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第1讲解答题的解法研究一 数形结合思想方法数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两方面的内容：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来说明函数的性质；二是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，比如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质我们在解决数学问题时，应将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的互化，从而得到原题的解总体目标：通过数形结合，抽象问题具体化，复杂问题简单化解题途径：根据问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简常见的手段：构造法、转化法、数形结合、分离变量法等等典例1记实数x1，x2，xn中最小数为minx1，x2，xn，求定义在区间0，)上的函数f(x)minx21，x3,13x的最大值【方法点睛】利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论，正确作出函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则典例2关于x的方程sin2xcos2xa1在上有两个不同的根，求实数a的取值范围【方法点睛】本题要解的是一个带参数的三角方程，直接解比较困难，可以从函数的角度来研究本方程的解通过变形，左边看成函数y1sin的图象的一部分，右边看成y2的图象因此，方程的解可通过“数形结合”方法轻松获得对于三角方程的解的个数问题，经常可考虑此思想方法解决典例3在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线AP和BP分别与直线x3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【方法点睛】本题的想法看似简单，即设P(x0，y0)，分别写出直线AP和BP的方程，根据已知条件用x0，y0分别表示出PAB与PMN的面积，从而得到x0，y0的一个关系式，再结合点P(x0，y0)在椭圆x23y24上，得到第二个方程，从而问题转化为解方程组，这是很多学生很容易想到的做法，可是这看似简单的想法计算却非常不简单如果能先作出图形，根据PAB与PMN的面积相等，得到M是NC中点，易知B为AC中点，从而AM，BN都是中线，因此P为ANC的重心，而A，N，C三点横坐标易求得，故P点的横坐标也就易求出来了代入椭圆，很快求出P点的纵坐标在解析几何求解过程中，如果适当考虑其中的几何关系，计算量将大大减少，“数形结合”，事半功倍，提高解题效率典例4已知函数f(x)|2x3|x1|.(1)若不等式f(x)a的解集是空集，求实数a的取值范围；(2)若存在x0R，使得2f(x0)t24|t|成立，求实数t的取值范围【方法点睛】本题如果从不等式角度进行考虑，非常不好描述，而且不易求出正确解根据题意，将不等式恒成立问题和存在性问题转化为函数值域与参数的比较问题，思路清晰明了，再通过数形结合，很快求出相关函数的值域，继而求出参数的取值范围在求解过程中，“数形结合”大大简化了计算量二 转化与化归思想数学思想中的一条重要原则是转化与化归，不断地变更数学问题，使要解决的问题化难为易，或变未知为已知，或把某一数学分支中的问题转化为另外一个数学分支中的问题，最终求出原题的解总体目标：化难为易，化生为熟，化繁为简解题途径：函数、方程、不等式间的转化；数与形间的转化；一般与特殊的转化；整体与局部的转化；正面与反面的转化等等常见的方法：换元法、数形结合法、构造法、设参法、特殊法，拆分与整合等典例1设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1axx2)f(2a)对任意a1,1恒成立，求x的取值范围【方法点睛】将不等式恒成立问题转化为求函数的值域问题，在转化过程中，用到了构造函数法，次元、主元调换法，最后通过解不等式得到答案典例2(2017浙江高考)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，求|ab|ab|的最小值和最大值【方法点睛】一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果典例3已知函数f(x).(1)当x0时，f(x)(m0)恒成立，求实数m的取值范围；(2)求证：f(x)ln xb0)的四个顶点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点为抛物线yx28与x轴的交点(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，若ADBD，且D(3,0)，求ABD面积的最大值【方法点睛】在求椭圆方程时，经常把条件转化为方程组，方程组解出来即得到椭圆方程在解答圆锥曲线相关问题时，经常借助相关点的坐标来研究相关性质，如定点、共线、最值等问题转化的基本方向：消元，降次，化简三 分类整合思想方法在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究，这就是分类整合思想方法分类整合是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练学生的思维条理性和概括性，因此在高考试题中占有重要的位置总体目标：大化小，整体化为部分，一般化为特殊解题途径：根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别进行研究，研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起常见的方法：化整为零、积零为整、构造法、转化法、数形结合、分离变量法等等典例1(2018全国卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围【方法点睛】本题(1)(2)问都涉及到绝对值不等式，要把绝对值去掉，解答才得以继续进行，在第(1)问中，通过对变量x进行分类讨论，绝对值不等式转化为一次不等式，原不等式从而得到解答；(2)问中对参数a进行讨论，去掉绝对值，求出参数范围典例2设bR，数列an的前n项和Sn3nb，试判断an是否是等比数列？并说明理由【方法点睛】本题中参数b的值影响着a1的值，进而影响着数列的通项公式因此需要对参数b分类讨论，并以a1的值是否满足an23n1为标准典例3设a0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a2的最大值和最小值【方法点睛】本题通过作变量代换tsinxcosx，将原函数变成关于t的二次函数(带参数a)，然后根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，继而求出原函数的最大值典例4已知f(x)xaex(aR，e为自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)e2x对xR恒成立，求实数a的取值范围【方法点睛】参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”四 函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解有时，还实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的总体目标：动态化静态，抽象化具体，函数方程相互转化解题途径：根据研究问题的需要，通过构造方程或函数，然后研究方程和函数的性质，从而解决原问题常见的方法：构造法、转化法、动静结合、数形结合、分离变量法等等典例1(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值【方法点睛】本题已知数列的属性(等差或等比数列)，因此可以构造关于a1和d(q)的方程组，通过a1和d(q)，从而求出数列的通项公式，将前n项和Sn表示为n的函数，继而求出其最小值求解过程体现方程思想和函数思想典例2已知sincos，(0，)，求tan的值【方法点睛】本题表面看是一个未知数，但是很难直接求出其大小本题通过韦达定理构造一个一元二次方程，其两根分别为sin，cos，求出方程的两个解(也就是sin，cos的值)，从而求出tan的值典例3(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.【方法点睛】本题第(1)问是个不等式问题，我们将其转化为函数问题解决通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最大值为0，从而证明了原不等式，充分体现了函数思想的应用第(2)问是函数零点个数问题，通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最值，从而讨论出不同a的值得到不同的零点个数典例4设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点(1)若6，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值【方法点睛】几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法典例5(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.【方法点睛】本题第(1)问先将直线和椭圆的参数方程化为普通方程，然后联立，求出交点坐标第(2)问先将C上的点到直线的距离用表示出来，判断3cos4sin的范围，讨论a，去掉绝对值得到距离的最大值的方程，求得a最后结果- 19 -
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