例函数(2 2) 会画正比例函数的图象 重点 一次函数图象的画法 难点 根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质 一、复习引入 师：什么样的函数是正比例函数？ 生：形如 ykx(k 是常数，k0)的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数 师：前面我们讲函数图象的画法时，是通过把解析式中的 x，y 的值分别取出来，作为 横、纵坐标在直角坐标系中描点、连线来得到函数图象，那么对于正比例函数我们同样可 以用列表、描点、连线的方法来画出它的图象 二、讲授新课 操作：画出正比例函数 y2x，y2x 的图象 师：由于 k0，所以 k0 或 k0，这两个函数刚好一个 k0，一个 k0.显然这里 的图象和前面一样是通过列表、描点、连线完成的 第一个图象老师带学生画，第二个图象由学生独立完成，教师巡视指导 1函数 y2x 中自变量 x 可以是任意实数列表表示几组对应值： x 321 0123 y 642 0246 画出图象如图(1) 9 2y2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值： x 321 0123 y6420 246 画出图象如图(2) 师：比较这两个图象的相同点与不同点 学生讨论以后教师再进行总结 师生共同总结：两图象都是经过原点的一条直线；函数 y2x 的图象从左到右上升， 经过第一、第三象限；函数 y2x 的图象从左到右下降，经过第二、第四象限 为了更好地发现并总结规律，师生一起在同一坐标系中画出函数 y x 和 y x 的 1 2 1 2 图象 列表如下： x 642 0246 y x 1 2 321 0123 y x 1 2 3210 123 图象如图所示： 【例】请同学们在同一直角坐标系中画出函数 y1.5x 和 y4x 的图象函数 y1.5x 中自变量 x 可为任意实数下表是 y 与 x 的几组对应值. x 321 0123 y4.531.50 1.534.5 如图，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，将这些点连接起来，得到一条经 过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数 y1.5x 的图象 用同样的方法，可以得到函数 y4x 的图象它也是一条经过原点和第二、第四象 限的直线 10 分析后得出结论 师：一般地，正比例函数 ykx(k 为常数，k0)的图象是一条经过原点的直线，我们 称它为直线 ykx.当 k0 时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即 y 随 x 的增大 而增大；当 k0 时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即 y 随 x 的增大反而减小 既然我们已经知道正比例函数的图象是一条直线，那么我们以后画正比例函数的图象 时，只需要描出两点，然后过这两点作一条直线即可比如说，画直线 y3x 只需先指出 两点(0，0)、(1，3)，然后过这两点作出直线即可 三、巩固练习 用简单的方法画出下列函数的图象，并对照两图象说出图象与函数的性质 1y x. 3 2 2y3x. 四、课堂小结 本节课通过具体的正比例函数的图象探索出正比例函数的图象及其性质，这符合解决 问题的一般途径 本节课教师带领学生画正比例函数的图象，又通过对函数图象的观察、总结，得到比 例系数与函数图象间的关系 19.2.219.2.2 一次函数 第 1 1 课时 一次函数(1 1) 了解一次函数的一般形式 重点 一次函数的一般形式 难点 探索实际问题中的一次函数关系 一、创设情境，引入新课 问题：某登山队大本营所在地的气温是 5，海拔每升高 1 km气温下降 6，登山队 员由大本营向上登高 x km时，他们所在位置的气温是 y，试用解析式表示 y 与 x 的关 系 师：每升高 1 km气温下降 6，那么升高 x km，气温下降 6x，因此所在位置的气 温为 56x，即 y6x5.自变量是 x，右边是自变量的一次式，像这样的函数就是我们 今天所要学的一次函数 二、讲授新课 思考：下列问题中变量间的关系可用怎样的函数表示？这些函数有哪些共同点？ 师：在 2025时蟋蟀每分钟鸣叫的次数 C 与 t()有关，即 C 的值约是 t 的 7 倍 与 35 的差这个函数的关系式怎么写？ 生：C 7t35. 师：一种计算成年人标准体重 G(kg)的方法是：以厘米为单位量出身高 h，再减去常数 105，所得差是 G 的值，即：Gh105. 