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第13讲直线与圆考情分析本讲内容主要以考查求直线和圆的方程，直线与圆和圆与圆的位置关系等问题为主，其中含参数问题为命题的热点，一般以选择、填空的形式出现，难度不大热点题型分析热点1直线方程1.直线方程的五种形式(1)点斜式：yy0k(xx0)，其中k为直线斜率，(x0，y0)为直线上一点；(2)斜截式：ykxb，其中k为直线斜率，b为直线纵截距；(3)两点式：；其中(x1，y1)，(x2，y2)为直线上两点；(4)截距式：1，其中a为直线的横截距，b为直线的纵截距；(5)一般式：AxByC0，其中A2B20.2.直线平行与垂直的判定若两直线方程为l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1l2k1k2且b1b2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在3.三种距离公式(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离：|P1P2|；(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离为：d；(3)两条平行直线AxByC10与AxByC20间的距离为：d. 1.下列有关直线的四个命题中，真命题为()A.直线的斜率为tan，则其倾斜角为B.经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示C.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示D.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交答案C解析对于A，如tan2251可以看作是一直线斜率，但是225并不为直线倾斜角；对于B，当直线垂直于x轴时，不能用点斜式写直线方程；对于D，当两直线方程组成的方程组有无穷多个解时，两条直线重合，并不是相交的关系；对于C，当x1x2时，其直线斜率为kP1P2，则由点斜式可得方程为yy1(xx1)，即(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)，当x1x2时，直线方程为xx1，也满足(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)，故C正确.2.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2xby10与直线l1平行，则ab()A.4 B2 C0 D2答案B解析由题意知l的斜率为1，则l1的斜率为1，即kAB1，所以a0；由l1l2知1，则b2，所以ab2.故选B.1.与直线的斜率和倾斜角有关的问题，往往容易忽略倾斜角的取值范围如第1题，不关注范围就容易错选A选项因此解题时要关注斜率和倾角的函数关系(特别是倾角的范围)，即ktan；求范围的问题时，要结合正切函数图象具体问题具体分析.2.在求直线方程时要合理选择方程形式，特别是要考虑当直线斜率不存在时，是否满足条件如第1题，未考虑此情况，就容易错选B选项因此要注意几种直线方程形式的局限性，即点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直；截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3.在研究两直线位置关系问题中不要忽视斜率不存在的情况如第2题，先求出a0即l1的斜率存在，否则需要考虑b0的情况；其中解两条直线平行的问题时，求出相应参数值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况；利用平行线间距离公式计算距离时，要注意两条直线方程中x与y的系数是否一致.热点2圆的方程求圆的方程的两种方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而利用圆的标准方程求出圆的方程；(2)待定系数法：先设出圆的方程，再列出满足条件的方程(组)求出各系数，进而求出圆的方程，此种方法多以设圆的一般方程求解1.已知圆C的圆心在直线xy0上，圆C与直线xy0相切，且在直线xy30上截得的弦长为，则圆C的方程为_答案(x1)2(y1)22解析解法一：所求圆的圆心在直线xy0上，设所求圆的圆心为(a，a)又所求圆与直线xy0相切，半径r|a|.又所求圆在直线xy30上截得的弦长为，圆心(a，a)到直线xy30的距离d，d22r2，即2a2，解得a1，圆C的方程为(x1)2(y1)22.解法二：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心(a，b)到直线xy30的距离d，r2，即2r2(ab3)23.所求圆与直线xy0相切，(ab)22r2.又圆心在直线xy0上，ab0. 联立，解得故圆C的方程为(x1)2(y1)22.2.(2016浙江高考)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_答案(2，4)5解析因为a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则a2a2，所以a1或2.