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西师大版6年级数学上册-爬坡题与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。 第一单元 分数乘法课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 【例1】在学校举行的泥塑大赛中，六年级一班共制作泥塑作品36件，其中男生做了总数的59。六年级一班男生做了多少件泥塑作品？家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 思路分析：由题意我们可以画出线段图，来帮助我们解决问题，如下：要点提示：线段图直观形象易懂，画线段图帮助我们弄清各个量之间的关系。男生做了总数的59，是把“六年级一班一共制作的泥塑作品36件”看做单位“1”，平均分成9份，男生做的占其中的5份，求一班男生做了多少件，就是求36的59是多少，用乘法计算，列式为5936。解答：5936=20（件） 答：六年级一班男生做了20件泥塑作品。【例2】甲乙两地相距480千米，A、B两列火车同时从两地相对开出,经过3时,A车行了全程的58,B车行了全程的35。哪列火车离终点近一些?思路分析：由题意可知，甲乙两地相距480千米，有AB两列火车从两地相对开出，经过3小时，两列火车都行驶了一段距离，问题是让我们判断哪列火车离终点更近一些。我们可以现求出这两列火车分别离终点还有多远，再进行比较。要点提示：也可以比较AB两列火车分别行驶的距离，行驶距离越远的离终点更近一些。A车距离终点：480-48058=180（千米）B车距离终点：480-48035=192（千米）180192 所以A车离终点近一些。解答：A车距离终点：480-48058=180（千米）B车距离终点：480-48035=192（千米）180192 所以A车离终点近一些。【例3】看图列式计算。（1） （2）思路分析：要点提示：看懂图意和找准单位“1”是解决此类问题的关键。（1）看图可知，一台彩电原件2400元，把原价分成6份，现价占其中的5份，要求现价是多少元，是把原价当作单位“1”，用乘法计算，列式为240056=2019（元）。（2）看图可知，鸡有480只，把鸡分成6份，鸭占其中的5份，鹅占其中的2份，要求鹅有多少只，是把鸡的只数当作单位“1”，用乘法计算，列式为48026=160（只）。解答：（1）240056=2019（元） （2）48026=160（只）【例4】有甲乙两箱苹果，甲箱里有苹果25千克，拿出它的15后，这时两箱苹果的质量相等。乙箱原有苹果多少千克？要点提示：明确拿出的部分就是甲比乙多的部分。思路分析：由题意可知，甲箱里原有25千克苹果，后来拿出了15，也就是拿出了2515=5（千克）苹果，这时甲乙两箱苹果就一样多了，说明甲箱苹果比乙箱苹果多的部分刚好和从甲箱中拿出的部分是一样多的，即甲箱苹果比乙箱苹果多5千克。要求乙箱原有多少千克的苹果，就是用甲箱的苹果质量减去多的那部分即可，列式为25-5=20（千克）。解答：25-2515=20（千克） 答：乙箱原有苹果20千克。要点提示：可先动手实际操作一下，看看对折三次后是几段。【例5】把一根绳子对折三次后长2532米,这根绳子一共有多长?思路分析：我们先折一折。如下图所示，图一表示对折一次后一根绳子变成了两段，图二表示再对折一次（对折两次）后变成了四段，图三表示再对折一次（对折三次）后变成了八段。题中要求这根绳子一共有多长，就是求对折三次后的八段共有多长，由题干已知对折三次后每段长2532米，所以将这八段绳子的长度加起来就是这根绳子的总长度，用加法或乘法计算，列乘法算式为25328=254（米）。解答：25328=254（米） 答：这根绳子一共长254米。【例6】六年级一班有48人，在第一单元测评中，成绩优秀的学生人数占全班人数的712，不及格人数是成绩优秀学生人数的17。这次考试中及格以上的有多少人？思路分析：由题意可知，六年级一班有48人，在第一单元测评中，既有成绩优秀的学生，也有成绩及格和不及格的学生，要求在此次考试中几个以上的人数，就是用全班总人数减去不及格人数，但是题目中并未直接给出不及格的人数，所以我们要先求出不及格的人数。我们可以通过成绩优秀的学人数求出不及格的人数。要点提示：找准单位“1”是解决此类问题的关键。成绩优秀的学生人数：48712=28（人）成绩不及格的学生人数：2817=4（人）用全班总人数减去不及格人数即可求出及格以上的学生人数。解答：成绩优秀的学生人数：48712=28（人）成绩不及格的学生人数：2817=4（人）成绩及格以上人数：48-4=44（人）答：这次考试中及格以上的有44人。【例7】计算112+123+134+199100。思路分析：这是一道考查分数的乘法和加法题，初看此题很多人会拿起笔就直接一个一个计算，然后再加起来，这样做不但繁琐，而且容易出错，那到底有没有更简便的方法呢？答案是肯定的。要点提示：转化法是常用的数学方法之一。 