某市的市内电话的月收费额 y(元)包括月租费 22 元和拨打电话按 0.1 元/分收取，写 出 y 与每月电话 x(分钟)的函数关系式 生：y0.1x22. 师：把一个长 10 cm、宽 5 cm的长方形的长减少 x cm，宽不变，长方形的面积 y(cm2)随 x 的变化的关系式是什么？ 生：y 5(10 x)5x50. 师：上述这些函数有什么共同特点？比如说右边 生：右边都是自变量的倍数与一个常数的和 师：对，上述这些函数的右边都是关于自变量的一次式，像这样的函数是一次函数 11 一般地，形如 ykxb(k，b 是常数，k0)的函数叫做一次函数，当 b0 时， ykxb 即 ykx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 师：下面的函数是一次函数吗？如果是一次函数，说说其中 k 和 b 的值分别是多少 yx6；y ；y ；y7x. 2 x x 8 生 1：yx6 是一次函数，其中 k1，b6. 生 2：y 不是一次函数 2 x 生 3：y 是一次函数，其中 k ，b0. x 8 1 8 生 4：y7x 是一次函数，其中 k1，b7. 师：值得注意的是 y 也是一次函数，它是当 b0 时的特殊情况 x 8 例题： (1)已知函数 y(k2)x2k1，当 k 为何值时它是正比例函数？当 k 为何值时它是 一次函数？ 解决：当 2k10，即 k 时，它为正比例函数 1 2 当 k20，即 k2 时，它为一次函数 (2)已知 y 与 x3 成正比例，当 x4 时，y3，写出 y 与 x 的函数关系式并指出是什 么函数 解：因为 y 与 x3 成正比例，所以设 yk(x3)由题意知当 x4 时，y3，代入 得 k3. 所以 y3(x3)，即 y3x9，y 是 x 的一次函数 三、巩固练习 写出下列函数关系式，并指出哪些是一次函数，其中哪些又属于正比例函数 1面积为 10 cm2的三角形的底 a(cm)与这边上的高 h(cm) 【答案】h，不是一次函数 20 a 2一边长为 8 cm的平行四边形的周长 L(cm)与另一边长 b(cm) 【答案】L162b，是一次函数 3食堂原有煤 120 吨，每天要用去 5 吨，x 天后还剩下煤 y 吨 【答案】y1205x，是一次函数 4汽车每小时行 40 千米，行驶的路程 s(千米)和时间 t(小时) 【答案】s40t，是一次函数，且是正比例函数 5圆的面积 y(平方厘米)与它的半径 x(厘米)之间的关系 【答案】yx2，不是一次函数 6一棵树现在高 50 厘米，每个月长高 2 厘米，x 个月后这棵树的高度为 y(厘米) 【答案】y502x，是一次函数 四、课堂小结 本节课从实际出发得出一次函数的概念，并在实际问题中根据简单信息写出一次函数 的表达式，进而解决问题 本节课主要学习了一次函数的概念和一次函数的一般形式教学过程中充分调动了学 生的学习积极性，让学生参与到学习活动中，在活动的过程中，理解并掌握知识，同时也 培养了学生的学习能力及参与意识，取得了良好的教学效果 第 2 2 课时 一次函数(2 2) 12 会画一次函数的图象 重点 一次函数图象的画法 难点 根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质 一、创设情境，引入新课 师：正比例函数的一般形式是 ykx(k0)，它的图象是经过原点的一条直线一次 函数的一般形式是 ykxb(k0)，那么它的图象是什么呢？这就是我们这节课所要学的 内容 二、讲授新课 活动一 活动内容设计：画出函数 y6x 与 y6x5 的图象，比较两个函数的图象，探究 它们的联系并解释原因 教师活动：引导学生从图象的形状、倾斜程度以及与 y 轴的交点在坐标轴上的位置比 较两个图象，从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中的 k，b 在图象中的意义， 体会数形结合在实际中的应用 学生活动：在教师的引导下利用列表、描点、连线作出两函数的图象，然后根据教师 的引导从多方面比较两个函数的图象的相同点与不同点 生：函数 y6x 与 y6x5 中，自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值， 如下表所示： x 21 012 y6x 1260 612 y6x5 1715 17 画出函数 y6x 与 y6x5 的图象，如下图所示： 结果：这两个函数的图象形状都是_，并且倾斜程度_函数 y6x 的图象经过原点，函数 y6x5 的图象与 y 轴交于点_，即它可以看作由直线 y6x 向_平移_个单位长度而得到 结论：一次函数 ykxb 的图象是一条直线，我们称它为直线 ykxb，它可以看 作是由直线 ykx 平移|b|个单位长度而得到的(当 b0 时，向上平移；当 b0 时，向下 平移) 既然一次函数的图象是一条直线，所以今后画一次函数的图象时，只要取两点，再过 这两点画直线即可 活动二 活动内容设计：画出函数 yx1，yx1，y2x1，y2x1 的图象由它 13 们联想：一次函数解析式 ykxb(k，b 是常数，k0)中，k 的正负对函数图象有什么影 响？ 