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第10讲函数与导数考情分析高考对该部分内容的考查主要有两个方面：1.对导数几何意义的考查主要是求切线方程或根据切线方程求参数的取值；2.对导数综合应用的考查主要是围绕：(1)讨论、判断、证明函数的单调性；(2)利用函数的单调性求函数的极值或最值；(3)利用导数求参数的取值范围；(4)利用导数解决不等式问题及函数的零点、方程根的问题热点题型分析热点1导数的运算及几何意义1.利用导数求曲线的切线方程若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：设出切点坐标P(x1，f(x1)；写出过P(x1，f(x1)的切线方程yf(x1)f(x1)(xx1)；将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解1.(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y2x ByxC.y2x Dyx答案D解析因为函数f(x)是奇函数，所以a10，解得a1，所以f(x)x3x，f(x)3x21，所以f(0)1，f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yf(0)f(0)x，化简可得yx，故选D.2.函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(，2 B(，2)C.(2，) D(0，)答案B解析由题意知f(x)2在(0，)上有解所以f(x)a2在(0，)上有解，则a2.因为x0，所以22，所以a的取值范围是(，2).3.(2019广州调研)已知直线ykx2与曲线yxln x相切，则实数k的值为()A.ln 2 B1C.1ln 2 D1ln 2答案D解析由yxln x得yln x1，设切点为(x0，y0)，则kln x01，切点(x0，y0)(x00)既在曲线yxln x上又在直线ykx2上，kx02x0ln x0，kln x0，则ln x0ln x01，x02，kln 21.故选D.第1题易错点有二：一是不能利用奇函数定义正确求解a的值；二是不会利用导数几何意义求解切线斜率第2题不能把条件与导数的几何意义联系起来，转化为存在型问题，进而求解第3题易出现两方面的错误：一是误把点(0，2)作为切点；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻.热点2利用导数研究函数的性质1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2.根据函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)若函数yf(x)在(a，b)上单调递增，转化为f(x)0在(a，b)上恒成立求解；(2)若函数yf(x)在(a，b)上单调递减，转化为f(x)0在(a，b)上恒成立求解；(3)若函数yf(x)在(a，b)上单调，转化为f(x)在(a，b)上不变号，即f(x)在(a，b)上恒大于等于零或恒小于等于零3.利用导数研究函数极值与最值需注意的几点(1)求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；(2)求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值；(3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论1.函数f(x)x33mx2nxm2在x1时的极值为0，则m，n的值为()A.m2，n9B.m1，n3C.m1，n3或m2，n9D.m1，n9答案A解析f(x)3x26mxn，由题意可知即解得或当m1，n3时，f(x)3x26x33(x1)20，函数f(x)在R上单调递增，无极值，舍去当m2，n9时，f(x)3x212x93(x3)(x1)，当x0；当3x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(x)在x1处取得极小值故选A.2.(2019乐山期末)若f(x)x2aln x在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围为()A.(，1) B(，1C.(，2) D(，2答案D解析由f(x)x2aln x，得f(x)2x，f(x)在(1，)上单调递增，2x0在(1，)上恒成立，即a2x2在(1，)上恒成立，当x(1，)时，2x22，a2.故选D.第1题易由于极值概念不清而导致错误，x1是f(x)的极值点f(1)0，但f(1)0未必有x1是f(x)的极值点，需要验证f(x)在点x1 两端是否异号第2题f(x)在(1，)上是增函数等价于f(x)0在(1，)上恒成立，易漏掉f(x)0的情况而出错.热点3利用导数解决与不等式有关的问题1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；利用导数求该函数的最值；根据要求得所求范围(2)函数思想法将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题；利用导数求该函数的极值(最值)；构建不等式求解2.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数h(x)；(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式3.构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)的问题转化为证明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)；(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数；(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x)；(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数已知函数f(x)exax2，其中aR.若对于任意的x1，x21，)，且x1x2，都有x2f(x1)x1f(x2)a(x1x2)成立，则a的取值范围是()A.1，) B2，)C.(，1 D(，2答案D解析由x2f(x1)x1f(x2)a(x1x2)得x2f(x1)ax1f(x2)a，即，令h(x)，则对于任意的x1，x21，)，且x1x2，都有x2f(x1)x1f(x2)a(x1x2)成立，等价于当x1x2时，h(x1)0，g(x)在1，)上为增函数，g(x)g(1)2，a2.a的取值范围是(，2故选D.解决本题的关键(难点)是构造合适的函数，易错点有两个方面：一是对原不等式变形不到位，构造不出新函数；二是不能把题干信息合理转化为所构造新函数的相关性质进而解决问题.热点4利用导数解决与方程的解有关的问题利用导数研究方程的解(或曲线公共点)的个数问题：(1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题；(2)利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；(3)结合图象，根据零点的个数，寻找函数在给定区间的极值及区间端点值的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围1.