先看第一个分数：112=1112=12=11-12 再看第二个分数：123=1213=16=12-13 再看第三个分数：134=1314=112=13-14 依此类推，我们发现原来的算式可以转化成减法算式，如下：112+123+134+199100=11-12+12-13+13-14+199-1100=11-1100=99100解答：112+123+134+199100 =11-12+12-13+13-14+199-1100 =11-1100 =99100【例8】一个长方体的水箱，从里面量长是74米，宽是23米，高是34米，这个长方体水箱的容积是多少？要点提示：长方体的容积=长宽 高。思路分析：由题意可知，这个水箱的形状是一个长方体，而且给出了从里面量得的长、宽、高的具体数值。要求这个水箱的容积，可以根据长方体的体积公式解答，列式为742334。计算时，能约的要先约分，使计算更加简便。解答：742334=78（立方米） 答：这个长方体水箱的容积是78立方米。【例9】“双十一”购物节活动中，两家商铺都在搞促销活动，洗衣液原价每瓶30元，甲店买五送一，乙店按原价的出售，李阿姨要买12瓶洗衣液，到哪家商店购买更合算？思路分析：要想得出到哪家商店购买更合算，就要分别求出在两个商店购买12瓶洗衣液所花的钱数，甲店买五送一，也就是用原来5瓶的钱，现在可以得到6瓶，也就是每6瓶中有5瓶是买的，1瓶是送的。要看12瓶中有几个6瓶，列式为126=2个，买12瓶花的钱数就是2个5瓶的钱数，也就是10瓶的钱数；乙店按原价的出售，只要计算出12瓶洗衣液原价的是多少即可，然后进行对比即可得出答案。要点提示：本题也可以先求出甲店买五送一后每瓶洗衣液的单价，再根据数量求出总价。解答：甲店：126=2（个） 5230=300（元）乙店：1230=288（元） 288300 答：到乙店购买更合算。【例10】有两堆同样多的煤，第1堆运走34吨，第2堆运走34，两堆煤剩下的部分同样重吗？为什么？要点提示：假设法和列举法都是解决数学问题的常用方法。思路分析：由于两堆煤的质量不确定，我们可以先假设这两堆煤都是1吨、超过1吨、低于1吨三种情况，计算出第二堆运走的质量，再与第一堆比较。解答：无法确定那堆煤剩下的质量多。【例11】a,b是不为0的自然数,已知ab8a,ab6a,求b的值。要点提示：明确积与因数的大小关系是解决本题的关键。思路分析：由“一个不为0的数乘小于1的数，得数小于它本身”，可知“ab8a”中的b8小于1,所以b8。由“一个不为0的数乘大于1的数,得数大于它本身”，可知“ab6a”中的b6大于1,所以b6。因为b是不为0的自然数,且6b8,所以b=7。解答：b=7【例12】已知a、b和c都是不为0的整数,如果78a=45b=23c,那么a、b和c,哪个数最大?哪个数最小?思路分析：题中要比较a、b、c谁最大谁最小，我们有两种方法：方法一：假设法。要点提示：假设法是解决数学问题的常用方法之一。假设78a=45b=23c=1，那么a=87，b=54，c=32，接下来直接利用异分母分数比较大小的方法进行比较，可知c最大，a最小。方法二：直接比较法（乘法算式中因数与因数之间的关系）。 已知78a=45b=23c，那么我们可以先比较78、45、23这三个因数的大小，可知784523，然后根据乘法算式中因数之间的关系（积不变，一个因数增加或缩小，另一个因数会随之缩小或增大），可知abc，即c最大，a最小。解答：c最大，a最小。第二单元 圆【例1】在下面的正方形中画一个最大的圆。思路分析：通过之前的学习，我们知道，对于一个圆来说，其圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。要在这个正方形中画一个最大的圆，那这个圆的圆心就应该是正方形的中心（两条对角线的交点），圆的直径应该等于这个正方形的边长。解答：先画出正方形的两条对角线，然后以对角线的交点为圆心，正方形边长的一半为半径画圆，所得的圆就是最大的圆。如下图：要点提示：正方形的中心是正方形两条对角线的交点,也是最大圆的圆心。【例2】如右图，已知长方形的长是36厘米，则圆的半径和直径分别是多少厘米？思路分析：从图中可以看出，长方形中间的完整的圆和两边的两个半圆的直径是相等的，都等于长方形的宽。另外，两边的半圆的半径加上中间大圆的直径刚好等于长方形的长，所以长方形的长正好等于它们的半径的4倍，即用长方形的长除以4就可以求出它们的半径，再根据半径与直径的关系求出直径。要点提示：长方形的长正好等于圆的半径的4倍。解答：244=6（厘米） 62=12（厘米）答：圆的半径和直径分别是6厘米、12厘米。【例3】用两种方法把四个直径是16厘米的圆柱形木料捆扎在一起,截面如下图所示。求这两种方法分别需要多少厘米的绳子。 图(1)图(2)思路分析：图(1)：在一个圆周上环绕的绳子长度是这个圆的周长的14,四个角上共四个圆周，正好是一个圆的周长,即3.1416=50.24(厘米)。四边两圆之间水平的线段,每条线段的长度正好等于两个圆的半径的和,也就是直径的长度,有4条线段,即水平线段的长度为416=64(厘米)。图(2)：在一个圆周上环绕的绳子长度是这个圆的周长的12,两边的两个圆周加起来正好是一个圆的周长,即3.1416=50.24(厘米)。