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第1课时坐标系与参数方程考情分析坐标系与参数方程是高考选考内容之一，要求考查：一是直线与圆的极坐标方程，以及极坐标与直角坐标的互化；二是直线、圆与圆锥曲线的参数方程，以及参数方程与普通方程的互化热点题型分析热点1极坐标方程1圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r，则圆的极坐标方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r时，r；(2)当圆心为M(a,0)，半径为a时，2acos；(3)当圆心为M，半径为a时，2asin.2直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴与此直线所成的角为，则此直线的极坐标方程为sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cosa；(3)直线过点M，且平行于极轴：sinb.(2019全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在曲线C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解(1)因为M(0，0)在曲线C上，当0时，04sin2.由已知，得|OP|OA|cos2.设Q(，)为l上除P外的任意一点在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上，所以l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因为P在线段OM上，且APOM，所以的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos，.1直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式xcos和ysin直接带入并化简即可2极坐标方程化为直角坐标时常通过变形，构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意变形过程的检验(2018江苏高考)在极坐标系中，直线l的方程为sin2，曲线C的方程为4cos，求直线l被曲线C截得的弦长解因为曲线C的极坐标方程为4cos，所以曲线C是以直角坐标(2,0)为圆心，直径为4的圆因为直线l的极坐标方程为sin2，则直线l过A(4,0)(直角坐标)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点设另一个交点为B，则OAB.连接OB，因为OA为直径，从而OBA，所以AB4cos2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.热点2参数方程1直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，且倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即|t|PP0|(t可正、可负、可零)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则|M1M2|t1t2|；线段M1M2的中点M所对应的参数为.2圆的参数方程圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)3椭圆的参数方程椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)；椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tank，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin10.于是tAtB2sin，tPsin.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有：(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法；(2)三角恒等消参法：利用sin2cos21消去参数，圆和椭圆的参数方程都是运用三角恒等消参法；(3)常见的消参关系式：t1；224；221.(2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cossin110.(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l距离的最小值解(1)因为11，且x2221，所以曲线C的直角坐标方程为x21(x1)，直线l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设曲线C的参数方程为(为参数，)曲线C上的点到直线l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故曲线C上的点到直线l距离的最小值为.热点3极坐标与参数方程的综合应用解决极坐标与参数方程的综合应用问题的一般思路：(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决转化时要注意两坐标系的关系，注意，的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同；(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标解(1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos，sin)因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d().当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.解决极坐标、参数方程的综合问题时应注意下面三点：(1)在对于参数方程或极坐标方程的应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰；(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题；利用圆或椭圆参数方程中的参数，转化为三角函数处理有关最值的问题；(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件和隐含条件以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知直线l的参数方程为(t为参数，0)，曲线C的极坐标方程为cos28sin.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求|AB|的最小值解(1)由消去t，得xsinycos2cos0，所以直线l的普通方程为xsinycos2cos0.由cos28sin，得(cos)28sin，把xcos，ysin代入上式，得x28y，所以曲线C的直角坐标方程为x28y.(2)将直线l的参数方程代入x28y，得t2cos28tsin160，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t2，所以|AB|t1t2| .当0时，|AB|的最小值为8.专题作业1(2019南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为(R)，(R)，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求OMN的面积解(1)由曲线C的参数方程(为参数)，得C的普通方程为x2(y2)24，所以曲线C的极坐标方程为2cos22sin24sin0，即4sin.(2)不妨设直线l1：(R)与曲线C的交点为O，M，则M|OM|4sin2.又直线l2：(R)与曲线C的交点为O，N，则N|ON|4sin2.又MON，所以SOMN|OM|ON|222.2(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，所以x1x2(1t1cos)(1t2cos)2，所以(t1t2)cos0，又cos0，所以t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，所以tan2，于是直线l的斜率ktan2.3(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cossin)0，M为l3与C的交点，求M的极径解(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设，得消去k，得x2y24(y0)，所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)，联立得cossin2(cossin)故tan，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4，得25，所以交点M的极径为.4(2019郑州第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且l过点A，曲线C1的参数方程为(为参数)(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；(2)过点B(1,1)且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|BN|的值解(1)由直线l过点A可得cosa，故a，则易得直线l的直角坐标方程为xy20.根据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点到直线l的距离d，其中sin，cos，所以dmax.即曲线C1上的点到直线l的距离的最大值为.(2)由(1)知直线l的倾斜角为，则直线l1的参数方程为(t为参数)易知曲线C1的普通方程为1.把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得t27t50，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，所以t1t2，根据参数t的几何意义可知|BM|BN|t1t2|.- 9 -
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