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目录13今天不努力，明天更努力。 一、常用的数量关系式.1二、小学数学图形计算公式.1三、常用单位换算.1四、基本概念.2 （一）整数.2 数位顺序表.2 2、3、5的倍数.2 质数、合数、奇数、偶数.2 （二）小数.3 1 小数的意义.3 2小数的分类.3 （三）分数.3 分数的意义.3 分数的分类.3 约分和通分.3 （四）百分数.3 （五）数的读法和写法.3 （六）数的改写.4 （七）小数、分数、百分数互化.4 （八）数的整除.4 （九） 约分和通分.4五、性质和规律.4 商不变性质、分数的基本性质.4 比的性质、小数的性质.4 比例的性质.4 小数点位置的移动引起小数大小 的变化.4 分数、除法、比的关系 .5六、运算的意义. .5 （一）整数四则运算.5 （二）小数四则运算. .5 （三）分数四则运算. .5 （四）运算定律. .5 （五）运算法则. .6 （六）和差积商的变换规律.6 （七）运算顺序.6七、应用.6 （一）整数和小数的应用.6 1 简单应用题.6 2 复合应用题.6 3典型应用题.7 （1）平均数问题.7 （2）归一问题.7 （3）归总问题.7 （4）和差问题.7 （5）和倍问题.13 （6）差倍问题.8 （7）行程问题.8 （8）流水问题.8 （9）还原问题.8 （10）植树问题.9 （11）盈亏问题.9 （12）年龄问题.9 （13）鸡兔问题.9 （二）分数和百分数的应用.9八、 度量衡.10九、代数初步知识.10 （一）用字母表示数.10 （二）简易方程.10 （三）解方程.10 （四）列方程解应用题.10 （五）比和比例.10十、几何的初步知识.11 （一）线和角.11 （二）平面图形.11 （三）立体图形.12十一、简单的统计.12 （一）统计表.12 （二）统计图.12 1 条形统计图.12 2 折线统计图.12 3 扇形统计图.13 小升初数学总复习资料归纳一、常用的数量关系式 1、每份数份数总数 总数每份数份数 总数份数每份数 2、1倍数倍数几倍数 几倍数1倍数倍数 几倍数倍数1倍数 3、速度时间路程 路程速度时间 路程时间速度 4、单价数量总价 总价单价数量 总价数量单价 5、工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间 工作总量工作时间工作效率 6、加数加数和 和 一个加数另一个加数 7、被减数减数差 被减数差减数 差减数被减数 8、因数因数积 积一个因数另一个因数 9、被除数除数商 被除数商除数 商除数被除数 二、小学数学图形计算公式 1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长 ） C=4a S=a2 2、正方体 （V:体积 a:棱长 ）棱长之和=12a S表=6a2 V=a3 3、长方形（ C：周长 S：面积 a：长 b：宽） C=2(a+b) S=ab 4、长方体（V:体积 s:面积a:长b: 宽 h:高） S表=2(ab+ah+bh) V=sh=abh 棱长之和=（长+宽+高）4 5、三角形（s：面积 a：底 h：高） s=ah2或者s=1/2ah 三角形高=面积2底 三角形底=面积2高 6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高） s=ah 7、梯形（s面积 a上底 b下底 h高 m中位线） s=(a+b) h2 s=mh 8、圆形（S面积 C周长 d直径 r半径） C=d=2r S=r2 9.圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长) v=sh S侧=ch=2rh=dh S表=S侧+2S底 V=sh=r2h 10、圆锥体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径） 体积=底面积高3 11、总数总份数平均数 12、和差问题 (和差)2大数 (和差)2小数 13、和倍问题 和(倍数1)小数 小数倍数大数 (或者 和小数大数) 14、差倍问题 差(倍数1)小数 小数倍数大数 (或 小数差大数) 15、相遇问题 相遇路程速度和相遇时间 相遇时间相遇路程速度和 速度和相遇路程相遇时间 16、浓度问题： 溶质重量溶剂重量溶液重量 溶质重量溶液重量100%浓度 溶液重量浓度溶质重量 溶质重量浓度溶液重量 17、利润与折扣问题 涨跌金额本金涨跌百分比 利润售出价成本 利润率利润成本100%(售出价成本1)100% 利息本金利率时间 税后利息本金利率时间(120%)三、常用单位换算 1.长度单位换算 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1米1000毫米 1厘米=10毫米 1毫米1000微米 2.面积单位换算 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 3.体(容)积单位： 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方米=1000升 1立方厘米=1毫升 1升=1000毫升 4.质量单位换算 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 5.人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分 6.时间单位换算 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)的有:46911月 闰年2月29天,平年2月28天 平年全年365天 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒 7.换算方法 名数乘以进率 高级单位 低级单位四、基本概念 名数除以进率（一）整数 1.整数的意义：自然数和0都是整数。 2.自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的0，1，2，3叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3.每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4.数位 ：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5. 数位顺序表： 整数部分小数点小数部分亿 级万 级个 级.十分位百分位千分位万分位数位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位计数单位十亿亿千万百万十万万千百十一（个）十分之一百分之一千分之一万分之一注： 数位和计数单位的记忆区别：数位有个“位”字，计数单位没有“位”字。 6.数的整除 （1） 整数a除以整数b(b 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 （2）如果数a能被数b（b 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。倍数和因数是相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。 （3）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。 （4）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 （5）2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数，例如：202、480、304，都能被2整除。 （6）5的倍数：个位上是0或5的数，例如：5、30、405都能被5整除。 （7）3的倍数：一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，例如：12、108、204都能被3整除。 （8）一个数的各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 （9）能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除 （10）一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 （11）一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 （12）自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。能被2整除的数叫做偶数，0也是偶数;不能被2整除的数叫做奇数。 （13）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 最小的质数是2 , 2是质数中唯一的偶数 （14）一个数，如果除了1和它本身外还有其它因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。最小的合数是4. （15）1既不是质数也不是合数，自然数除了1外（0不讨论），不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 （16）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=35，3和5 叫做15的质因数。 （17）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数 ，例如把28分解质因数 28=227 （18）几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。 （19）公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： a 1和任何自然数互质。 b 两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。 c 两个不同的质数互质。 d 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 e 相邻的两个自然数互质。 f 如果几个数中任意两个数都互质，就说这几个数两两互质（20）如果两个数成倍数关系，那么较小数是这两个数的最大公因数，较大数是这两个数的最小公倍数。（21）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3的倍数有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。（22）两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。（23）如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 （24）几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 （二）小数 1 小数的意义 （1）把整数1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。 （2）一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 （3）一个小数由整数部分、小数部分和小数点组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。 （4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高计数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。 2小数的分类 （1）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 （2）带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。 （3）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 （4）无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 ，3.1415926 （5）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：= 3.141592653589793238462643383279502884197169399375（6）循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 0.0333 12.109109 （7）一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 的循环节是“ 54 ” 。 （8）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如： 3.111 0.5656 （9）混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 3.1222 0.03333 （10）写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 简写作3.7 0.5302302简写作0.5302 （三）分数 1、分数的意义 （1）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 （2）在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。 （3）把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 2、分数的分类 （1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 （2）假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。 （3）带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。 3、约分和通分 （1）把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。 （2）分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。 （3）把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 （四）百分数 ：表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。 （五）数的读法和写法 1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。 2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 3. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。5. 分数的读法：先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。 6. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。 7. 百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。 8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 （六）数的改写 1.一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 2. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 3. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 4.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略345900万后面的尾数约是 35 万。省略4725097420亿后面的尾数约47 亿。 5.大小比较 （1）比较整数大小：比较整数的大小，先数位数，位数多的较大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数字大的较大；最高位上的数相同，就比较第二位，第二位上的数大较大 （2）比较小数大小：先看它们的整数部分，整数部分大的就大；整数部分相同的，比较十分位，十分位上大的就大；十分位上的数相同，比较百分位。百分位上大的就大 （3）比较分数大小: 同分母分数，分子大的较大，小的较小；同分子分数，分母小的反而大，分母大的反而小。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较分数的大小。 （七）. 小数、分数、百分数互化 小数点向右移动两位，后面添上%（1）小数 百分数 去掉%，小数点向左移动两位。先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。（2）分数 百分数把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。先化成分母是10、100、1000（一位小数分母是10、两位小数分母是100、三位小数分母是1000 ）的分数，再约分。（3）小数 分数 分子分母（4）一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，没有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 （八）数的整除 1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。 2. 求几个数的最大公因数通常用短除法：用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数 。 3. 求几个数的最小公倍数通常用短除法：用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。 （九） 约分和通分 1.约分方法：分子和分母同时除以它们的公因数（0除外）；除到得出最简分数为止。 2.通分方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，并把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。