上面或下面相邻两个圆之间水平的线段,每条线段正好等于三个圆的直径的和,两条线段就是六个圆的直径的和,即616=96(厘米)。解答：3.1416+416=50.24+64=114.24(厘米)3.1416+616=50.24+96=146.24(厘米)答:图(1)方法用去了114.24厘米的绳子,图(2)方法用去了146.24厘米的绳子。【例4】下面图形中的阴影部分是扇形吗？是的在括号里画“”，不是的画“”。思路分析：由扇形的定义可知，由圆心角的两条边和圆心所对的弧围成的图形是扇形。第一个图形就是由圆心角和圆心角所对的弧围成的图形，因此第一个是扇形；第二个和第三个都不是圆心角，所以第二个和第三个都不是扇形。解答：要点提示：抓住扇形的本质特征，严格按照扇形的定义判断。【例5】一个圆形水池的半径是5米，为迎接国庆，现需在水池的周围摆放盆花，每隔3.14米放一盆，求一共可以放多少盆花？思路分析：要求圆形水池周围一共可以摆放多少盆鲜花，就要先求出这个圆形水池的周长，然后再根据周长和盆花摆放的间隔距离即可求出所需。圆形水池的半径是5米，我们可以利用公式C=2r求出这个水池的周长。要点提示：已知半径求圆的周长，可以直接利用公式C=2r计算。解答：3.1452=31.4（米） 31.43.14=10（盆） 答：一共可以放10盆花。【例6】两只蜜蜂分别沿着涂色部分的边缘爬1次，哪只蜜蜂爬过的路线长？（两个正方形的边长相等）思路分析：要想比较这两只蜜蜂谁爬过的路线长，就是比较左右两个图中涂色部分的周长。要点提示：四个小扇形的弧长之和正好是一个圆的周长。我们先观察左图，阴影部分的周长是外部正方形的周长与内部以正方形边长的一半为半径的圆周长之和；再观察右图，阴影部分的周长是外部正方形的周长与四个以正方形边长的一半为半径的小扇形的弧长之和，而这四个小扇形的周长加起来刚好是以正方形边长的一半为半径的圆周长。因此，这两只蜜蜂爬过的路线一样长。解答：这两只蜜蜂爬过的路线一样长。【例7】一只挂钟的分针长20厘米，经过30分钟后，分针扫过的面积是多少平方厘米？要点提示：将实际问题与学过的知识联系起来是常用的数学方法之一。思路分析：要解答这道题之前，我们要先知道钟面上有三根针，其中分针每走一格，就是过了1分钟。题中的分针走了30分钟，我们假如它是从1走到了6，也就是走了180，它扫过的面积恰好是以分针长度为半径的一个半圆，那我们就可以通过圆的面积公式S=r2求出它扫过的面积。解答：3.142022=628（平米厘米） 答：分针扫过的面积是628平方厘米。【例8】一个花坛的形状如图所示，中间正方形的边长为10米，四周是四个半圆形，这个花坛的占地面积是多少平方米？思路分析：观察上图可知，花坛的中间是一个正方形，正方形的四周分别是4个半圆，因此这个花坛的面积就等于一个正方形的面积与四个半圆的面积之和。要点提示：解决求组合图形的面积时，一般要将它们分割成几个简单的图形，分别求出简单图形的面积，再求出它们的和或差。 我们知道，正方形的面积=边长边长，已知正方形的边长是10米，可以直接利用正方形的面积公式求出正方形的面积。求半圆的面积就要先求出半圆的半径，观察图形可知，圆的直径等于正方形的边长，因此半圆的半径是正方形边长的一半，即5米，求出半径就可以求半圆的面积了。最后将各部分面积加起来即可。解答：半圆的半径：102=5（米） 一个半圆的面积： 3.14522 =3.14252 =39.25（平方米） 四个半圆的面积：39.254=157（平方米） 正方形的面积：1010=100（平方米） 花坛的面积：157+100=257（平方米）答：这个花坛的占地面积是257平方米。【例8】如下图所示，等边三角形的空白部分是三个相同的扇形，三角形的边长是20厘米，求阴影部分的周长。要点提示：三个扇形和在一起正好是一个半圆。思路分析：我们知道，等边三角形的每一个内角都是60。另外，由题意可知，三个小扇形的半径都是三角形边长的一半，即202=10（厘米）。因此，将三个小扇形合在一起正好是一个半径为10厘米的半圆，所以要求上图中阴影部分的周长，就是求半径为10厘米的圆的周长的一半。解答：3.141022=31.4（厘米）答：阴影部分的周长是31.4厘米。【例9】一个圆形水池的周长是50.24米，现在周围再加宽2米，这个水池的面积增加了多少平方米？思路分析：由题意可知，已知这个水池的形状是一个圆形，在它的周围再加宽2米，要求加宽部分的面积，也就是求圆环的面积（如右图）。通过前面的学习我们知道，圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积的差，所以要解决这个问题必须要先求出外圆和内圆的半径，然后再根据圆的面积公式求解。要点提示：圆环的面积=外圆的面积内圆的面积。解答：内圆的半径：50.243.142=8（米） 外圆的半径：8+2=10（米） 外圆的面积： 3.14102 =3.14100 =314（平方米） 内圆的面积： 3.1482 =3.1464 =200.96（平方米） 增加部分的面积：314-200.96=113.04（平方米） 答：这个水池的面积增加了113.04平方米。第三单元 分数除法【例1】把一根125米的木料锯成相等的若干段，一共锯了3次，每段长多少米？