当a2时，方程为4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，其中D2E24F141050是否成立；也可以配方后判断方程的右侧是否大于0.热点3直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系(1)几何法(dr法)：即圆心到直线的距离d与圆半径r进行比较，dr直线与圆相离；(2)判别式法：设直线l：AxByC0，圆O：(xa)2(yb)2r2，由与组成方程组M，消去x(或y)后的一元二次方程，其根的判别式为，则0直线与圆相交；0直线与圆相切；r)；圆心距为d；两圆方程联立的方程组为M，则两圆的位置关系如下：1.(2018全国卷)过抛物线y24x上的点P作圆C：x2y26x80的切线PA和PB，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为()A. B. C. D2答案C解析如图所示，四边形PACB由两个全等的直角三角形PAC和PBC构成，因此当PC长度最小时，四边形PACB面积取得最小值由于P在抛物线y24x上，设P的坐标为，x2y26x80，整理得(x3)2y21，C点坐标为(3,0)，所以|PC|，由于yR，所以当y2时，|PC|min2.又圆C的半径为1，此时|PA|，所以四边形PACB面积的最小值为.故选C.2.(2019石家庄模拟)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4 B4 C8 D8答案C解析因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|，解得a52或a52，可取C1(52，52)，C2(52，52)，故|C1C2| 8.故选C.3.(2019浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m_，r_.答案2解析根据题意画出图形，可知A(2，1)，C(0，m)，B(0,3)，则|AB|2，|AC|，|BC|m3|.直线2xy30与圆C相切于点A，BAC90，|AB|2|AC|2|BC|2.即204(m1)2(m3)2，解得m2.因此r|AC|.1.讨论直线与圆、圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量2.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上的点距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上点与另一圆上点的距离最值问题，可以转化为两圆心之间的距离问题.热点4交汇题型直线与圆的问题，很多时候常常需要借助代数坐标化，将动态问题转变为函数问题，因此圆的相关知识，常与向量、不等式、三角函数、概率等问题交汇考查，凸显坐标法与数形结合三位一体的命题理念，有效地考查解析几何的基本思想交汇点一与向量交汇典例1(2017全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A.3 B2 C. D2解析建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)设BD与圆C切于点E，连接CE，则CEBD.CD1，BC2，BD，EC，即圆C的半径为，P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2.设P(x0，y0)，则(为参数)，而(x0，y0)，(0,1)，(2,0)(0,1)(2,0)(2，)，x01cos，y01sin.两式相加，得1sin1cos2sin()3，当且仅当2k，kZ时，取得最大值3.故选A.答案A平面向量与圆的交汇是解析几何的一个热点内容，在高考中一直是考查的重点解题时一方面要能够正确分析向量表达式，将它们转化为图形中的相应位置关系；另一方面还要善于运用向量的运算来解决问题.(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_答案5，1解析因为点P在圆O：x2y250上，所以设P点坐标为(x，)(5x5)因为A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x,6)或(x,6)因为20，先取P(x, )进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5 .当2x50，即x时，上式恒成立；当2x50，即x时，(2x5)250x2，解得5x1，即x1.故x1.同理可得P(x，)时，x5.又5x5，所以5x1.故点P的横坐标的取值范围为5，1设P(x，y)，则(12x，y)，(x，6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50.如图，作圆O：x2y250，直线2xy50与O交于E，F两点，P在圆O上且满足2xy50，点P在上由得F点的横坐标为1.又D点的横坐标为5，P点的横坐标的取值范围为5，1.交汇点二与不等式交汇典例2已知圆C：(x3)2(y4)225，圆C上的点到直线l：3x4ym0(m0)的最短距离为1，若点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分，则的最小值为_解析圆C：(x3)2(y4)225，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C上的点到直线l：3x4ym0(m0，b0.