五、性质和规律 （一）商不变性质：在除法里，被除数和除数同时乘以或者除以相同的数（0除外），商不变。 （二）分数的基本性质 ：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 （三）比的性质 ：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 （四）小数的性质 ：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 （五）比例的性质 ：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 （六）小数点位置的移动引起小数大小的变化 1. 小数点向右移动一位，扩大到原数的10倍；向右移动两位，扩大到原数的100倍；向右移动三位，扩大到原数的1000倍 2. 小数点向左移动一位，缩小到原数的十分之一；向左移动两位，缩小到原数的百分之一；向左移动三位，缩小到原数的千分之一 3. 小数点向左移或向右移位数不够时，要用“0补足位。 （七）分数、除法、比的关系 除法被除数除号除数商分数分子分数线分母分数值比前项比号后项比值六、运算的意义 （一）整数四则运算 1整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。 2整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。 加法和减法互为逆运算。 3整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都得原数。 4整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里，已知的积叫做被除数，已知的因数叫做除数，所求的因数叫做商。 在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。 乘法和除法互为逆运算。 （二）小数四则运算 1. 小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。 2. 小数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 3. 小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几是多少。 4. 小数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 5. 乘方: 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 33 =32 （三）分数四则运算 1. 分数加法：是把两个数合并成一个数的运算。 2. 分数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3. 分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 4. 乘积是1的两个数互为倒数。 5. 分数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （四）运算定律 名称定义字母表示加法交换律几个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变。a+b=b+a加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律几个数相乘，任意交换因数的位置，它们的积不变。ab=ba乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变。(ab)c=a(bc)乘法分配律两个数的和同第三个数相乘，可以把和里的每个加数分别同第三个数相乘，再把两个积相加，结果不变。两个数的差同第三个数相乘，可以把被减数和减数分别同第三个数相乘，再把两个积相减，结果不变。(a+b)c=ac+bc(a-b)c=ac-bc乘法分配律逆运算一个数分别乘以两个数，然后把所得的积相加,等于这个数乘以这两个数的和，结果不变。一个数分别乘以两个数，然后把所得的积相减，等于这个数乘以这两个数的差，结果不变。ac+bc=(a+b)cac-bc=(a-b)cac+c=(a+1)cac-c=(a-1)c减法运算的性质一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和，结果不变。一个数减去两个数的和，等于这个数连续减去这两个数，结果不变。a-b-c=a-(b+c)a-(b+c)=a-b-c除法运算的性质一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积，结果不变。一个数除以两个数的积，等于这个数连续除以这两个数，结果不变。abc=a(bc)a(bc)=abc（五）运算法则 1. 整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 2. 整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 3. 整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 4. 整数除法计算法则： 先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5. 小数乘法法则： 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 6. 除数是整数的小数除法计算法则： 先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 7. 除数是小数的除法计算法则： 先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 8. 同分母分数加减法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 9. 异分母分数加减法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 10. 带分数加减法的计算方法: 整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。或者先化成假分数再计算 11. 分数乘法的计算法则: 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的要约分 12. 分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 （六）和差积商的变换规律名称文字叙述字母表示和的变化规律若一个加数增加(或减少)一个数，另一个加数不变，则它们的和也增加(或减少)同一个数。 若一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，则它们的和不变若a+b=c则(a+d)+b=c+d (a-d)+b=c-d，(a+d)+(b-d)=c差的变化规律当减数不变，被减数增加(或减少)，差也增加(或减少)相同的数 当被减数不变，减数增加(或减少)，差反而减少(或增加)相同的数 若被减数和减数同时增加(或都减少)相同的数，差不变若a-b=c则(a+d)-b=c+d (a-d)-b=c-d a-(b+d)=c-d a-(b-d)=c+d (a+d)-(b+d)=c (a-d)-(b-d)=c (ab+d)积的变化规律当一个因数不变，另一个因数扩大(或缩小)若干倍，它们的积也扩大(或缩小)同样的倍数 若一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，它们的积不变若ab=c则(an)b=cn (an)b=cn，(an)(bn)=c (an)(bn)=c商的变化规律(整除时)当除数不变，被除数扩大(或缩小)，商也随着扩大(或缩小)同样的倍数 当被除数不变，除数扩大(或缩小)，商反而缩小(或扩大)同样的倍数。 被除数和除数同时扩大(或都缩小)同样的倍数，商不变若ab=q则(an)b=qn(an)b=qn，a(bn)=qn a(bn)=qn，(an)(bn)=q (an)(bn)=q（七）运算顺序 1. 小数、分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 2. 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算 先乘、除法，后加、减法。3. 有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。4. 加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。七、应用 （一）整数和小数的应用 1 简单应用题 （1）简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，叫做简单应用题。 2 复合应用题 （1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。 （2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。 