思路分析：要点提示：实际操作是掌握数学知识点的常用方法之一。由题意可知，要将一根木料锯成若干段，锯了3次，要求每段的长度。已知木料的总长度，求每段长，根据每段长=总长度分成的段数，我们先要求出分了多少段。我们可以实际操作一下，将木料锯一次，可得到2段；将木料锯两次，可得到3段；将木料锯三次，可得到4段。解答：3+1=4（段） 1254=35（米） 答：每段长35米。【例2】笑笑走60米用了分钟，淘气走80米用了分钟，他俩谁走的快？思路分析：要判断出他们两个谁走的快一些，必须先分别求出他们两人平均每分钟所走的路程，也就是先分别求出他们两人的速度。根据“速度=路程时间”，列除法算式为60和80，求出速度后再进行比较。要点提示：速度=路程时间解答：60=60=90（米）80=80=100（米）90100答：淘气走的快一些。【例3】如果a12=b43=c55，并且a、b、c都不为0，试比较a、b、c的大小，说明理由。要点提示：转化法是常用的数学方法之一。思路分析：方法一 ：将除法转化为乘法 我们可以根据分数除法的法则，把上面的算式转化成乘法算式，即2a=b=1c，又因为21，所以bca。方法二：假设法我们先假设，那么a=1=，b=1=，c=1=1,因为1得出bca。要点提示：假设法是解决问题时经常用到的一种方法。所谓“假设法”就是依据题目中的已知条件或结论作出某种假设,然后按照已知条件进行推算,从而得到正确答案。解答：bca理由：由可得2a=b=1c，因为21，所以bca。【例4】把一根竹竿插入水中34米,然后将竹竿倒转再插入水中至12处,结果竹竿未湿的一段长56米。这根竹竿长多少米?思路分析：可以画线段图帮助分析题意,由题意可知，是把整根竹竿的长度看作单位“1”,题中的三个量中34米、56米都是具体的数量,只有12是分率。画线段图如右图,从图中可以看出要点提示：画线段图是解决数学问题的常用方法之一。已知数量34+56米对应的分率也是12,已知分量和分率，要求单位“1”，用除法计算。解答：34+56=1912(米)1-12=12191212=196(米)答:这根竹竿长196米。【例5】甲的15相当于乙的16,乙的13相当于丙的110,甲是25,求丙。思路分析：根据条件可以找出题目中的数量关系,如下:要点提示：遇到较复杂的问题时，可以先把数量关系列出来，在把已知数对应进去，剩下的就是要求的。把已知条件代入数量关系中,问题即可解决。解答：251516=303013110=100答:丙是100。【例6】植树节到了，六年级的两个班参加义务植树活动，六年级一班植树棵数的38是二班植树棵数的27，一班植树80棵，二班植树多少棵？思路分析：由题意可知，六年级一班植树棵数的38是二班植树棵数的27，也就是说六年级一班植树的棵数的38等于二班植树棵数的27，数量关系是六年级一班植树棵数38=六年级二班植树棵数27。我们可以设二班植树x棵，根据上面的相等关系列方程求解。要点提示：找准题目中的等量关系是解决问题的关键。解答：解：设二班植树x棵。27x=803827x=30 x=3072 x=105答：二班植树105棵。【例7】一桶油,第一次用去25,第二次用去的比第一次多2千克,桶里还剩下3千克。这桶油原来有多少千克?思路分析：要点提示：找准已知分量及其对应单位“1”的分率是解决问题的关键。由题意可知，这桶油的总质量是单位“1”。“第二次用去的比第一次多2千克”，即第二次用去整桶油的25还多2千克，这时这桶油总共用去25+25=45还多2千克，且桶里还剩下3千克，说明2+3=5（千克）对应单位“1”的分率是1-45=15。已知分量和分率，要求单位“1”，用除法计算。解答：（2+3）（1- 25-25）=25（千克） 答：这桶油原来有25千克。第四单元 比和按比例分配【例1】如果a:b=3:4, b:c=5:6,那么a:c=（ ）:( )。要点提示：找到中间量，让中间量在两个比中占的份数相同。思路分析：题目要求我们通过a与b的比以及b与c的比，求a与c的比，我们可以利用中间量b来进行传递。b在a:b中是4份，而在b:c中是5份，要想通过它进行传递，必须使它在两个比中所占的份数相等，我们根据比的基本性质，分别把a:b=3:4化成a:b=15:20，把 b:c=5:6化成 b:c=20:24，这样b在量比中的份数相同，通过它传递即可。解答：a:c=15:24【例2】聪聪和明明两人喝糖水，聪聪把10克糖放到90克水中；明明把15克糖放到120克水中。写出聪聪和明明两人的杯中糖和水的比分别是多少？谁的杯中的糖水甜一些？要点提示：糖水中，糖与水的比越大，这杯糖水就越甜。思路分析：要比较他们两人的糖水，谁的更甜，就要先分别求出这两杯糖水中糖和水的比，这个比越大，就约甜。聪聪的糖水中糖和水的比：10:90=1:9=19明明的糖水中糖和水的比：15:120=1:8=18所以明明的糖水更甜。解答：聪聪的糖水中糖和水的比：10:90=1:9=19明明的糖水中糖和水的比：15:120=1:8=181918所以明明的糖水更甜。【例3】爸爸今年30岁,今年小强与爸爸的年龄比是16,再过几年他们父子的年龄比是94?要点提示：小强和爸爸的年龄差不会随着年龄的变化而变化，是一个固定的数。