目的：引导学生从函数图象的特征入手，寻求变量数值的变化规律与解析式中 k 值的 联系 图象规律： 当 k0 时，直线 ykxb 由左至右上升； 当 k0 时，直线 ykxb 由左至右下降 函数的性质： 当 k0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 活动三 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并归纳 ykxb(k，b 是常数，k0)中 b 对函数图象的影响 1yx1，yx，yx1. 2y2x1，y2x，y2x1. 过程与结论： b 的值决定直线 ykxb 与 y 轴交点的位置 当 b0 时，交点在原点上方； 当 b0 时，交点即原点； 当 b0 时，交点在原点下方 三、巩固练习 1直线 y2x3 与 x 轴交点的坐标为_，与 y 轴交点的坐标为_，图 象经过第_象限，y 随 x 的增大而_ 【答案】( ，0) (0，3) 一、三、四 增大 3 2 2在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出它们的共同之处 y x1，yx1，y2x1，yx1. 1 2 【答案】略 四、课堂小结 本节学习了一次函数的图象特征以及与之对应的一次函数的性质，并学会了画图象的 简单方法，进而利用数形结合的探究方法寻求出一次函数的图象特征与解析式的联系，这 使我们对一次函数知识的理解和掌握更透彻，也体会到数形结合思想在数学学习中的重要 性 上节课学习了一次函数的一般形式，本节课学习它的图象，并让学生观察图象，自己 探索、总结出一次函数的性质以及一次函数中 k 值对函数图象的影响，培养了学生观察、 思考、归纳总结的能力，对他们合作交流能力的提高也有帮助 14 第 3 3 课时 一次函数(3 3) 会用待定系数法求一次函数的解析式 重点 用待定系数法确定一次函数的解析式 难点 灵活运用有关数学知识解决实际问题 一、创设情境，引入新课 师：一次函数的一般形式 ykxb(k0)，如果知道了 k 和 b 的值，这个解析式就知 道了，那么还需要怎样的条件才能求出 k，b 呢？ 已知一个一次函数 ykxb(k0，b 为常数)，我们可以将它改为一般形式，再分别 把 x，y 的对应值代入，求出 k，b 就可以了 二、讲授新课 【例 1】已知一次函数的图象过点(3，5)与(4，9)，求当 x3 时函数 y 的值 师：题目要求当 x3 时函数 y 的值必须先求出什么？ 生：函数关系式 师：而求函数关系式我们像上面那样解决即可设函数关系式为 ykxb(k0)，把 (3，5)与(4，9)代入得解这个方程组得所以这个函数的关系 3kb5， 4kb9.) k2， b1.) 式为 y2x1.当 x3 时，y3217. 师：这个题目是先根据定义设一次函数的关系式为 ykxb，再根据已知条件确定解 析式中未知数 k 和 b，从而写出具体式子，像这种求函数解析式的方法叫做待定系数法 【例 2】已知一次函数的图象如图所示，写出它的关系式 师：要求一次函数的关系式，可以事先设函数解析式为 ykxb(k0，b 为常数)， 再要求具体的 k 和 b 必须知道“两个条件”列出方程组才行这个题目知道两个条件吗？ 生：知道该图象与 x 轴的交点坐标为(2，0)与 y 轴的交点坐标为(0，3) 师：这样一来，我们就可以轻松求解 设所求的一次函数关系式为 ykxb(k0)，把点(2，0)，(0，3)的坐标代入解析 式得解得所以所求的一次函数的关系式为 y x3. 2kb0， b3， ) k3 2， b3，) 3 2 师：刚才所讲的是利用待定系数法求一次函数解析式，这节课还有一个重要内容就是 在实际问题中根据题目意思求一次函数解析式 【例 3】教材第 94 页例 5 三、巩固练习 1已知一次函数 ykx2，当 x5 时 y 的值为 4，求 k 的值 【答案】k 2 5 2已知直线 ykxb 经过点(9，0)和点(24，20)，求 k，b 的值 【答案】k ，b12 4 3 15 3生物学家研究表明，某种蛇的长度 y(cm)是其尾长 x(cm)的一次函数，当蛇的尾长 为 6 cm时，蛇的长为 45.5 cm；当蛇的尾长为 14 cm时，蛇的长为 105.5 cm.当一条蛇的 尾长为 10 cm时，这条蛇的长度是多少？ 