2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型2 解答题 规范踩点 多得分 第4讲 立体几何 第3课时 立体几何中的翻折问题和探索性问题练习 文

第3课时立体几何中的翻折问题和探索性问题考情分析翻折问题和探索性问题是近年来高考立体几何中的常见题型翻折是联结平面几何与立体几何的纽带，实现平面向空间的转化；探索性问题常以动点形式出现，是带着解析几何的味道出现在立体几何中的神秘杀手，让很多学生不知所措！对于这两类题目，破题的秘诀是“以静制动，静观其变！”热点题型分析热点1翻折问题1处理好翻折问题的关键是抓住两图的特征关系，画好翻折前后的平面图形与立体图形，并弄清翻折前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化，这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据2以翻折棱为基准，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，分别位于两个半平面内的几何元素之间的关系一般是变化的垂直于翻折棱的直线翻折后，仍然垂直于翻折棱(2019河北五校联考)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，ABCD，ADCDAB2，E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体DABC中：(1)求证：BC平面ACD；(2)点F在棱CD上，且满足AD平面BEF，求几何体FBCE的体积解(1)证明：AC2，BACACD45，AB4，在ABC中，BC2AC2AB22ACABcos458，AB2AC2BC216，ACBC，平面ACD平面ABC，平面ACD平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)AD平面BEF，AD平面ACD，平面ACD平面BEFEF，ADEF，E为AC的中点，EF为ACD的中位线，由(1)知，VFBCEVBCEFSCEFBC，SCEFSACD22，VFBCE2.1解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变和不变一般情况下，线段的长度是不变的，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口2在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形如图1，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E，F分别在线段BC，AD上，EFAB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF平面ECDF，如图2.(1)求证：NC平面MFD；(2)若EC3，求证：NDFC；(3)求四面体NEFD体积的最大值解(1)证明：四边形MNEF和四边形EFDC都是矩形，MNEF，EFCD，MNEFCD，MNCD.四边形MNCD是平行四边形，NCMD.NC平面MFD，MD平面MFD，NC平面MFD.(2)证明：连接ED，平面MNEF平面ECDF，且NEEF，平面MNEF平面ECDFEF，NE平面MNEF，NE平面ECDF.FC平面ECDF，FCNE.ECCD，四边形ECDF为正方形，FCED.又EDNEE，ED，NE平面NED，FC平面NED.ND平面NED，NDFC.(3)设NEx，则FDEC4x，其中0x4，由(2)得NE平面FEC，四面体NEFD的体积为V四面体NEFDSEFDNEx(4x)V四面体NEFD22，当且仅当x4x，即x2时，四面体NEFD的体积最大，最大值为2.热点2探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对位置关系、角的大小以及点的位置的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设(2019成都诊断)如图，在四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F分别在BC，AD上，EFAB，现将四边形ABEF沿EF折起，使BEEC.(1)若BE1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥ACDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离解(1)线段AD上存在一点P，使得CP平面ABEF，此时.理由如下：当时，过点P作PMFD交AF于点M，连接EM，则有，由题意可得FD5，故MP3，由题意可得EC3，又MPFDEC，故四边形MPCE为平行四边形，CPME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，CP平面ABEF成立(2)设BEx，AFx(00)，则BD，因为ABDDCB，所以，即，解得x，故AB，BD，BC3.由于AB平面ADC，AC平面ADC，所以ABAC，又E为BC的中点，所以由平面几何知识得AE，因为BDDC，E为BC的中点，所以DE，所以SADE1 .因为DC平面ABD，所以VABCDVCABDCDSABD.设点B到平面ADE的距离为d.则由dSADEVBADEVABDEVABCD，得d，即点B到平面ADE的距离为.- 10 -