求比两个数的和多（少）几个数的应用题。 比较两数差与倍数关系的应用题。 （3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。 已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。 已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。 （4）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。 (5 ) 解答加法应用题： a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。 b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。 (6 )解答减法应用题： a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。 b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。 c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少(7 ) 解答乘法应用题： a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。 b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。 ( 8) 解答除法应用题： a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。 b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。 C 求一个数是另一个数的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。 d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。 总产量=单产量数量 3典型应用题 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。 （1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。关系式：数量之和数量的个数=算术平均数。 例：一辆汽车以每小时 100千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。 分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程看做单位“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为100，所用的时间为1100，汽车从乙地到甲地速度为60千米 ，所用的时间是160，汽车共行的时间为1100+160=2/75 , 汽车的平均速度为 22/75=75 （千米） （2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。 根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。 根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。 一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。” 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。” 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。数量关系式：单一量份数=总数量（正归一） 总数量单一量=份数（反归一） 例 一个织布工人，在七月份织布4774 米，照这样计算，织布6930米，需要多少天？ 分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 6930（477 431）=45（天） （3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。 特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。 数量关系式：单位数量单位个数另一个单位数量=另一个单位数量 例 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 80064=1200 （米） （4） 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。 解题：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。 例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？ 分析：从乙班调46人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成2个乙班，即 9 412，由此得到现在的乙班是（9 412）2=41（人），乙班在调出46人之前应该为41+46=87（人），甲班为 9 487=7（人） （5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。 解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。 解题规律：和倍数和=标准数 标准数倍数=另一个数 例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？ 分析：大货车比小货车的5倍还多 7 辆，这7辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆 。 列式为（115-7）（5+1）=18（辆）， 185+7=97（辆） （6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。 解题规律：两个数的差（倍数1）= 标准数 标准数倍数=另一个数。 例 甲乙两根绳子，甲绳长63 米，乙绳长29 米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？ 分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）（ 3-1 ） =17 （米）乙绳剩下的长度， 17 3=51 （米）甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）剪去的长度。 （7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题先搞清楚速度、时间、路程、方向、速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系。 解题关键及规律： 同时同地相背而行：路程=速度和时间。同时相向而行：相遇时间=速度和时间 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差时间。 例 甲在乙的后面28千米，两人同时同向而行，甲每小时行16千米 ，乙每小时行9千米，甲几小时追上乙？ 分析：甲每小时比乙多行16-9千米，也就是甲每小时可以追近乙16-9千米，这是速度差。 已知甲在乙的后面28千米（追击路程），28千米里包含着几个（16-9）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8（16-9）=4（小时） （8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它也是一种和差问题，它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 船速：船在静水中航行的速度。水速：水流动的速度。 顺水速度：船顺流航行的速度。 顺速=船速水速逆水速度：船逆流航行的速度。 逆速=船速水速 解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。 解题规律：船速=（顺水速度+ 逆流速度）2 水速=（顺流速度一逆流速度）2 路程=顺流速度 顺流航行的时间 路程=逆流速度逆流航行的时间 例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米？ 分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 28-42=20（km）2 02 =40（km） 40（42）=5（小时） 285=140（km） （9）还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。 解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。 解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。 根据原题的运算顺序列出数
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