则(3a4b)，当且仅当a55，b55时取等号答案一般来说，处理直线与圆的位置关系，常利用圆心到直线的距离与半径大小的关系构造不等式；或是运用图形(象)明显(或挖掘隐含)的几何性质与特征，转化为与之等价的代数不等式，通过解不等式(组)求出相应的范围与最值问题. 若直线l：axby10(a0，b0)把圆C：(x4)2(y1)216分成面积相等的两部分，则当ab取得最大值时，坐标原点到直线l的距离是()A.4 B8 C2 D.答案D解析由题意知直线axby10过圆心(4，1)，即4ab1.由基本不等式可知ab2，当且仅当4ab时等号成立，即直线方程为xy10，所以原点到直线的距离为d.故选D.交汇点三与概率交汇典例3(2019太原市一模)已知圆C：x2y21，直线l：yk(x2)，在1,1上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为()A. B. C. D.解析因为当直线l与圆相离时，圆心(0,0)到直线kxy2k0的距离大于半径，所以1，即k或k0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则当t取得最大值时，点P的坐标是()A. B.C. D.答案D解析由题意知，若使圆C上存在点P(x，y)，使得APB90，则圆C与以原点为圆心，AB为直径的圆有交点，即t1|OC|t1即1t3，当t3时，两圆内切且t1，所以O，C，P三点共线，即kOCkOP，则OP所在直线的倾斜角为30.所以x3cos30，y3sin30，则P.故选D.9.(2019河南洛阳二模)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2的值为()A. B. C5 D10答案D解析由题意知P(0,1)，Q(3,0)，因为过定点P的直线与过定点Q的直线垂直，所以M位于以PQ为直径的圆上因为|PQ|，所以|MP|2|MQ|2|PQ|210.故选D.10.(2019哈尔滨第三中学三模)一条光线从点(1，1)射出，经y轴反射后与圆(x2)2y21相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析由题意知，反射光线必经过(1，1)点，设反射光线的斜率为k，则反射光线为kxyk10，由题意知1，所以0k，因此入射光线所在直线的斜率取值范围是.故选C.11.已知圆C：(x1)2(y2)22，若直线ykx4上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是()A.k Bk或k1C.k或k0 Dk1答案C解析如图，设切点为A，B，连接AC，BC，PC，由APBPACPBC90及PAPB知，四边形PACB为正方形，故|PC|2.若直线ykx4上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线互相垂直，只需圆心(1,2)到直线ykx4的距离小于或等于2，即2，解得k或k0.故选C.12.(2019南昌二模)若对圆(x1)2(y1)21上任意一点P(x，y)，|3x4ya|3x4y9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是()A.a4 B4a6C.a4或a6 Da6答案D解析因为P(x，y)是圆(x1)2(y1)21上任意一点，则x1cos，y1sin.所以|3x4y9|3cos4sin10|5sin()10|.因为5sin()100，所以1解得a6.故选D.二、填空题13.过点M的直线l与圆C：(x1)2y24交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为_答案2x4y30解析易知当CMAB时，ACB最小因为点C的坐标为(1,0)，直线CM的斜率为kCM2，从而直线l的斜率为k，所以其方程为y1，即2x4y30.14.已知直线ax2by2(a0，b0)过圆x2y24x2y10的圆心，则的最小值为_答案4解析圆心为(2，1)，代入直线方程有2a2b2即ab1，则有2224，故答案为4.15.若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是_答案4解析O1与O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，O1AOA.又|OA|，|O1A|2，|OO1|5.又A，B关于OO1所在直线对称，AB长为RtOAO1斜边上的高的2倍，|AB|24.16.已知圆O：x2y29，点P为直线x2y90上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点_答案(1,2) 解析因为P是直线x2y90上的任一点，所以设P(92m，m)，因为PA，PB为圆x2y29的两条切线，切点分别为A，B，所以OAPA，OBPB，则点A，B在以OP为直径的圆(记为圆C)上，即AB是圆O和圆C的公共弦，易知圆C的方程是22，又x2y29，得，(2m9)xmy90，即公共弦AB所在直线的方程是(2m9)xmy90，即m(2xy)(9x9)0，由得x1，y2.所以直线AB恒过定点(1,2).- 20 -
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