2019年高考数学三轮冲刺 专题03 基本初等函数、函数与方程及函数的应用专项讲解与训练

第3讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用基本初等函数的图象与性质1指数与对数式的8个运算公式(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)(ab)mambm，其中，a0，b0；(4)loga(MN)logaMlogaN；(5)loga logaMlogaN；(6)logaMnnlogaM；(7)alogaNN；(8)logaN，其中，a0，且a1，b0且b1，M0，N0.2指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1，a1两种情况：当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数 (1)已知函数f(x)ln xln(2x)，则() Af(x)在(0，2)单调递增Bf(x)在(0，2)单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1，0)对称【答案】C【解析】法一：由题意知，f(x)ln xln(2x)的定义域为(0，2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由复合函数的单调性知，函数f(x)ln xln(2x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A，B；又f()lnln(2)ln ，f()lnln(2)ln，所以f()f()ln，所以排除D，故选C.法二：由题意知，f(x)ln xln(2x)的定义域为(0，2)，f(x)，由，得0x1；由，得1x2，所以函数f(x)ln xln(2x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A，B；又f()lnln(2)ln ，f()lnln(2)ln，所以f()f()ln，所以排除D，故选C.(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数若af(log2)，bf(log24.1)，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcba Dcalog24.1log24220.8，且函数f(x)是增函数，所以cb200，即1.12xx3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年 (2)(2019湖北武汉市高三模拟)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)x210x；当年产量不小于80千件时，G(x)51x1 450.已知每件产品的售价为0.05万元通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是_万元【答案】1 000【解析】因为每件产品的售价为0.05万元，所以x千件产品的销售额为0.051 000x50x万元当0x80时，年利润L(x)50xx210x250x240x250(x60)2950，所以当x60时，L(x)取得最大值，且最大值为L(60)950万元；当x80时，L(x)50x51x1 4502501 2001 20021 2002001 000，当且仅当x，即x100时，L(x)取得最大值1 000万元由于9501 000，所以当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答 【对点训练】1某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为()A1B2C3 D4【答案】C.2(2019湖北七市(州)联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为PP0ekt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为_小时【答案】：10【解析】：前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t5时，P0.9P0，代入，得(ek)50.9，所以ek0.9，所以PP0ektP0(0.9)t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P0.81P0，代入得0.81(0.9)t，解得t10，即需要花费10小时函数的零点 判断函数零点个数的方法(1)解方程法，即解方程f(x)0，方程不同的解的个数即为函数f(x)的零点的个数；(2)图象法，画出函数f(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)数形结合，即把函数的零点问题等价地转化为两个函数图象的交点问题，通过判断交点的个数得出函数零点的个数；(4)利用零点存在性定理判断 (1)(2019焦作模拟)已知函数f(x)满足：定义域为R；xR，都有f(x2)f(x)；当x1，1时，f(x)|x|1.则方程f(x)log2|x|在区间3，5内解的个数是()A5B6C7 D8【答案】A【解析】画出y1f(x)，y2log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5. (2)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()A BC. D1【答案】C 【解析】 (2)由f(x)x22xa(ex1ex1)，得f(2x)(2x)22(2x)ae2x1e(2x)1x24x442xa(e1xex1)x22xa(ex1ex1)，所以f(2x)f(x)，即x1为f(x)图象的对称轴由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x1，即f(1)1221a(e11e11)0，解得a.故选C.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解 【对点训练】1已知函数f(x)cosx，g(x)2|x2|，x2，6，则函数h(x)f(x)g(x)的所有零点之和为()A6 B8C10 D12【答案】D.【解析】函数h(x)f(x)g(x)的零点之和可转化为f(x)g(x)的根之和，即转化为y1f(x)和y2g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和又由函数g(x)2|x2|与f(x)的图象均关于x2对称，可知函数h(x)的零点之和为12.2设函数f(x)的图象过点(1，1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x)的值域是0，)，则函数g(x)的值域是_ 7