若f(x)ax33x21存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围为()A.(2，) B(，2)C.(1，) D(，1)答案B解析解法一：由题意得a0，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x0或x，当a0时，x(，0)，f(x)0；x，f(x)0；且f(0)10，f(x)有小于零的零点，不符合题意当a0时，x，f(x)0；x(0，)，f(x)0，即a24，a2.故选B.解法二：由题意得a0，f(x)ax33x21有唯一的正零点，等价于a3有唯一的正根，令t，则问题又等价于at33t有唯一的正根，即ya与yt33t有唯一的交点且交点在y轴右侧记f(t)t33t，则f(t)3t23，由f(t)0，得t1，当t(，1)时，f(t)0；当t(1，)时，f(t)0.要使at33t有唯一的正根，只需a0，得x2，由f(x)0，得1x0，排除C.故选D.3.(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_答案y3x解析y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke033，切线方程为y3x.4.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_答案(e,1)解析设A(m，n)，则曲线yln x在点A处的切线方程为yn(xm)又切线过点(e，1)，所以有n1(me)再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e,1).专题作业一、选择题1.(2019郑州质量检测)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A.3 B2 C1 D.答案A解析设切点坐标为(x0，y0)，且x00，由yx，得kx02，x03.2.(2019全国卷)曲线y2sinxcosx在点(，1)处的切线方程为()A.xy10 B2xy210C.2xy210 Dxy10答案C解析设f(x)y2sinxcosx，则f(x)2cosxsinx，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.故选C.3(2017浙江高考)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析观察导函数f(x)的图象可知，f(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知，排除A，C.如图所示，f(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故选项D正确故选D.4.已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是()A.0 B1 C2 D3答案D解析由题知f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，而(3x2)min3123.所以a3，故amax3.故选D.5.函数f(x)(x21)32的极值点是()A.x1 Bx1C.x1或1或0 Dx0答案D解析因为f(x)(x21)32，所以f(x)6x(x21)2.由f(x)0得x0，由f(x)0得x0恒成立，得x2或x1时，f(x)0，且x0；2x1时，f(x)1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.8.设定义在(0，)上的单调函数f(x)，对任意的x(0，)都有f(f(x)log2x)3.若方程f(x)f(x)a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A.(1，) B.C. D(3，)答案B解析由于函数f(x)是单调函数，因此不妨设f(x)log2xt，则f(t)3，再令xt，则f(t)log2tt，得log2t3t，解得t2，故f(x)log2x2，f(x)，构造函数g(x)f(x)f(x)alog2xa2，方程f(x)f(x)a有两个不同的实数根，g(x)有两个不同的零点g(x)，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(x)ming(1)a2，由a22，故实数a的取值范围是.9.(2019青岛二模)已知函数f(x)2ef(e)ln x(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()A.2e1 B C1 D2ln 2答案D解析由题意知，f(x)，f(e)2f(e)，则f(e).因此f(x)，令f(x)0，得x2e.f(x) 在(0,2e)上单调递增，在(2e，)上单调递减f(x)在x2e处取极大值f(2e)2ln (2e)22ln 2.10.(2019济南调研)已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2)B.f(x1)0，f(x2)0，f(x2)D.f(x1)答案D解析f(x)ln x2ax1，依题意知f(x)0有两个不等实根x1，x2，即曲线y1ln x与直线y2ax有两个不同交点，如图由直线yx是曲线y1ln x的切线可知：02a1,0x11x2，a.由0x11得f(x1)x1(ln x1ax1)0，当x1x0，f(x2)f(1)a.故选D.11.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，对任意实数x均有(1x)f(x)xf(x)0成立，且yf(x1)e是奇函数，则不等式xf(x)ex0的解集是()A.(，e) B(e，)C.(，1) D(1，)答案D解析原不等式等价于1，令g(x)，则g(x)0，g(x)在R上是增函数，又yf(x1)e是奇函数，0f(01)e，即f(1)e，g(1)1，原不等式为g(x)g(1)，解集为(1，)，故选D.12.(2019廊坊省级示范高中联考)已知函数f(x)x3x2axb的图象在x0处的切线方程为2xya0，若关于x的方程f(x2)m有四个不同的实数解，则m的取值范围为()A. B.C. D.答案D解析由函数f(x)x3x2axb，可得f(x)x2xa，则f(0)ba，f(0)a2，则b2，即f(x)x3x22x2，f(x)x2x2(x1)(x2)，当x2时，f(x)0；当2x0；当x1时，f(x)0.所以函数f(x)在(2,1)上单调递增，在(，2)，(1，)上单调递减，又因为关于x的方程f(x2)m有四个不同的实数解，等价于函数f(x)的图象与直线ym在x(0，)上有两个交点，因为f(0)2，f(1)，所以2m0，则f(x)在(，0，a，)上递增，在(0，a)上递减f(x)有极大值f(0)，极小值f(a)，综上，a的取值范围是(0，).16.(2018江苏高考)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_答案3解析f(x)6x22ax2x(3xa)，令f(x)0得x0，x，因为函数f(x)在(0，)上有且仅有一个零点且f(0)1，所以0，f0，因此23a210，a3.从而函数f(x)在1，0上单调递增，在0,1上单调递减，所以f(x)maxf(0)，f(x)minminf(1)，f(1)f(1)，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.- 15 -
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