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考点二十三不等式选讲 解答题1已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式2f(x)2|mn|.解(1)依题意，f(x)|x1|x2|由22x10，解得x，故A.(2)证明：m，nA，由(1)可知，m2，n20，所以|14mn|24|mn|2，故|14mn|2|mn|.2已知f(x)|x2|xa|.(1)当a4时，解不等式f(x)1；(2)当a4时，求直线yx2与函数f(x)的图象围成的平面图形的面积解(1)当a4时，f(x)|x2|x4|2或x2，所以不等式f(x)4时，x的取值范围为2x.5(2019河南八市联考)已知函数f(x)m|x1|.(1)若m1，求不等式f(x)x21的解集；(2)当x(0,1)时，不等式f(x)m1恒成立，求m的取值范围解(1)由题意，不等式|x1|x21，可得x21x1x21，即解得x1或x0，所以不等式的解集为x|x1或x0(2)因为0x1，所以f(x)m(1x)，即m(1x)m1在0x0，即m，又因为g(x)在(0,1)是增函数，所以g(x)1，所以m1.6(2019广东潮州二模)已知f(x)2|x2|x1|.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)设m，n，p为正实数，且mnpf(3)，求证：mnnppm12.解(1)当x2时，f(x)2x4x13x3，由f(x)6，3x36，x3，即2x3.当1x2时，f(x)42xx15x，由f(x)6，5x1，即1x2.当x1时，f(x)42x1x33x，由f(x)6，33x1，无解，综上，不等式f(x)6的解集为(1,3)(2)证明：f(x)2|x2|x1|，f(3)6，mnpf(3)6，且m，n，p为正实数，(mnp)2m2n2p22mn2mp2np36，m2n22mn，m2p22mp，n2p22np，m2n2p2mnmpnp，(mnp)2m2n2p22mn2mp2np3(mnmpnp)，又m，n，p为正实数，mnnppm12.解答题1(2019湖南长郡中学一模)已知函数f(x)|xa|2x1|.(1)当a1时，求f(x)2的解集；(2)若f(x)|2x1|的解集包含集合，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|2x1|，f(x)2|x1|2x1|2，可化为或或解得或或0x或x1或1x，原不等式的解集为.(2)f(x)|2x1|的解集包含集合，当x时，不等式f(x)|2x1|恒成立，即|xa|2x1|2x1|在x上恒成立，|xa|2x12x1，即|xa|2，2xa2，x2ax2在x上恒成立，(x2)maxa(x2)min，1a，a的取值范围是.2(2019河南许昌、洛阳第三次质检)已知f(x)|x1|，g(x)2|x|a.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若存在x0R使得f(x0)g(x0)成立，求a的取值范围解(1)当a1时原不等式可化为|x1|2|x|1，设(x)|x1|2|x|则或或即x2.原不等式的解集为.(2)若存在x0R使得f(x0)g(x0)成立，等价于|x1|2|x|a有解，由(1)即(x)a有解，即a(x)max，由(1)可知，(x)在(，0)单调递增，在0，)单调递减(x)max(0)1，a1.3已知函数f(x)3|xa|3x1|，g(x)|4x1|x2|.(1)求不等式g(x)6的解集；(2)若存在x1，x2R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围解(1)g(x)当x2时，3x31，此时无解，当2x时，5x1，即时，3x36，解得x3，即x3.综上，g(x)0)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)函数f(x)的最小值为m，求证：m51m3m2.解(1)当a1时，f(x)|2x1|0，即|2x1|，两边平方可得(2x1)2x的解集；(2)若关于x的不等式f(x)x，所以当x时，x1x，即x；当xx，即xx，即x.所以不等式f(x)x的解集为.(2)由(1)知f(x)的单调减区间为，单调增区间为，又f(2)1，f(1)0，f(0)1，f(1)0，f(2)3，所以02a2a1，所以1a或0a，故a的取值范围为.6已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.解(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1，又a，b，cR，所以a2b3c(a2b3c)111332229，当且仅当a3，b，c1时等号成立- 7 -
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