【答案】75.5 cm 四、课堂小结 本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法求一次函数的解析式往往用待定系数法， 即根据题目中给出的两个条件确定一次函数的解析式 ykxb(k0，b 为常数)中两个待 定系数 k 和 b 的值；另外在实际问题中我们往往根据题意求函数的解析式 本节课主要学习了待定系数法及一次函数的应用由前面的学习知道两点确定一条直 线，已知两点怎样确定这条直线即怎样求它的解析式，这节课带领学生认识了待定系数法 这一有效工具，并应用它解决了一些实际问题 16 19.2.319.2.3 一次函数与方程、不等式 第 1 1 课时 一次函数与一元一次方程 理解并掌握一次函数与一元一次方程的关系 重点 一次函数与一元一次方程的关系的理解 难点 灵活运用一次函数与一元一次方程的关系解决问题 一、创设情境，引入新课 前面我们学习了一次函数一次函数实际上是两个变量之间符合一定关系的一种互相 对应、互相依存它与我们七年级学过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程 组有着必然的联系这节课开始，我们就来学习用函数的观点去看待方程，并充分利用函 数图象的直观性形象地看待方程的求解问题这是学习数学的一种很好的思想方法 二、讲授新课 我们先来看下面的问题： (1)解方程 2x200； (2)当自变量 x 为何值时，函数 y2x20 的值为零？ 提出问题： 对于 2x200 和 y2x20，从形态上看，有什么相同和不同的地方？ 从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？ 作出直线 y2x20(建议课前作出，以免影响本节课主题)，看看(1)与(2)是怎样 的一种关系？ 师生共同讨论并让学生在探究过程中理解两个问题的同一性 结论：1.“解一元一次方程 axb0”与“自变量 x 为何值时，一次函数 yaxb 的值为 0”是同一问题 2由于任何一元一次方程都可转化为 kxb0(k，b 为常数，k0)的形式，所以解 一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时，求相应的自变量的值从图象上看，这 相当于确定已知直线 ykxb 与 x 轴交点的横坐标的值 师：下面我们一起来看两个问题 1以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一个问题. 序号一元一次方程问题一次函数问题 1 解方程 3x20 当 x 为何值时， y3x2 的值为 0？ 2 解方程 8x30 3 当 x 为何值时， y7x2 的值为 0？ 解：(略) 2根据下列图象，你能说出哪些一元一次方程的解？并直接写出相应方程的解？ 17 解：5x0 的解是 x0；x20 的解是 x2；3x60 的解是 x2；x10 的解是 x1. 三、例题讲解 【例】一个物体现在的速度是 5 m/s，其速度每秒增加 2 m/s，再过几秒它的速度为 17 m/s? (用两种方法求解) 解法一：设再过 x 秒物体的速度为 17 m/s. 由题意可知：2x517，解得：x6. 解法二：速度 y(m/s)是时间 x(s)的函数， 关系式为：y2x5. 当函数值为 17 时，对应的自变量 x 的值可通过解方程 2x517 得到 x6. 解法三：由 2x517 可变形得到：2x120. 从图象上看，直线 y2x12 与 x 轴的交点坐标为(6，0)，得 x6. 对于解法二：还可以拓展成：对于函数 y2x5，当 y17 时，求 x 的值鼓励学生 进一步思考 注：例题可看成是一次函数与一元一次方程关系的一个直接应用 四、巩固练习 1根据下列图象，你能写出哪些一元一次方程的解？ 【答案】方程 x50 的解为 x2；方程 x30 的解为 x3. 5 2 2某登山队大本营所在地的气温为 15，海拔每升高 1 km气温下降 6，登山队员 18 由大本营向上登高多少km时，他们所在位置的气温是3？ 【答案】解：设登山队员由大本营所在地向上登高 x km时，他们所在位置的气温是 y.由题意可得 y156x， 令 y3，则 156x3，解得 x3. 故当登山队员由大本营所在地向上登高 3 km时，他们所在位置的气温是3. 五、课堂小结 从数的角度看：求 axb0(a0)的解x 为何值时，yaxb 的值为 0? 