思路分析：由题意可知，爸爸今年30岁,今年小强与爸爸的年龄比是16,也就是把爸爸的年龄平均分成了6份,小强的年龄和其中的一份同样多,因此小强今年306=5(岁)。题目要求再过几年爸爸和小强的年龄比是94,这里有一点需要格外注意，虽然爸爸和小强的年龄及年龄比发生了变化,但是他们的年龄差是不变的,总是30-5=25(岁),因此用年龄差25岁除以年龄比的份数差9-4=5,即255=5(年),所以当小强54=20(岁)时,即20-5=15(年)后父子的年龄比是94。解答：306=5(岁)30-5=25(岁)9-4=5 255=5(年)54=20(岁)20-5=15(年)答:再过15年他们父子的年龄比是94。【例4】小强家房子出租给小李、小张、小王三个年青人，每月房租是1800元，9月份，小李只住到10日就搬走了，小张只住到20日也搬家了，小李和小张离开时都留给小王600元交房租。到月底小强的妈妈要去收房租了，如果你是小强，你会建议妈妈怎样收这三个年青人的房租比较合理？思路分析：由题意可知，小强家房子出租给小李、小张、小王三个年青人，每月房租是1800元，小李只住到10日就搬走了，小张只住到20日也搬家了，只有小王住满30天（9月份一共30天），因此让三人平均分摊1800元不太合理，可以按他们所住的天数的比分摊，或分段分摊都比较合理，因此小强的妈妈收房租时可以考虑上面的两种分摊方式。要点提示：解决此类问题有时会有几种不同的分摊方案，它们的结果虽然不一定相同，但是只要分摊方案是合理的，就都是正确的。解答：方案一：按所住天数的比分摊 三人所住的时间比是10:20:30=1:2:3。 小李应付的房租：180011+2+3300(元) 小张应付的房租：180021+2+3600(元) 小王应付的房租：180031+2+3900(元) 方案二： 分段计费 每10天为一段，每段：18003600（元） 小李只住了前面10天：6003200(元) 小张：60036002500(元) 小王：600360026001100(元) 答：小强妈妈收房租时，如果按所住天数的比收，小李300元，小张600元，小王900元；如果分段收取，小李200元，小张500元，小王1100元。【例5】玩具厂一、二、三车间人数的比为15:21:27，三车间比二车间多36人。一车间有多少人？思路分析：要点提示：分量差分率差=总数量。由题意可知，已知一、二、三车间人数的比为15:21:27，即5:7:9，也就是说，如果把三车间的人数分成9份，那么二车间的人数是其中的7份，即三车间比二车间多两份；又已知三车间比二车间多36人，说明多的这两份对应着36人，可求出每份代表362=18（人）。根据求出的每份代表的人数一车间的份数即可求出一车间的人数，用乘法计算。解答：36（27-21）=6（人）156=90（人）答：一车间有90人。第五单元 图形变化和确定位置【例1】一辆汽车以每小时60千米的速度从甲地开往乙地，3小时到达，在比例尺是1:3000000的地图上，让一只蜗牛从甲地爬往乙地，已知这种蜗牛每分钟爬12厘米，求这只蜗牛需要多少分钟才能爬到乙地？思路分析：由题意可知，甲地到乙地的实际距离是这辆每小时60千米的汽车行驶3小时的路程，因此先根据汽车行驶的速度和时间求出路程，列式为603=180（千米），也就是甲乙两地是实际距离；再根据比例尺1:3000000求出甲乙两地的图上距离，计算时要记得先换算单位，列式为18000000=6（厘米），然后用图上距离除以蜗牛的爬行速度，就可以求出蜗牛爬行的时间，列式为612=0.5（分）。要点提示：求图上距离时，实际距离的单位是米或千米的要先化成厘米。解答：甲乙两地的实际距离：603=180（千米）180千米=18000000（厘米）甲地到乙地的图上距离：18000000=6（厘米）蜗牛的爬行时间：612=0.5（分） 答：蜗牛需要0.5分才能爬到乙地。【例2】甲、乙两地在比例尺是1400000的地图上量得的距离比在比例尺是11600000的地图上量得的距离长3厘米。甲、乙两地的实际距离是多少?思路分析：第一幅图的比例尺是1400000,也就说图上距离是实际距离的1400000。同理,第二幅图的图上距离是实际距离的11600000。又已知甲乙两地再第一幅图和第二幅图中的距离差，要求实际距离，是求单位“1”，可以用方程的方法求解。要点提示：解决求单位“1”的实际问题中，常常用方程法。解答：设甲、乙两地的实际距离是x厘米。1400000 x-11600000 x=3x=16000001600000厘米=16千米答:甲、乙两地的实际距离是16千米。【例3】平平和龙龙一起玩“寻宝”游戏,他们从同一地点各自出发。平平向北偏东60方向走了200米找到了1号宝藏,龙龙向南偏西60方向走了300米找到了2号宝藏。现在平平要走到龙龙的位置,和龙龙一起找3号宝藏,他要向哪个方向走?要走多少米?思路分析：解答此题关键是要通过作图,明确二人现在的位置,再通过图来测量、观察平平该如何走。首先,确定他们各自的位置。如下图所示，平平在北偏东60200米处，龙龙在南偏西60300米处，二人仍在同一条直线上。要点提示：作图法是解决实际数学问题的常用方法之一。