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第15讲导数的概念及运算1(2019江西赣州期中试卷)若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为(C)A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0) x0，f(x)2x20，所以x(2，)2(2018西安市长安一中第六次质检)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)(B)A1 B0C2 D4 由图象可知曲线yf(x)在x3处的切线的斜率等于，所以f(3)，且f(3)1.因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，所以g(3)f(3)3f(3)13()0.3(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为(D)Ay2x ByxCy2x Dyx (方法1)因为f(x)x3(a1)x2ax，所以f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，所以a1，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.(方法2)因为f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)3x22(a1)xa为偶函数，所以a1，即f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.4(2016山东卷)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(A)Aysin x Byln xCyex Dyx3 若yf(x)的图象上存在两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f(x1)f(x2)1.对于A，ycos x，若有cos x1cos x21，则存在x12k，x22k(kZ)时，结论成立；对于B，y，若有1，即x1x21，因为x0，所以不存在x1，x2，使得x1x21；对于C，yex，若有ex1ex21，即ex1x21，显然不存在这样的x1，x2；对于D，y3x2，若有3x3x1，即9xx1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A.5(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为2，则a_3_ 因为y(axa1)ex，所以当x0时，ya1，所以a12，得a3.6如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则ff(0)2；li 2.(用数字作答) ff(0)f(4)2.因为直线AB的方程为y2x4(0x2)，所以y2.所以li f(1)2.7(2018佛山一模节选)已知函数f(x)(xa)ln xx，(其中aR)若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yx，求a的值 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x，由题意知则解得或所以a1.8(2018广东七校联考)函数f(x)xcos x的导函数f(x)在区间，上的图象大致是(A) 因为f(x)cos xxsin x，所以f(0)1，所以排除C、D，令g(x)cos xxsin x，则g(x)2sin xxcos x，当x(0，)时，g(x)0，所以g(x)即f(x)在(0，)上单调递减，所以排除B，故选A.9(2018重庆七校联考)若对于曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)ax2cos x的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为1,2. 设曲线f(x)和g(x)的切点分别为(x1，f(x1)，(x2，g(x2)，易知k1ex11，k2a2sin x2，x1，x2R，因为l1l2，所以(ex11)(a2sin x2)1，即a2sin x2.令u(x2)a2sin x2，v(x1)，则它们的值域分别为a2，a2与(0,1)，由题意知，对任意的x1，总存在x2，使得上述等式成立，所以(0,1)a2，a2，所以a20且a21，即1a2.所以a的取值范围为1,210已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由 (1)f(x)3ax26x6a，f(1)0，即3a66a0，所以a2.(2)直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，设切点为(x0,3x6x012)，因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0,9)代入，得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9.所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9.又由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1，在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10.所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，存在k0，使直线m：y9既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线5
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