从形的角度看：求 axb0(a0)的解确定直线 yaxb 与 x 轴交点的横坐标 从数和形两方面总结，帮助学生建立数形结合的观念 本节课从最基本的问题“解方程 2x200”与“当自变量 x 为何值时，函数 y2x20 的值为零”是否是同一问题入手，揭示了一元一次方程与一次函数之间的关系， 然后通过例题从多方面、多角度来理解这个关系，再通过练习进一步掌握，应该说能收到 较好的效果 第 2 2 课时 一次函数与一元一次不等式 通过作函数图象并观察函数图象，从中体会一元一次不等式与一次函数的内在联系 重点 一元一次不等式与一次函数的关系 难点 根据函数图象观察不等式的解集 一、提出问题，引入新课 师：通过上节课的学习，我们已经知道“解一元一次方程 axb0”与“求当 x 为何 值时，yaxb 的值为 0”是同一个问题，现在我们来看看： 1以下两个问题是不是同一个问题？ (1)解不等式：2x40； (2)当 x 为何值时，函数 y2x4 的值大于 0? 2如何利用图象来说明问题(2)? 3 “解不等式 2x40”与怎样的一次函数问题是相同的？怎样在图象上加以说明？ 二、讲授新课 师：以上两个问题实际上是同一问题 从图象上来看直线 y2x4 在 x 轴上方的点所对应的 x 的取值范围就是函数 y2x4 的值大于 0 时 x 的取值范围，也就是不等式 2x40 的解集 师：请大家用同样的方法谈谈你们对第 3 小题的看法和见解 生：“不等式 2x40 的解集”与“当 x 为何值时，函数 y2x4 的值小于 0？” 是同一问题，求不等式 2x40 的解集就是求直线 y2x4 在 x 轴下方的点的横坐标的 取值范围 师：回答正确！下面我们就通过一些练习来巩固一下 根据下列一次函数的图象，你能求出哪些不等式的解集并直接写出相应不等式的解集？ 解：(1)相关的不等式如：x30，x30，x30，x30. (2)由图象可以得出： 19 x30 的解集是 x3；x30 的解集是 x3； x30 的解集是 x3；x30 的解集是 x3. 师：因此我们可以得出结论：“解不等式 axb0”可转化为“求自变量 x 在什么范 围内，一次函数 yaxb 的值大于 0”进而转化为求函数 yaxb 的图象在 x 轴上方时 (或下方时)x 的取值范围 另外一部分我们一起说 师生：“解不等式 axb0”可转化为“求自变量 x 在什么范围内，一次函数 yaxb 的值小于 0”进而转化为求直线 yaxb 在 x 轴下方时 x 的取值范围 进行引申：怎样用画图象的方法解不等式 5x42x10? (让学生充分讨论，尽量提出多种方法) 生：原不等式可转化为 3x60，此题就是求 3x60 的解集画出直线 y3x6，找出直线上在 x 轴下方的点，这些点所对应的 x 的取值范围就是不等式的解 集 教师出示画好的图象，让学生求出解集 师：如果不将原不等式转化，能否用图象法解决呢？ 学生难以回答，教师进一步引导 师：不等式两边都可以看成是一次函数，因而实际上是比较两个一次函数在 x 取相同 值时谁大的问题 左边对应一次函数 y5x4，右边对应一次函数 y2x10，实际上就是说 x 取何值 时一次函数 y5x4 的值小于一次函数 y2x10 的值，也就是说直线 y5x4 上的点 在直线 y2x10 上的点下方时 x 的取值范围 下面我们就画出直线 y5x4 和直线 y2x10，可以看出它们的交点的横坐标为 2，也就是说当 x2 时两函数值 y 相同亦即两点的高度相同，继续观察图象，当 x2 时直 线 y5x4 上的点在直线 y2x10 上相应点的下方，此时一次函数 y5x4 的值小于 一次函数 y2x10 的值，即不等式 5x42x10 的解集是 x2. 巩固练习：请你在同一坐标系内，作出函数 y3x4 和 yx3 的图象，并通过观 察图象求不等式 3x4x3 的解集，与同伴交流 归纳：本节课从解具体一元一次方程不等式与当自变量 x 为何值时一次函数的值为 0 这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程 kxb0 与求自 变量 x 为何值时，一次函数 ykxb 值为 0 的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图 象上的反映经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法虽然用函数解决方程 问题未必简单，但这种数形结合思想在以后的学习中有很重要的作用 三、课堂小结 本节课我们学习了一次函数与一元一次不等式之间的关系，学会了用图象法解一元一 次不等式，我们感受到用函数的方法和用数形结合的方法解决问题有一定的优势，这对继 续学习数学很重要. 