现在平平要到龙龙的位置,只需要从来时的路线沿相反方向行走，即平平需要沿着龙龙走的方向走（200+300）米即可。解答：200+300=500(米)答:平平需要向南偏西60方向走500米。【例4】按下图所示的路线，用1:30000的比例尺画出小丽去外婆家的行走路线图。要点提示：不要忘了标出比例尺和指向标。思路分析：由题意可知，要根据比例尺画行走路线图，我们首先根据比例尺及实际距离计算出每一段的图上距离，然后根据“上北下南、左西右东”的法则确定出方向，再用点表示路线图中的场所，用线段表示两个地点之间的路线画出路线图。解答：第六单元 分数混合运算【例1】把算式添上括号，使它变成先算加法，再算乘法，最后算除法，并计算出结果。思路分析：观察上面的算式，其中包含两级运算，有分数除法、加法和乘法，再没有括号的情况下，应先算除法和乘法，最后算加法。现在要把它变成先算加法，就必须先把加法算式用括号括起来，再算乘法，由于乘法在除法的后面，要想先算，就必须添上括号，这样就必须把加法算式用小括号括起来，再用中括号把乘法算式括起来。要点提示：理清楚先算什么再算什么，最后算什么，然后添上括号改变运算顺序。解答：【例2】人的心脏跳动的次数随年龄的变化而变化。婴儿每分钟的心跳次数比青少年少，婴儿每分心跳60次数，青少年的心跳次数平均是每分约是多少次？要点提示：解决此题的关键是找准单位“1”和数量关系式。思路分析：由题意可知，婴儿每分心跳60次数，婴儿每分钟的心跳次数比青少年少，即婴儿每分钟心跳次数比青少年每分钟心跳次数少的部分占青少年的，也就是婴儿每分钟心跳次数是青少年的（1-），因此我们可以得到下面的数量关系：婴儿每分钟心跳次数青少年每分心跳次数（1）。根据题意我们还可以得到这样的数量关系：婴儿每分心跳次数青少年每分心跳次数婴儿每分心跳次数比青少年少的部分。我们可以设青少年每分心跳次数为x次，根据上面的两个相等关系之一列方程求解。解答：解：设青少年每分心跳次数为x次。方法一：（1）x=60 方法二：x-x=60 x=60 x=60 x=60 x=60 x=75 x=75答：青少年每分心跳75次。【例3】一件羽绒服,按成本价提高13定价。后来因天气变暖,按定价降低13出售。这件羽绒服卖出后是赚还是赔?要点提示：解决这类题时,可以假设成本价是1,求出现价后和成本价比较得出答案。价格先提高再降低,单位“1”的量发生了转换,注意找准单位“1”。思路分析：解题时,可以设成本价为1,按照成本价提高13,是把成本价看作单位“1”的量,定价是11+13=43。按照定价降低13,是把定价看作单位“1”的量,现价是431-13=89。现价比成本价少,所以赔了。解答：11+131-13=89891 所以这件羽绒服卖出后是赔了。【例4】黔南小学为了更好地培养同学们对足球运动的兴趣，决定开展一次足球夏令营活动，现需要购买60个足球。下面是三家体育用品商店的优惠方案：你认为去哪家商店购买合算？思路分析：要想得出到哪家商店购买更合算，就必须分别求出在各个商店购买60个足球所花的总钱数。甲店买10送2，也就是把这60个足球分成两部分，一部分是买的，另一部分是送的，这两部分的比是10:2=5:1，所以在甲店购买60个足球是的总钱数等于（60=50）个足球的总钱数。乙店按原价的出售，即每个足球的单价相当于（25）元。要点提示：分别算出去各家商店购买60个足球实际需要的总钱数后进行比较，选择钱数最少的一家。在丙商店购买60个足球要花掉6025=1500元，根据满100元返现金25元，可返回现金150010025=375（元），然后从1500元中减去375元，就是在丙店购买60个足球的实际总钱数。把三家各自所需的实际总钱数进行对比即可得出答案。解答：甲店：5025=1250（元）乙店：6025=1200（元）丙店：（6025）-（150010025） =1500-375 =1125（元） 125012001125答：去丙商店购买合算。第七单元 负数的初步认识【例1】某食品包装袋上注明：净含量4005克，说明该食品的净重在（ ）克-（ ）克之间都是合格的。要点提示：理解“净含量”的意义是解决此类问题的关键。思路分析：分别计算最大值和最小值，再确定合格范围。400+5=405克，400-5=395克；所以这种食品的净重在395克405克之间都是合格的。解答：395 405 【例2】某仓库有货物50箱，其中四天记录的数字如下（运进为正，运出为负）：天数第1天第2天第3天第4天箱数+48-40+50-30（1）请说明各天记录的意义。（2）哪一天运出的箱数最多？（3）求出这四天共运进仓库多少箱，最后仓库内共有多少箱货物？要点提示：相反意义的量用正负数区分，体现相对数学思想。思路分析：（1）规定：运进的箱数为正，运出的箱数为负。读表时，读到每天的箱数，先看这个数的前面的符号是正号还是负号。如果是“+”表示运进，如果是“-”表示运出，最后再结合符号后面的数，说出每天运进或运出的箱数。（2）题中明确指出：哪天运进的箱数最多，也就是比较正数+48和+50的大小。根据正数大小比较方法得出+50+48。（3）求这四天共运进仓库的箱数，就是求上面+48、-40、+50和-30这几个数的和。