本节课主要探究学习一次函数与一元一次不等式之间的关系，通过合作探究、问题讲 解，让学生充分参与到学习的探究过程中，体现了学生的主体性，取得了良好的教学效 果 20 第 3 3 课时 一次函数与二元一次方程(组) 理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组 重点 二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解 难点 对应关系的理解及对实际问题的探究 一、回顾旧知，引入新课 我们知道，任何一个二元一次方程都可以化成 ykxb 的形式，也就是说每个二元一 次方程都对应一个一次函数，于是它也就对应一条直线任何一个二元一次方程组都可以 看成是两个一次函数的组合，也就对应两条直线比如可化为 3x5y8， 2xy1 ) (1) y3 5x 8 5， y2x1. ) 对于(1)，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当 x 取什么数值时，两个一次函 数的 y 值相等？它反映在图象上，就是求直线 y x 和直线 y2x1 的交点坐 3 5 8 5 标这样我们可以用画图象的方法求出交点坐标，进而解二元一次方程组 二、讲授新课 想一想：根据下列图象，你能说出哪些方程组的解？这些解是什么？ (1) (2) (3) 注：此题忽略解方程组与画图象这些已会环节，让学生直观感受本节课的主题 练一练：利用函数图象解方程组： 2xy0， 3x2y7.) 老师分析：这两个二元一次方程各对应一个一次函数，也就是各对应一条直线如果 这两条直线有交点，那么交点坐标就是这个方程组的解 让学生自己练习画直线，再求出方程组的解 学生解：由 2xy0 可得 y2x；由 3x2y7 可得 y x . 3 2 7 2 在同一直角坐标系内作出一次函数 y2x 的图象 l1和 y x 的图象 l2，如图所 3 2 7 2 示观察图象，得出 l1和 l2的交点坐标为(1，2) 所以方程组的解为 2xy0， 3x2y7) x1， y2.) 总结 1：两个一次函数图象的交点坐标二元一次方程组的解 再想想：不通过画图象你能求出直线 y3x9 与直线 y2x7 的交点坐标吗？ 21 让学生先思考再进行讨论 师：前面讲过，两条直线的交点坐标就是方程组的解，如果我们能先求出方程组的解， 它不就是两直线的交点坐标嘛 学生悄然大悟，连连点头 让学生自己写出求解过程 总结 2：二元一次方程组的解两个一次函数图象的交点坐标 【例】教材第 97 页问题 3 三、举一反三 1利用函数图象解方程组 xy1， 2xy5.) 【答案】 x2， y1 ) 2方程组的解为_，则直线 yx15 和 yx7 的交点坐标 xy15， xy7 ) 是_ 【答案】(11，4) x11， y4；) 四、课堂小结 本节课通过分析探究得出结论：两条直线的交点坐标就是由这两条直线所对应的一次 函数表达式所组成的二元一次方程组的解这主要有两个应用：一方面可以根据图象的交 点坐标求出方程组的解；另一方面先求出方程组的解，也就知道了两条直线的交点坐标， 这进一步体现了数形结合的思想 本节课主要学习一次函数与二元一次方程组的关系通过学习探究，加强知识之间的 联系，学会融会贯通，有助于系统地掌握所学知识，取得更好的教学效果 19.319.3 课题学习 选择方案 第 1 1 课时 选择方案(1 1) 巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关的实际问题 重点 根据实际情景中所包含的变量及对应关系建立函数模型，并灵活运用数学模型解决实 际问题 难点 运用一次函数知识解决实际问题 一、提出问题，创设情境 做一件事情，有时有不同的实施方案比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计 划，是非常必要的，在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题时常 用到函数 大家知道如何运用一次函数的知识来解决关于“选择最佳方案”的实际问题吗？好， 下面我们就一起来探讨学习这方面的问题 二、讲授新课 活动 怎样选取上网收费方式？ 下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式. 收费方式月使用 费/元包时上网 时间/h超时费/ (元/min) 22 A30250.05 B50500.05 C120 不限时 选取哪种方式能节省上网费？ 分析：在方式A，B中，上网时间是影响上网费的变量；在方式C中，上网费是常量 设月上网时间为 x h，则方案A，B的收费金额 y1，y2都是 x 的函数要比较它们，需 在 x0 的条件下，考虑何时(1)y1y2，(2)y1y2，(3)y1y2.利用函数解析式，通过方程、 不等式或函数图象能够解答上述问题在此基础上，再用其中省钱的方式与方式C进行比 较，则容易对收费方式作出选择 在方式A中，月使用费 30 元与包时上网时间 25 h是常量考虑收费金额时，要把上 网时间分为 25 h以内和超过 25