计算时，可以按顺序计算48-40+50-30=28（箱）；也可以把运进箱数相加然后再减去运出的箱数，48+50-40-30=28（箱）。计算最后仓库内货物的箱数，就用原有的箱数50加上四天运进的箱数28，结果是50+28=78（箱）。解答：（1）+48表示第1天运进48箱；-40表示第2天运出40箱；+50表示第3天运进50箱；-30表示第4天运出30箱。（2）-40表示第2天运出40箱，-30表示第4天运出30箱，4030，所以第2天运出的箱数多。（3）48-40+50-30=28（箱） 50+28=78（箱）答：4天共运进28箱货物，最后仓库共有78箱货物。李亮刘红张海明崔可黄兰淘气9次7次8次4次5次6次【例3】如果把7次作为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示。请用正负数表示以下各位学生的“引体向上”的成绩。要点提示：“标准”即为临界点，高于是正，低于是负。思路分析：解答上述问题时，先看每人的次数与7的大小关系。以7次为标准，就是说如果正好7次记为0；比7次多的次数用正数表示，如8次记为+1；比7次少的次数记为负数，如6次记为-1。李亮的次数是9，比7次多2，所以记为+2；刘红的次数正好是7次，所以记为0；张海明的次数是8次，比7次多1，所以记为+1；崔可的次数是4次，比7次少3，所以记为-3、黄兰的次数是5，比7次少2，所以记为-2,；淘气的次数是6，比7少1，所以记为-1。解答：李亮刘红张海明崔可黄兰淘气9次7次8次4次5次6次+20+1-3-2-1【例4】下面是某学校图书馆上周借书情况统计表。（超过100册的部分记为正，少于100册的部分记为负。）周一周二周三周四周五+490-4-285（1）分别算出上周周一至周五每天各借出书多少册？（2）上周平均每天借出多少册书？要点提示：“0”表示刚好100册。思路分析：超过100册的部分记为正，就是比100册多的部分记为正数，比100册少的部分记为负数，如果正好是100册则记为0。（1）周一借书记录是+49，就是说周一借书的册数为100+49，周二借书记录为0，就是说周二正好借书100册，周三借书记录为-4，就是说比100册少4册，即100-4，周五借书记录是+5，就是比100册多5册。（2）计算出上周每天的借书册数后，根据“平均数=总数量总份数”解答。解答：（1）周一：100+49=149（册） 周二：100+0=100（册）周三：100-4=96（册） 周四：100-28=72（册） 周五：100+5=105（册）答：周一借出书149册，周二借出书100册，周三借出书96册，周四借出书72册，周五借出书105册。（2）（149+100+96+72+105）5=104.4（册）答：上周平均每天借出104.4册。【例5】红红爸爸是一名登山爱好者，周日几个好友相约一起登山，山脚下海拔高度为250米。早上8点时已经登到海拔480米处，于是稍作休息，又向上行进了180米。此时天突然刮起大风，为了安全，只好再向上行进了-150米，到达一个安全地点，此安全地点海拔多少米？要点提示：向上行进了-150米就是向下行进了150米。思路分析：由题意可知，“早上8点时已经登到海拔480米处，稍作休息，又向上行进了180米”，可知是在海拔480+180=560米处，再根据“为了安全起见，只好再向上行进了-150米，到达一个安全地点”，可知其实是向下走了150米，所以此安全地点海拔是560-150=410米。解答：480+180-150=560-150=410（米）答：此安全地点海拔410米。【例6】现在蜗牛的位置在O处，每走1格表示1米。蜗牛向东行3米，又向西行6米，这时蜗牛的位置表示为多少米？要点提示：数形结合思想是一种常用的数学思想。思路分析：本题考查的知识点有正负数的意义和数形结合思想。解答时，先确定向东的方向是正方向，向东行驶3米记作+3米，接着向西行驶6米记作-6米，但是向西行走的过程中还要经过0点，所以向西行驶6米后的位置是-3米。解答：-3 第八单元 可能性【例1】下面是六（1）班同学统计的校门口5分钟内车流量的情况。请你判断下面同学的对话对不对。（对的画“”，错的画“”） （1）小强说：“下1辆车一定是小轿车。” （ ） （2）小东说：“下1辆车可能是面包车。” （ ） （3）小兰说：“下1辆车偶尔是货车。” （ ） （4）小明说：“下1辆车是摩托车的可能性最大。” （ ） （5）小华说：“下1辆车是货车的可能性最小。” （ ）思路分析：此题考查的是随机事件发生的可能性大小。我们来一一分析。（1）小强说：“下1辆车一定是小轿车。”这是不对的，因为还有可能是公交车、摩托车、火车、面包车。（2）小东说：“下1辆车可能是面包车。”这是正确的，因为统计表说明5分钟内确实有面包车经过。（3）小兰说：“下1辆车偶尔是货车。”这是对的，因为从统计表这我们可以看出，5分钟内只有1辆货车经过，所以下1辆是货车的可能性比较小。要点提示：某一事件在单位时间内发生的次数越多，说明这一事件发生的可能性就较大。（4）小明说：“下1辆车是摩托车的可能性最大。”这是不对的，因为从统计表这我们可以看出，5分钟内经过的汽车中小轿车是最多的，所以下1辆是小轿车的可能性最大。（5）小华说：“下1辆车是货车的可能性最小。”这是对的，因为从统计表这我们可以看出，5分钟内经过的汽车中货车是最少的，所以下1辆是货车的可能性最小。解答：（1） （2） （3） （4） （5）【例2】按要求给下面的圆盘涂上颜色？要点提示：在转盘游戏中，哪一区域占圆盘的面积越大，指针停在这一区域的可能性越大。思路分析：观察上面的圆盘可以看到，圆盘都平均分成8份，每份是面积相等的扇形。第一个圆盘要求指针一定落在红色区域，也就是说无论圆盘怎么转动，指针总能落在红色区域，也就是圆盘应该全部涂成红色；第二个圆盘要求指针不可能落在红色区域，也就是说无论圆盘怎么转动，指针总不能落在红色区域，那么转盘上就不能涂红颜色，可以涂其他的颜色；第三个圆盘要求指针经常落在红色区域，说明圆盘上的红色区域的面积大于其他颜色的面积；第四个圆盘要求指针偶尔落在红色区域，说明圆盘上的红色区域的面积小于其他颜色的面积。解答：第九单元 总复习【例1】计算下面各题。（1）27+41 （2）2011思路分析：本题考查的知识点是利用数学的转化思想，进行乘法分配律的逆运算。解答时，先整体观察，看能不能通过转化来利用乘法的分配律进行进行。要点提示：转化法是解决数学问题的常用方法之一。（1）27+41=39+41 =9+41，这时可以用乘法分配律的逆运算解答了。（2）2011 =205，同理也可以利用乘法分配律逆运算解答计算了。解答：（1）27+41 （2）2011 =39+41 =205 =9+41 =（205） =（9+41） =15 =50 = =30【例2】六年级一班的男、女生比例为32，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。思路分析：本题考查的知识点比与分数的互化和按比例分配解决问题。原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为32知，如果将人数分为5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出男女生原来的人数，最后女生的人数再加上4，求出男女人数的比。要点提示：比与分数的转化是一种常用的数学方法。解答：44-4=40（人）男生人数：40=24（人）女生人数：40=16（人）16+4=20（人） 24:20=6:5答：现在男女人数比是6:5。【例3】一杯牛奶喝去后加满水摇匀，再喝去，这时杯中的纯牛奶占原来这杯牛奶的几分之几？思路分析：由题意可知，有一杯牛奶，先喝去后加满水摇匀，此时杯内有（1-）的牛奶和的水；再喝去，是喝掉了（1-）牛奶的和水的。因此，此时还剩下1-（1-）的纯牛奶。要点提示：找准单位“1”是解决此类问题的关键。解答： 1-（1-） =34- 34 =34- 14 =24 =12【例4】在一次科普知识竞赛中，抢答题的评分规则是答对1题加10分，答错1题扣5分。如果把加10分记作+10分，那么扣5分应记作（ ），现在蓝队抢答了5导题，一共得分20分，则蓝队答对了（ ）道题，答错了（ ）道题。要点提示：得分记为正，扣分记为负。思路分析：得分和扣分是一对具有相反意义的量，如果把得分记作正，那么扣分就记为负。得10分记作+10分，那么扣5分就应记作-5分，蓝队如果答对3道题，应得30分，答错2道题，扣掉10分，正好得分20分。解答：-5 3 2【例5】求阴影部分的周长和面积。思路分析：观察上图可知，阴影部分的周长是一个直径为20厘米的圆周长的一半和一个直径为10厘米的圆的周长。图中的阴影部分是一个不规则的图形，但仔细观察可以发现，将上面的黑色小半圆切割下来，在水平翻转后，刚好可以补到空白部分的小半圆上，这样图形就变成了一个直径是20厘米的半圆了，我们求出这个半圆的面积，就等于求出了阴影部分的面积。解答：阴影部分的周长： 3.14202+3.1410要点提示：求不规则的图形的面积时，可以通过割补的方法，把不规则的图形转化成为规则的图形，然后再求面积。=31.4+31.4=62.8（厘米） 阴影部分的面积： 3.14（202）22=3.141002=157（平方米）答：阴影部分的周长是62.8厘米，面积是157平方厘米。【例6】小月家和新华书店相对于学校的位置。要点提示：图上距离=实际距离比例尺；实际距离=图上距离比例尺；比例尺=图上距离实际距离。思路分析：确定物体的位置要根据物体的方向和距离。求小月家和新华书店相对于学校的位置,方向已经知道,只需要求出它们相对于学校的距离就可以了。求距离要根据图上距离和比例尺。用图上距离与比例尺上1厘米所表示的距离相乘,可算出实际距离。解答：经测量，新华书店和小月家到学校的图上距离分别是1.5厘米和4厘米。1.5300=450(米)4300=1200(米)答：新华书店在学校的正北方向450米处,小月家在学校的北偏东75方向1200米处。【例7】按要求涂一涂。要点提示：任意摸一个不可能是红球，说明箱子里一个红球也没有，可以把小球涂成自己喜欢的颜色。思路分析：要求从第一个盒子里任意摸出一个，一定是红球，也就是摸不出其他颜色的小球，因此第一个箱子里应
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